II/ Đánh giá sai số đo l−ờng
3. Quy luật tiêu chuẩn phân bố sai số
Để đánh giá kết quả của phép đo, ta phải giới hạn, định l−ợng đ−ợc sai số ngẫu nhiên. Muốn làm đ−ợc điều này, thì cần tìm đ−ợc quy luật phân bố của nó. Để tìm đ−ợc, ng−ời ta dùng công cụ toán học cần thiết cho việc nghiên cứu sự phân bố là lý thuyết xác suất và thống kê.
- Tất cả các lần đo đều cần phải tiến hành với độ chính xác nh− nhau. Nghĩa là không những cùng đo ở một máy, trong cùng một điều kiện, mà với cả tính thận trọng, chu đáo nh− nhau.
- Phải đo nhiều lần. Phép tính xác suất chỉ đúng khi có một số nhiều các sự kiện. a. Hàm số phân bố chuẩn:
Để xây dựng và hiểu đ−ợc qui luật phân bố, mà từ đó áp dụng đ−ợc vào phép tính toán sai số. Ta cũng cần phải xét tới đặc tính cấu tạo của hàm số phân bố sai số.
Để dễ trình bày, ta giả sử là khi tiến hành đo một đại l−ợng nào đó, ta đo nhiều lần, và đ−ợc một loạt số liệu kết quả đo có các sai số lần l−ợt là: x1, x2, x3,..., xn.
Số l−ợng lần đo là n, cũng đồng thời là số l−ợng của các sai số. Ta sắp xếp các sai số theo trị giá độ lớn của nó thành từng nhóm nhỏ riêng biệt.
Ví dụ, có n1, sai số x có trị giá từ 0 ữ -0,02,... cũng tiến hành sắp xếp cả về phía có trị giá âm: từ 0 ữ -0,01, từ -0,01 ữ -0,02,... nh− trên.
Ta có các tỷ số 1 1 n v n = ; 2 2 n v
n = ... ở đây, v1, v2,... gọi là tần suất (hay tần số xuất hiện) các lần đo có các sai số ngẫu nhiên nằm trong khoảng có trị giá giới hạn đó.
Lập các số liệu trên thành biểu đồ phân bố tần suất nh− hình 2.1. Trụ hoành là trị giá của các sai số x; trục tung là tần suất v; diện tích của mỗi hình chữ nhật nhỏ biểu thị số l−ợng xuất hiện các sai số ngẫu nhiên có giá trị nằm trong khoảng khắc độ t−ơng ứng trên trục hoành theo một tỷ lệ nào đó.
Giản đồ này cho ta hình ảnh đơn giản về sự phân bố sai số, nghĩa là quan hệ giữa số l−ợng xuất hiện của các sai số theo giá trị độ lớn của sai số.
Nếu tiến hành đo nhiều lần, rất nhiều lần, tức là số lần đo là n → ∞, thì theo qui luật phân bố tiêu chuẩn của lý thuyết xác suất, giản đồ của v theo x sẽ tiến đến một đ−ờng cong trung bình p(x) nh− hình 2.2. lim ( ) ( ) n v x p x →∞ =
Hình 2.1. Biểu đồ phân bố tần suất Hình 2.2. Giản đồ của V theo X
Hàm số p(x) là hàm số phân bố chuẩn các sai số, (về danh từ, còn gọi là hàm số chính xác). Gọi là hàm số phân bố tiêu chuẩn vì nó biểu thị theo qui luật phân bố chuẩn. Trong phần lớn các tr−ờng hợp sai số trong đo l−ờng điện thì thực tế là đều thích dụng với qui luật này. Rất ít khi có tr−ờng hợp sử dụng qui luật phân bố đồng đều, qui luật phân bố cung sin hay qui luật phân bố tam giác,... nên ta không đề cập tới các qui luật này.
Hàm số p(x) còn gọi là hàm số “Gauss” nó có biểu thức sau: 2 2 ( ) h h x p x e π − = (2.3)
ở đây, chỉ có một thông số h, ứng với các trị số h khác nhau thì đ−ờng cong có dạng khác nhau. Hình 2.3 biểu thị vài đ−ờng cong phân bố sai số ứng với thông số h khác nhau. ứng với đ−ờng có h lớn thì đ−ờng cong hẹp và nhọn, có nghĩa là xác suất các sai số có trị giá bé thì lớn. Thiết bị đo l−ờng nào ứng với đ−ờng cong có h lớn thì có độ chính xác cao; khi dùng thiết bị này để đo l−ờng, thì sai số hay gặp phải là sai số có giá trị bé. Với ý nghĩa nh− vậy ng−ời ta gọi h là thông số đo chính xác.
b. Hệ quả của sự nghiên cứu hàm số phân bố sai số:
Từ hàm số phân bố của sai số, ta rút ra hai nhận xét về qui tắc phân bố
* Xác suất xuất hiện các sai số có trị giá bé thì nhiều hơn xác xuất xuất hiện các sai số có trị giá lớn (Đ−ờng biểu diễn hàm số là hình vuông)
* Xác suất xuất hiện sai số thì không phụ thuộc vào dấu, nghĩa là các sai số có trị giá bằng nhau về trị số tuyệt đối nh−ng khác dấu nhau, thì có xác suất suất hiện nh− nhau (Đ−ờng biểu diễn hàm số đối xứng với trục tung).