Trước tiên, tác giả trình bày về ý tưởng mơ hình ARCH đã trình bày về biến động là một trong những thơng số chính được sử dụng nhiều ứng dụng tài chính, từ định giá các cơng cụ phái sinh đến quản lý tài sản và quản lý rủi ro. Biến động được đo lường bằng độ lớn của sai số thu được từ mơ hình hồi quy tỷ suất sinh lợi theo các biến số tài chính khác. Từ nhiều dạng mơ hình, thấy rằng độ lớn trung bình của các biến động không phải là một hằng số mà thay đổi theo thời gian và có thể dự báo trước được. Có những thời kỳ sự chênh lệch của thị trường thấp hơn mức dự báo rất nhiều và cũng có những thời kỳ sự chênh lệch này nhỏ hơn. Những hành vi này được gọi là phương sai thay đổi theo thời gian, dựa vào một sự thật là độ lớn của các biến động thị trường có quan hệ bầy đàn trong những thời kỳ có biến động cao và những thời kỳ có biến động thấp. Mơ hình ARCH được Robert Engle đề xuất đầu tiên vào năm 1982, ơng cho rằng tốt nhất nên mơ hình hố đồng thời giá trị trung bình và phương sai của chuỗi dữ liệu khi nghi ngờ rằng giá trị phương sai thay đổi theo thời gian. Trong đó:
Các hạng nhiễu utkhơng có tương quan chuỗi nhưng phụ thuộc;
Sự phụ thuộc của ut có thể có được mơ tả bằng hàm bậc hai của giá trị trễ.
Để có thể dự báo được biến động trong phương sai của ut thì Robert Engle đặt ra một giả định là phương sai của ut là phương sai có điều kiện và được mơ tả bằng 1 hàm hồi quy trong đó phương sai có điều kiện của ut phụ thuộc vào bình phương các giá trị trễ ut trong quá khứ.
Ta có phương trình:
σ2t = α0+ α1u2t-1 + α2+ ... + αku 2t-k+ εt (3.11)
α0> 0; α1; α2....≥ 0
Từ phương trình trên, chúng ta hồn tồn có thể dự báo được giá trị phương sai có điều kiện của nhiễu và từ đó xác định được mức độ biến động của chuỗi đang xét. Mơ hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quy
Mơ hình ARCH (1) sẽ mơ hình hố đồng thời giá trị trung bình và phương sai có điều kiện của một chuỗi thời gian theo các cách xác định như sau:
Yt= μ + ut ut~ N(0, σ2 t) σ2 t= γ0+ γ1u2t-1 Với: γ0> 0, γ1>0 (3.12)
Mơ hình ARCH(q): tổng qt hố mơ hình ARCH(1) và có dạng: Yt= μ + ut ut~ N(0, σ2 t) σ2 t= γ0+ ∑q j=1γ1u2t-1 (3.13)
Với γ0 >0, γj>0 (j = 1,q) và phải thoả mãn một số điều kiện nhất định sao cho phương sai không điều kiện là hữu hạn.
Kiểm định hiệu ứng ARCH
Sau khi ước lượng giá trị trung bình của chuỗi dữ liệu tối ưu, trích phần dư ut .Sử dụng chuỗi dữ liệuu2t thu được để kiểm định hiệu ứng phương sai có điều kiện của
sai số thay đổi tự hồi quy tổng quát. Có 3 phương pháp kiểm định: Phương pháp 1: Dùng thống kê Ljung - Box Q(m) đối với chuỗi u2 t
Giả thiết:
Ho: m hệ số tự tương quan đầu tiên ACF của chuỗi u2
tđều bằng khơng; H1: có ít nhất một trong m hệ số tự tương quan đầu tiên khác không. Để kiểm định giả thiết trên, ta áp dụng quy tắc kiểm định như sau: Q = n(n+2) ∑m
k=1 (p2/n-k)~ X2(m), n là kích thước mẫu
Nếu Q > X2(m) thì bác bỏ giả thiết Ho, ngược lại chấp nhận giả thiết Ho.
Nếu p-value nhỏ hơn hoặc bằng α = 5% thì bác bỏ giả thiếtHo, ngược lại chấp nhận giả thiết Ho.
Phương pháp 2: Kiểm định nhân tử Lagrange của Engle (1982) Ước lượng mơ hình hồi quy phụ:
u2t = α0+ α1u2t-1+ α2u2t-2+ ... + αku 2t-n+ εt (3.14)
Giả thiết:
Ho: α1 = α2= ... = αn = 0 (khơng có hiệu ứng ARCH) H1: α12 + α12+ ...+ αn2 > 0 (có hiệu ứng ARCH) Đặt SSR0 = ∑n t=m+1(u2t - ω)2, trong đó ω = 1/n∑n t=1 u2t là trung bình của u2t SSR1 = ∑𝑚𝑚𝑡𝑡=𝑚𝑚+1𝜀𝜀�𝑡𝑡2
trong đó ε�t là giá trị ước lượng của εt Sau đó tính:
F =
(𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 −𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆1)/𝑚𝑚
(𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆1)/(𝑚𝑚−2𝑚𝑚−1) ~ Fa (m, n-2m-1) (3.15)
Nếu F > Fα (m, n-2m-1) thì bác bỏ Ho, ngược lại chấp nhậnHo Phương pháp 3: dùng thống kê chi bình phương
Ước lượng mơ hình tương tự Có thể tính giá trị X2
=nR2 ~ X2α Nếu X2
> X2α tính tốn thì bác bỏ Ho, ngược lại chấp nhậnHo.
Trên thực tế ARCH ít được sử dụng trong các thị trường tài chính vì các mơ hình GARCH (1,1) đơn giản sử dụng rất ít tham số nhưng hoạt động tốt hơn nhiều so với ARCH. Nói rõ hơn, các mơ hình ARCH(p) sẽ tiến về GARCH (1,1) khi p tăng. Mặt khác khi độ trễ trong mơ hình ARCH tăng lên thì việc ước lượng các tham số trở nên khó khăn hơn nhiều. Trong khi đó mơ hình GARCH (1,1) chỉ cần ước lượng ba
tham số nhưng đã bao hàm rất nhiều độ trễ.
Mơ hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quy tổng qt là Mơ hình GARCH.Mơ hình có phương trình trung bình tương tự mơ hình ARCH, chỉ khác ở phương trình phương sai có điều kiện.
Yt= μ + ut ut~ N(0, σ2 t) σ2 t= γ0+ ∑p iδiσ2t-1 +∑q j=1 γ1u2t-j (3.16) Với γ0 >0, δi, γj> = 0
Phương trình cho thấy phương sai có điều kiện σ2
t bây giờ phụ thuộc vào:
Giá trị quá khứ của những cú sốc, đại diện bởi các biến trễ của hạng nhiễu bình phương u2
t-j;
Các giá trị q khứ của chính bản thân nó, đại diện bởi các biễn trễ σ2 t-1.
GARCH(0, q) chính là ARCH(q)
GARCH (1,1) là dạng đơn giản nhất của mơ hình GARCH (p,q), có phương trình phương sai:
σ2
t= γ0+ δ1σ2t-1 +γ1u2t-1 (3.17)
3.2. Mơ hình nghiên cứu thực nghiệm ở Việt Nam
Để tiến hành nghiên cứu thực nghiệm tác động của biến động lãi suất và tỷ giá lên tỷ suất sinh lợi và biến động tỷ suất sinh lợi cổ phiếu của các ngân hàng thương mại Việt Nam, bài nghiên cứu sử dụng mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển OLS và mơ hình GARCH để đo lường sự biến động tỷ suất sinh lợi cổ phiếu, với ý tưởng chính dựa theo bài nghiên cứu “The impact of interest rate and exchange rate volatility in banks’ stock returns and volatility: Evidence from Turkey” của các đồng tác giả S. Kasman, G. Vardar, G. Tune (2011). Quy trình được tiến hành như sau:
giải thích cho tỷ suất sinh lợi của cổ phiếu hoặc danh mục cổ phiếu: tỷ suất sinh lợi chỉ số thị trường, biến động lãi suất phi rủi ro hay chỉ số trái phiếu và biến động của tỷ giá hối đoái. Sau khi ước lượng kết quả, tác giả tiến hành kiểm định sự phù hợp của mơ hình thơng qua các kiểm định phương sai thay đổi, kiểm định tương quan chuỗi, kiểm định phân phối chuẩn của phần dư. Nếu các giả thiết được chấp nhận hay mơ hình hồi quy phù hợp, các kết quả thực nghiệm về mối quan hệ giữa 3 biến độc lập với tỷ suất sinh lợi cổ phiếu hoặc danh mục cổ phiếu sẽ được phân tích và câu hỏi nghiên cứu 1 được trả lời. Nếu mơ hình khơng phù hợp, các thủ thuật hồi quy khác cần được sử dụng để tạo ra kết quả hồi quy vững chắc. Để trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ 2, tác giả hồi quy mơ hình GARCH (Phương sai có điều kiện tự hồi quy tổng quát - Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) với phương trình trung bình giống như mơ hình 1. Để kiểm định hiện tượng phương sai thay đổi có điều kiện có tồn tại đối với chuỗi dữ liệu hay không, kiểm định hiệu ứng ARCH đối với các phần dư trong mơ hình 1 được tiến hành. Nếu giả thuyết H0 (khơng có hiệu ứng ARCH) bị bác bỏ, mơ hình GARCH (gọi tên là Mơ hình 2) được tiến hành và câu hỏi nghiên cứu 2 được trả lời. Nếu khơng tồn tại hiệu ứng ARCH, mơ hình GARCH khơng thể thực hiện và khơng có cơ sở để trả lời câu hỏi nghiên cứu 2.
Tiếp theo, mơ hình GARCH (1,1) tiếp tục được sử dụng để trả lời câu hỏi nghiên cứu 3. Tuy nhiên, trong mơ hình 3 này, biến động của lãi suất và tỷ giá hối đối khơng cịn là biến giải thích của phương trình trung bình nữa mà sẽ giải thích cho biến động có điều kiện của tỷ suất sinh lợi cổ phiếu hoặc danh mục cổ phiếu, trong khi đó tỷ suất sinh lợi ở phương trình trung bình sẽ được tính bằng với giá trị trung bình trong dài hạn của nó cộng với các yếu tố sai số ngẫu nhiên.
Sau khi phân tích, so sánh và tổng hợp các kết quả nghiên cứu, chúng ta có thể dễ dàng kết luận về sự đồng nhất hay khác biệt trong chiều hướng của tỷ suất sinh lợi và biến động tỷ suất sinh lợi của các ngân hàng riêng lẻvà danh mục cổ phiếu ngân hàng.