3. MƠ HÌNH, PHƯƠNG PHÁP VÀ DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU
3.1. Phương pháp ước lượng
3.1.2. Phương pháp ước lượng GMM
Để ước lượng một mô hình động cho dữ liệu bảng, phương pháp ước lượng GMM (generalized method of movement) được đề xuất bởi Arellano và Bond (1991) với hiệu quả và kết quả vững chắc. Mơ hình đơn giản nhất khơng có các biến ngoại sinh nghiêm ngặt là một thống kê tự hồi quy của phương trình:
𝑦𝑖𝑡 = 𝛼𝑦𝑖(𝑡−1)+ 𝜂𝑖 + 𝑣𝑖𝑡, |𝛼| < 1 (1)
Giả định rằng mẫu ngẫu nhiên của N chuỗi thời gian riêng lẻ (yi1,...,yiT) là có sẵn. T là số nhỏ và N là số lớn. υit ở trên được giả định có sự chuyển động hữu hạn và cụ thể là
𝐸(𝑣𝑖𝑡) = 𝐸(𝑣𝑖𝑡𝑣𝑖𝑠) = 0 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≠ 𝑠. Nghĩa là, giả định rằng không có sự tương quan
chuỗi nhưng không cần thiết độc lập qua thời gian. Với những giả định trên, giá trị của y trễ 2 giai đoạn hoặc nhiều hơn các công cụ vững chắc trong mơ hình với sai phân bậc 1. Theo đó, với T≥3 mơ hình cho thấy 𝑚 = (𝑇 − 2)(𝑇 − 1)/2 hệ số ràng buộc tuyến tính.
𝐸[(𝑦̅𝑖𝑡− 𝛼𝑦̅𝑖(𝑡−1))𝑦𝑖(𝑡−𝑗)] = 0 (𝑗 = 2, … , (𝑡 − 1); 𝑡 = 3, … , 𝑇) (2) với 𝑦̅𝑖𝑡 = 𝑦𝑖𝑡− 𝑦𝑖(𝑡−1). Với mục tiêu là có được ước lượng tối ưu đối với α khi N →∞
với T cố định trên nền tảng rằng những hệ số giới hạn riêng lẻ. Nghĩa là, khi khơng có những điều kiện ban đầu hay là khơng có được phân phối của υit và ηi. Lưu ý rằng, các giả định cũng bao gồm hệ số giới hạn bình phương, ví dụ như 𝐸(𝑣̅𝑖𝑡𝑣̅𝑖(𝑡−2)) = 0, mà sẽ
khơng khai thác để tránh những quy trình lặp lại. Vấn đề về ước lượng này là một ví dụ cho các ước lượng của Hansen (1982) và White (1982) và một quy trình GMM tối ưu hoặc là ước lượng biến cơng cụ hai bước là có thể áp dụng. Những hệ số ước lượng trên phương trình trên có thể được viết dưới dạng vector như là 𝐸(𝑍𝑖′𝑣̅𝑖) = 0 với 𝑣̅𝑖 = (𝑣̅𝑖3… 𝑣̅𝑖𝑇)′ và 𝑍𝑖 là một ma trận chéo (T – 2)×m với khối ma trận thứ s được cho bởi
Mơ hình ước lượng GMM 𝛼̂ được dựa trên mẫu các tham số 𝑁−1∑𝑁 𝑍𝑖′𝑣̅𝑖
𝑖=1 = 𝑁−1𝑍′𝑣̅
với 𝑣̅ = 𝑦̅ − 𝛼𝑦̅−1 = (𝑣̅1′, … , 𝑣̅𝑁, ) là một vector 𝑁(𝑇 − 2) × 1 và 𝑍 = (𝑍1′, … , 𝑍𝑁′)′ là một
ma trận 𝑁(𝑇 − 2) × 𝑚. 𝛼̂ được cho bởi:
𝛼̂ = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝛼(𝑣̅′𝑍)𝐴𝑁(𝑍′𝑣̅) = 𝑦̅−1′ 𝑍𝐴𝑁𝑍′𝑦̅
𝑦̅−1′ 𝑍𝐴𝑁𝑍′𝑦̅−1. (3)
Tiêu chuẩn đa biến CLT ngụ ý rằng 𝑉̅𝑁−1/2𝑁−1/2𝑍′𝑣̅ là tiêu chuẩn tiệm cận với 𝑉̅𝑁 = 𝑁−1∑ 𝐸(𝑍𝑖 𝑖′𝑣̅𝑖𝑣̅𝑖′𝑍𝑖) là trung bình ma trận hiệp phương sai của 𝑍𝑖′𝑣̅𝑖. Với những giả định trên, 𝑉̅𝑁 có thể thay thế bằng 𝑉̂𝑁 = 𝑁−1∑ 𝑍𝑖 𝑖′𝑣̅̂𝑖𝑣̅̂𝑖′𝑍𝑖 với 𝑣̅𝑖 là những phần dư từ ước lượng phù hợp 𝛼̂1 ban đầu. Ước lượng một bước 𝛼̂1 được thu thập bằng cách thiết lập
𝐴𝑁 = (𝑁−1∑ 𝑍𝑖 𝑖′𝐻𝑍𝑖)−1 với H là một ma trận vuông (T – 2) có các cặp đường chéo chính, trừ đi một cặp trong những đường chéo phụ đầu tiên và khơng cho các trường hợp cịn lại. Một ước lượng thống nhất của avar(𝛼̂) với AN bất kỳ được cho bởi:
𝑎𝑣𝑎̂𝑟(𝛼̂) = 𝑁𝑦̅−1
′ 𝑍𝐴𝑁𝑉̂𝑁𝐴𝑁𝑍′𝑦̅−1
(𝑦̅−1′ 𝑍𝐴𝑁𝑍′𝑦̅−1)2 (4)
Lựa chọn tối ưu cho 𝐴𝑁 là 𝑉̂𝑁−1 (Hansen, 1982) đưa ra ước lượng hai bước 𝛼̂2. 𝛼̂1 và 𝛼̂2 sẽ tương đương tiệm cận nếu 𝑣𝑖𝑡 là độc lập và phương sai không thay đổi cả thông qua các đơn vị và thời gian.
Một trong những ước lượng liên quan là ước lượng Anderson – Hsiao (AH) được sử dụng phổ biến trong thực tế. Anderson và Hsiao (1981) đề xuất ước lượng α bằng cách hồi quy 𝑦̅ trên 𝑦̅−1 sử dụng hoặc là 𝑦̅−2 hoặc là 𝑦−2 làm cơng cụ. Bởi vì cả 𝑦̅−2 và 𝑦−2 là kết hợp tuyến tính của Z, dẫn đến kết quả ước lượng khơng có ý nghĩa. Lưu ý với tính dửng rằng, khi 𝐸(𝑦𝑖𝑡𝑦𝑖(𝑡−𝑘)) = 𝑐𝑖𝑘 với mọi t, ước lượng trên sử dụng 𝑍𝑖+ = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑦𝑖𝑡), (𝑡 = 1, … , 𝑇 − 2) tương đương tiệm cận với ước lượng sử dụng vector tập
hợp). Tuy nhiên, cả hai không tương đương tiệm cận với 𝛼̂1 và 𝛼̂2, ngay cả khi dữ liệu dừng.
Sự mở rộng của những kết quả trước đó cho trường hợp khi mà cho phép một lượng có giới hạn của chuỗi tự tương quan trong 𝑣𝑖𝑡 là không phức tạp. Giả sử rằng 𝑣𝑖𝑡 là MA(q) với ý nghĩa là 𝐸(𝑣𝑖𝑡𝑣𝑖(𝑡−𝑘)) ≠ 0 𝑣ớ𝑖 𝑘 ≤ 𝑞 và bằng 0 với các trường hợp còn lại. Trong
trường hợp này, α là vừa xác định với T = q + 3 và có 𝑚𝑞 = (𝑇 − 𝑞 − 2)(𝑇 − 𝑞 − 1)/2
giới hạn.
Mơ hình sử dụng với dữ liệu bảng không cân bằng
Dữ liệu bảng khơng cân bằng có nghĩa là một mẫu có các quan sát liên tiếp trên từng đơn vị riêng lẽ, nhưng số lượng chuỗi thời gian có được có thể khác nhau từ đơn vị này đến đơn vị khác cũng như là những giá trị lịch sử mà quan sát là phù hợp. Những mẫu miêu tả như trên rất phổ biến đặc biệt với những dữ liệu về công ty. Bên cạnh việc cho phép thu thập những dữ liệu lớn hơn để tạo thành nhiều hơn 1 bảng, sử dụng dữ liệu khơng cân bằng có thể dẫn đến việc giảm bớt tác động của việc tự lựa chọn các mẫu cơng ty. Thực tế, khơng có thay đổi về cơ bản trong phương pháp kinh tế lượng cung cấp một số lượng chuỗi thời gian tối thiểu có sẵn với mỗi đơn vị, và giả định rằng tham số thời gian cụ thể đại diện bởi số lượng các quan sát trong những giai đoạn có xu hướng vơ hạn. Giả định cần thiết là những mẫu quan sát trong dữ liệu chéo ban đầu thì phân phối độc lập và sự tăng thêm hay giảm bớt sau đó xảy ra ngẫu nhiên.
Những lưu ý trước đây có thể điều tiết dữ liệu bảng khơng cân bằng với những thay đổi nhỏ. Sử dụng chuỗi quan sát thời gian 𝑇𝑖 trên đơn vị thứ 𝑖, và có N các đơn vị riêng lẽ khác trong mẫu. Ma trận 𝑋̅ 𝑣à 𝑍, và vector 𝑦̅ và 𝑣̅ được hình thành từ những khối N dịng với khối thứ 𝑖 bao gồm (𝑇𝑖 − 2) dòng. Lưu ý rằng, bây giờ số lượng cột khác 0 trong
mỗi 𝑍𝑖 có thể khác nhau trong các đơn vị. Cụ thế, trong tự hồi quy sai phân bậc 1 nêu trên, số lượng cột trong 𝑍 là 𝑝 = (𝜏 − 2)(𝜏 − 1)/2 với τ là tổng số lượng giai đoạn với
những quan sát có được trong các mẫu riêng lẻ, và 𝑍𝑖 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑦𝑖1, … , 𝑦𝑖𝑠), (𝑠 = 1, … , 𝜏 − 2), chỉ khi các quan sát τ là có thể trên 𝑖. Những quan sat riêng lẽ với 𝑇𝑖 < 𝜏,
những dòng của 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑦𝑖1, … , 𝑦𝑖𝑠) tương ứng với những phương trình thiếu bị xóa đi và
giá trị thiếu của 𝑦𝑖𝑡 cho những dòng còn lại được thay thế bằng 0. Ước lượng GMM 2 bước của α cho lựa chọn biến công cụ này là giống như (3) sử dụng 𝐴𝑁 = (𝑁−1∑ 𝑍𝑖′
𝑖 𝑣̅̂𝑖𝑣̅̂𝑖′𝑍𝑖)−1 với 𝑍𝑖 là (𝑇𝑖 − 2) × 𝑝 và 𝑣̅̂𝑖 là (𝑇𝑖 − 2) × 1.