Chương 2 Tổng quan về lý thuyết và các nghiên cứu thực nghiệm trước đây
3.2. Quy trình nghiên cứu
3.3.4. Mơ hình phương sai có điều kiện thay đổi
3.3.4.1. Mơ hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH).
Như chúng ta đã biết mơ hình tuyến tính với giả định phương sai của sai số là không đổi. Trong trường hợp phương sai của sai số không phải là một hằng số mà được ta giả định là hằng số thì việc ước lượng sai số chuẩn sẽ không đúng. Đối với các dữ liệu chuỗi thời gian trong lĩnh vực tài chính thì việc giả định phương sai sai số không đổi là không phù hợp. Một mơ hình phi tuyến được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực tài chính được biết đến là mơ hình ARCH.
Các mơ hình hồi quy tuyến tính khơng thể giải thích được một số đặc điểm phổ biến quan trọng của dữ liệu tài chính như:
Phân phối nhọn (Leptokurtosis): Cho thấy chuỗi dữ liệu có phân phối nhọn hơn
phân phối chuẩn, đuôi càng dẹt và đỉnh cao hơn.
Biến động có tính chất bầy đàn: Rủi ro có thể cao ở một thời kỳ và thấp ở một
thời kỳ khác.
Hiệu ứng địn bẩy: Độ biến động có xu hướng tăng nhiều hơn sau khi có một đợt
giá giảm mạnh hơn là giá tăng với mức độ như nhau.
Năm 1982, Robert Engle đề xuất mơ hình ARCH. Đây là mơ hình đầu tiên đưa ra cơ sở
lý thuyết để mơ hình hóa rủi ro. Tư tưởng cơ bản của mơ hình này là (a) cú sốc ut của
một loại tài sản không tương quan chuỗi nhưng phụ thuộc; (b) sự phụ thuộc của ut có
thể được mô tả bằng một hàm bậc 2 của các giá trị trễ. Mơ hình ARCH(q) sẽ mơ hình hố đồng thời giá trị trung bình và phương sai có điều kiện của một chuỗi thời gian. Mơ hình ARCH(q) có dạng:
là biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố với kỳ vọng bằng 0, phương sai bằng 1.
Các hệ số phải thõa mãn một số điều kiện không âm sao cho phương sai có điều
kiện là dương. ut thường được giả thiết là có phân bố chuẩn hóa hoặc phân bố t-
Student.
Từ phương trình phương sai có thể là các cú sốc trong quá khứ lớn đưa đến phương sai
có điều kiện đối với ut lớn, ut có xu hướng lớn. Điều này có nghĩa rằng, theo mơ hình
ARCH, các cú sốc lớn có xu hướng do cú sốc lớn trong quá khứ gây ra. Đặc điểm này giống như tính chất bầy đàn của độ rủi ro.
Mơ hình ARCH(q) được sử dụng trong dự báo dữ liệu chuỗi thời gian tài chính có những ưu điểm như mơ hình hóa động thái của phương sai có điều kiện. Nhờ đó có thể dự tính được độ rủi ro lợi suất của một loại tài sản. Tuy vậy, mơ hình này có một số nhược điểm sau đây: Chưa có chuẩn mực để xác định bậc q của mơ hình. Một phương pháp được sử dụng là likelihood ratio test, tuy nhiên phương pháp này chưa phải là phương pháp tốt nhất, giá trị q của phần dư có thể là một con số rất lớn để có thể kiểm sốt được tất cả sự phụ thuộc của phương sai có điều kiện. Việc này dẫn đến mơ hình phương sai có điều kiện khơng có giới hạn, ràng buộc khơng âm của phương sai có thể bị vi phạm. Nếu như mọi thứ đều giữ ngun, càng nhiều thơng số trong phương trình phương sai có điều kiện thì càng nhiều khả năng xuất hiện phương sai âm.
3.3.4.2. Mơ hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy tổng quát (GARCH).
Năm 1986, Bollerslev đã mở rộng mơ hình ARCH đặt tên mơ hình ARCH tổng qt (GARCH). Cách tiếp cận này yêu cầu ít thơng số hơn so với mơ hình ARCH. Mơ hình GARCH cho phép phương sai có điều kiện phụ thuộc vào độ trễ trước đây như sau:
là biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố.
∑ ∑ ∑ ) )
Mơ hình trên được gọi là mơ hình ARCH tổng qt ký hiệu là GARCH (p,q), trong đó
q là độ dài của trễ đối với ut2, p độ dài của trễ ứng với . Mơ hình GARCH nói lên
rằng phương sai phụ thuộc vào cả giá trị quá khứ của những cú sốc, đại diện bởi các
biến trễ của hạng nhiễu bình phương, và các giá trị quá khứ của bản thân đại diện
bởi các biến .
Dạng đơn giản nhất của mơ hình GARCH là mơ hình GARCH (1,1):
,
Mơ hình GARCH có ưu điểm là giải thích được khi nhà đầu tư dự báo về phương sai của tài sản thời kỳ này bằng việc tạo ra một trọng số trung bình trong dài hạn và phương sai dự báo ở giai đoạn trước, những thông tin về sự dao động từ thời kỳ trước. Xem xét các dạng dữ liệu trong đó cho phép phương sai của nó phụ thuộc vào các giá trị phương sai trong quá khứ nhằm ước lượng mức độ rủi ro và dự báo mức độ dao động của chuỗi thời gian tài chính có độ dao động cao.
Các bước xây dựng mơ hình.
Thiết lập phương trình độ rủi ro cho lợi suất của một tài sản gồm 4 bước:
Bước 1: Xác định phương trình trung bình bằng cách kiểm định sự phụ thuộc chuỗi trong chuỗi lợi suất.
Bước 2: Sử dụng phần dư của phương trình trung bình để kiểm định hiệu ứng ARCH. Bước 3: Định dạng mơ hình độ rủi ro nếu ảnh hưởng của ARCH có ý nghĩa thống kê và ước lượng đồng thời phương trình trung bình và phương trình độ rủi ro.
Bước 4: Kiểm định tính phù hợp của mơ hình.
Kiểm định hiệu ứng ARCH.
Sau khi xác định giá trị trung bình của chuỗi dữ liệu, trích phần dư là
phần dư của phương trình trung bình. Sử dụng chuỗi dữ liệu ut2 thu được để kiểm định
hiệu ứng phương sai có điều kiện của sai số thay đổi. Cách khác, có thể dùng giá trị p- value của thống kê Q so sánh với mức ý nghĩa α. Nếu p-value nhỏ hơn hoặc bằng α thì
bác bỏ giả thiết H0, ngược lại chấp nhận giả thiết H0. Nếu H0 được chấp nhận khi đó