3.2 Mơ hình nghiên cứu thực nghiệm:
3.3.3.1 Mơ hình một ngưỡng:
Ta xem xét mơ hình 1 ngưỡng sau:
yit = µ + Xit(qit <ɤ ) β1 + Xit(qit ≥ ɤ ) β2 + ui + eit (1’)
Biến qit là biến ngưỡng, ɤ là tham số ngưỡng phân chia phương trình thành hai chế độ chặn với hệ số hồi quy β1 và β2. Tham số ui là tác động riêng lẻ, eit là nhiễu. Tác giả viết lại phương trình (1’) thành:
yit = µ + Xit(qit,ɤ )β + ui+ eit
Với Xit(qit,ɤ ) = (𝐱𝒊𝒕 𝐈(𝐪𝒊𝒕 ≤ ɤ ) 𝐱𝒊𝒕 𝐈(𝐪𝒊𝒕>ɤ ) )
Với ɤ cho trước, ước tính bình phương bé nhất của β là:
𝛽̂ = (X*( 𝛾)′ X*( 𝛾))-1 X*( 𝛾)′ y* với y* và X* là độ lệch chuẩn cùng nhóm. Tổng phần dư (RSS) bằng 𝑒̂*’ 𝑒̂*. Để ước lượng 𝛾, ta có thể thơng qua tập con của biến ngưỡng qit. Thay vì tìm trên tồn bộ mẫu, ta có thể hạn chế phạm vi trong khoảng (𝛾,𝛾) là điểm vi phân của qit. Ước lượng của 𝛾 là tối thiểu hóa phần dư RSS, như sau:
) ( min arg ˆ 1 S
Nếu 𝛾 đã biết, mơ hình này khơng khác với mơ hình tuyến tính thơng thường.
Nhưng nếu chưa biết 𝛾, vấn đề nhiễu tham số làm cho phân phối ước lượng 𝛾 không
chuẩn. Hansen (1999) chứng minh rằng 𝛾̂ là tham số thích hợp cho 𝛾. Hansen đã tranh luận về cách tốt nhất để kiểm định 𝛾 = 𝛾0 theo dạng xác định khoảng tin cậy bằng
phương pháp “miền bác bỏ” (no-rejection region) với thống kê likelihood-ratio (LR), như sau:
𝑳𝑹𝟏 (𝜸) = (𝑳𝑹𝟏 (𝜸)−𝑳𝑹𝟏 (𝜸 ̂ ))
𝝈
̂𝟐 (Pr 𝜺) Pr (x < 𝜺) = (1 – e –x/2)2 (2’)
Với mức ý nghĩa ∝ cho trước, giới hạn thấp hơn tương ứng với giá trị lớn nhất
trong chuỗi LR, ít hơn điểm phân vị ∝, và giới hạn cao hơn tương ứng với giá trị thấp nhất trong chuỗi LR, ít hơn điểm phân vị ∝. Điểm phân vị ∝ có thể được tính tốn
trong hàm nghịch đảo sau:
c(∝) = -2log(1 - √𝟏−∝ )
Ví dụ, với ∝ = 0.1, 0.05, điểm phân vị tương ứng là 6.53, 7.35 và 10.59. Nếu LR1 (𝛾0) vượt quá c(∝), ta bác bỏ giả thiết H0.