2 LŨY THỪA HOÀN THIỆ N CÁC CÔNG TRÌNH CỦA
2.3.2 Kết nối với bài toán Waring
Với mỗi số nguyên k ≥ 2, kí hiệu g(k) là số nguyên nhỏ nhất g sao cho với mọi số nguyên dương là tổng của nhiều nhất g số nguyên có dạng xk.
Dễ ràng chứng minh chặn dưới của g(k) là g(k) ≥ I(k) với
I(k) = 2k = [(3/2)k]−2
Thật vậy, ta viết 3k = 2k.q +r với 0< r < 2k, q = [(3/2)k] nên ta có
I(k) = 2k +q −2
Xét số nguyên
N = 2kq −1 = (q −1)2k + (2k −1)1k
Do N < 3k, ta viết N như là tổng của các lũy thừa bậc k, có thể không bao gồm các số hạng 3k, do N < 2k.q nên nó bao gồm nhiều nhất (q −1)
các số hạng có dạng 2k, tất cả các cái khác là 1k. Do đó tổng các số có ít nhất (q −1) + (2k−1) = I(k) số hạng.
Giả thuyết 3.9: Với mọi k ≥ 2, đẳng thức g(k) = I(k) đúng.
Giả thuyết này là một câu truyện dài và thú vị. Đối với các giá trị nhỏ của k một trong các trường hợp khó nhất để giải quyết là g(4) = 19. Cuối cùng đã được giải bởi R. Balasubramanian, J.M. Deshouillers and F. Dress [35],[34]. Sự khó khăn với lũy thừa 4 phát sinh từ sự khác nhau giữa g(k)
và số mũ Waring khác G(k) là tương đối nhỏ với k = 4, do đó G(k) là số nguyên nhỏ nhất g sao cho với mọi số nguyên dương đủ lớn là tổng của nhiều nhất g số nguyên có dạng xk. Thật vậy, G(4) = 16: chặn trên
G(4) ≤ 16 là một kết quả của H. Davenport (1939), trong khi đó Kempner đã chứng minh không có số nguyên nào có dạng16n×31 có thể được biểu diễn dưới dạng tổ của ít hơn 16 số hạng các lũy thừa bậc 4.
L.E.Dickson and S.S. Pillai [68],[110] đã độc lập chứng minh định lý Waring lý tưởng đúng với điều kiện phần còn lại r = 3k −2kq thỏa mãn
r ≤2k −q −3 (2.13)
Điều kiện (2.13) thỏa mãn với 3 ≤k ≤ 471600000, cũng như với k đủ lớn được K.mahler chỉ ra [87](1957): bằng cách mở rộng của Ridout của định lý Thue-Siegel-Roth, ông chứngminh nếu α là số đại ố tùy ý, u, v là các ố
nguyên, nguyên tố cùng nhau thỏa mãn u > v ≥ 2 và ε >0 thì bất đẳng thức
||α(u/v)n|| < −εn
được thỏa mãn nhiều nhất một số hữu hạn các số nguyên dương n.
Trường hợp đặc biệt α = 1, u = 3, v = 2 và 0 < ε < log(4/3), suy ra với với số nguyên k đủ lớn thỏa mãn (2.13). Do đó định lý Waring lý tưởng đúng ngoại trừ một số hữu hạn các giá trị của k.
Kết quả sau được đưa ra bởi Sinnou David
Mệnh đề 2.3.3. Giả sử tồn tại hai hằng số dương θ và κ với
c < κ(ε)R(abc)θ
có tính chất sau: Với mọi bộ (a, b, c) các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn a+b = c, bất đẳng thức c < κ(ε)R(abc)θ đúng. Tập k0 = 2θlog 6 + logκ log 3 −2θlog(3/2)
thì với mọi số nguyên dương k ≥k0, thương q và số dư r của phép chia 3k
cho 2k
3k = 2k.q +r,0< r < 2k
thỏa mãn (2.13)
Ta thấy rằng với mọi số nguyên k thỏa mãn bất đẳng thức (2.13) đúng thìg(k) = I(k) do đó từ định lý Waring lý tưởng suy ra một nghiệm tường minh của giả thuyết abc.
Chứng minh Mệnh đề 2.3.3. Từ các giả thiết của Mệnh đề 2.3.3, giả sử k
là số nguyên dương với r > 2k−q −2. chúng ta ràng buộc k bằng
k(log 3−2θlog(3/2)) ≤ θlog 36 + logκ
Kí hiệu 3ν là gcd của 3k và 2k(q + 1) và tập hợp
thìa, b, clà các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau thảo mãngcd(a, b, c) = 1 và
b = 3−ν(26k−r) ≤ 3−ν(q + 2).
Căn R của tính abc bị chặn bởi
R ≤ 6(q + 1)b ≤3−ν6(q = 1)(q + 2)
Với q ≥ 1 ta có (q + 1)(q + 2) < 6q2. Từ các giả thiết của Mệnh đề 2.3.3 suy ra 3−ν2k(q + 1)< κ(3−ν.36q2)θ do ν ≥ 0, θ > 1 ta được 2k < 62θκq2θ−1. Do r > 0 ta suy ra 3k > 2k.q. Do đó (2(2/3)2θ−1)k < 62θ.κ
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau đây:
Tài liệu tham khảo
[1] Y.F. Bilu, Catalan’s conjecture [after Mihăilescu], Sém. Bourbaki, 55 ème année, n0909(2002/03), 24 pp.
[2] Y. Bugeaud, G. Hanrot, Un nouveau critère pour l’équation de Cata- lan,Mathematika 47(2000), 63-73. MR 2003h:11039
[3] J.W.S. Cassels, On the equation ax − ay = 1„II, Proc. Cambridge Philos. Soc. 56 (1960),97-103. MR 22:5610.
[4] E. Catalan, Note extraite d’une lettre adressée à al’éditeur,J.ReineAngew.Math. 27.(1844), 192.
[5] E.Z. Chein, A note on the equation x2 = yq + 1, Proc. Amer. Math. Soc. 56 (1976), 83-84. MR 53:7937
[6] P.M. Cohn, Algebra, Vol. 2, John Wiley and Sons, Chichester-New York, 1977. MR 58:26625
[7] K. Dilcher, Fermat numbers, Wieferich and Wilson primes: computa- tions and generalizations, Public-key cryptography and computational number theory (Warsaw, 2000), de Gruyter, Berlin, 2001, pp. 29-48. MR 2002j:11004
[8] R. Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields, II, Nagoya Math. J. 67 (1977), 139-158. MR 56:2964
[9] S. Hyyro, Uber das Catalansche Problem, Ann. Univ. Turku, Ser. A I no. 79 (1964), 8 pp.MR 31:3378
[10] S. Hyyro, Uber die Gleichung axn − byn = z und das Catalansche Problem, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I no. 355 (1964),50 pp. MR 34:5750
[11] K. Inkeri, On Catalan’s problem,ActaArith. 9 (1964), 285-290. MR 29:5780
[12] K. Inkeri, On Catalan’s conjecture,J.NumberTheory 34 (1990), 142- 152. MR 91e:11030
[13] W. Keller, J. Richstein, Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1( mod pr) Math. Comput.(to appear).
[14] J. Knauer, J. Richstein, The continuing search for Wieferich primes, preprint (2003).
[15] Chao Ko [Ko Chao], On the Diophantine equation x2 = yn+1, xy 6= 0
Sci.Sinica(Notes) 14 (1964), 457-460. MR 32:1164.
[16] G. Lettl, A note on Thaine’s circular units, J. Number Theory 35 (1990), 224-226. MR 91h:11118
[17] B. Mazur, A. Wiles, Class
elds of abelian extensions of Q, Invent. Math. 76 (1984),179-330. MR 85m:11069
[18] M. Mignotte, A criterion on Catalan’s equation, J. Number Theory
52 (1995), 280-283. MR 96b:11042
[19] M. Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp. 247-254. MR 2002g:11034 [20] P. Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture,
J. Number Theory 99 (2003), 225-231.
[21] P. Mihăilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s con- jecture,preprint(September 2, 2002), submitted.
[22] T. Nagell, Sur l’impossibilité de l’équation indéterminée xp−1 = y2, Norsk Mat. Forenings Skrifter, Ser. I no. 4 (1921), 10 pp.
[23] M.B. Nathanson, Catalan’s equation in K(t), Amer. Math. Monthly 81 (1974), 371-373.MR 49:218
[24] P. Ribenboim, Catalan’s Conjecture, Academic Press, Boston, 1994. MR 95a:11029
[25] W. Schwarz, A note on Catalan’s equation,ActaArith. 72 (1995), 277- 279. MR 96f:11048
[26] R. Steiner, Class number bounds and Catalan’s equation, Math. Com- put. 67 (1998), 1317-1322. MR 98j:11021
[27] F. Thaine, On the ideal class groups of real abelian number fields, Ann. of Math. 128(1988), 1-18. MR 89m:11099
[28] R. Tijdeman, On the equation of Catalan,ActaArith. 29 (1976), 197- 209. MR 53:7941
[29] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd ed., Springer-Verlag, New York- Berlin-Heidelberg, 1997. MR 97h:11130 [30] A. Baker, Logarithmic forms and the abc-conjecture, in Number the-
ory (Eger, 1996),de Gruyter, Berlin, 1998, pp. 37–44.
[31] A. Baker, Experiments on the abc-conjecture, Publ. Math. Debrecen, 65 (2004), pp. 253–260.
[32] A. Baker , On an arithmetical function associated with the abc–conjecture, in Diophantine geometry, CRM Series, 4, Ec. Norm., Pisa, 2007, pp. 25–33.
[33] A. Baker and G. Wustholz, Logarithmic forms and Diophantine geom- etry, New Mathematical Monographs 9. Cambridge University Press, 2007.
[34] R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, and F. Dress, Problème de Waring pour les bicarrés. I: schéma de la solution, C. R. Acad. Sci. Paris, (1986).
[35] , Problème de Waring pour les bicarrés. II: résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique, C. R. Acad. Sci. Paris, (1986).
[36] R. Balasubramanian and P. P. Pandey, Catalan’s conjecture over num- ber fields. http://arxiv.org/abs/0901.4305, 2009.
[37] R. Balasubramanian and T. N. Shorey, On the equationa(xm−1)/(x−
[38] M. A. Bennett, Fractional parts of powers of rational numbers, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 114 (1993), pp. 191–201.
[39] M. A. Bennett , On some exponential equations of S. S. Pillai, Canad. J. Math., 53 (2001),pp. 897–922.
[40] M. A. Bennett , Pillai’s conjecture revisited, J. Number Theory, 98 (2003), pp. 228–235.
[41] D. J. Bernstein, Detecting perfect powers in essentially linear time, Math. Comput.,67 (1998), pp. 1253–1283.
[42] Y. F. Bilu, Catalan’s conjecture (after Mihăilescu), Astérisque, (2004), pp. vii, 1–26.(Lecture at the Bourbaki Seminar, Nov. 2002, N)909). [43] , Catalan without logarithmic forms (after Bugeaud, Hanrot and Mi-
hăilescu), J.Théor. Nombres Bordeaux, 17 (2005), pp. 69–85.
[44] Y. F. Bilu, Y. Bugeaud, and M. Mignotte, Catalan’s equation. book in preparation.
[45] B. J. Birch, S. Chowla, M. Hall, Jr., and A. Schinzel, On the difference
x3 −y2, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim), 38 (1965), pp. 65–69. [46] E. Bombieri and W. Gubler, Heights in Diophantine geometry, vol. 4 of New Mathematical Monographs, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
[47] J. Browkin, The abc-conjecture, in Number theory, Trends Math., Birkhauser, Basel,2000, pp. 75–105.
[48] Y. Bugeaud, Sur la distance entre deux puissances pures, C. R. Acad.
Sci. Paris Sér.I Math., 322 (1996), pp. 1119–1121.
[49] Y. Bugeaud and G. Hanrot, Un nouveau critère pour l’équation de Catalan, Mathematika, 47 (2000), pp. 63–73 (2002).
[50] Y. Bugeaud and F. Luca, On Pillai’s Diophantine equation, New York J. Math.,12 (2006), pp. 193–217. (electronic).
[51] J. W. S. Cassels, On the equation ax −by = 1, Amer. J. Math., 75 (1953), pp. 159–162.
[52] J. W. S. Cassels , On the equation ax−by = 1. II, Proc. Cambridge Philos. Soc., 56 (1960),pp. 97–103.
[53] E. Catalan, Note extraite d’une lettre adresse l’editeur par Mr. E. Catalan, Rptiteur l’cole polytechnique de Paris, J. reine Angew. Math., 27 (1844), p. 19.
[54] E. Z. Chein, A note on the equation x2 = yq+ 1, Proc. Amer. Math. Soc., 56 (1976),pp. 83–84.
[55] H. Cohen, Démonstration de la Conjecture de Catalan. 83 p.; http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups05-01.pdf.
[56] L. V. Danilov, Letter to the editors: “The Diophantine equation x3 −
y2 = k and a conjecture of M. Hall” [Mat. Zametki 32 (1982), no. 3, 273–275, Mat. Zametki, 36(1984), pp. 457–458.
[57] H. Darmon and A. Granville, On the equations zm = F(x, y) and
Axp+Byq = Czr, Bull. London Math. Soc., 27 (1995), pp. 513–543. [58] L. E. Dickson, History of the theory of numbers. I, II, III., Reprinted with the permission of the Carnegie Institution of Washington, New York, Stechert, (1934).
[59] N. Elkies, Rational points near curves and small nonzero |x3− y2|
via lattice reduction, in Algorithmic number theory (Leiden, 2000), vol. 1838 of Lecture Notes in Comput. Sci., Springer, Berlin, 2000, pp. 33–63. http://arxiv.org/abs/math/0005139.
[60] N. D. Elkies, ABC implies Mordell, Internat. Math. Res. Notices, (1991), pp. 99–109.
[61] W. J. Ellison, On a theorem of S. Sivasankaranarayana Pillai, in Sémi- naire de Théorie des Nombres, 1970–1971 (Univ. Bordeaux I, Talence), Exp. No. 12, Lab. Théorie des Nombres, Centre Nat. Recherche Sci., Talence, 1971, p. 10.
[62] N. I. Fel’dman and Y. V. Nesterenko, Transcendental numbers, in Number Theory, IV, vol. 44 of Encyclopaedia Math. Sci., Springer, Berlin, 1998, pp. 1–345.
[63] R. K. Guy, Unsolved problems in number theory, Problem Books in Mathematics,Springer-Verlag, New York, third ed., 2004.
[64] K. Gyory, On the abc conjecture in algebraic number fields. to appear in Acta Arithmetica, 2008.
[65] L. Habsieger, Explicit lower bounds for ||(3/2)k, Acta Arith., 106 (2003), pp. 299–309.
[66] M. Hall, Jr., The Diophantine equation x3−y2 = k, in Computers in number theory(Proc. Sci. Res. Council Atlas Sympos. No. 2, Oxford, 1969), Academic Press, London,1971, pp. 173–198.
[67] G. H. Hardy, Ramanujan: twelve lectures on subjects suggested by his life and work,Chelsea Publishing Company, New York, 1959.
[68] G. H. Hardy and E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford Univ. Press, third ed., 1954.
[69] A. Herschfeld, The equation 2x−3y = d, Bull Amer. Math. Soc., 41 (1935), p. 631.
[70] A. Herschfeld , The equation 2x−3y = d, Bull. Amer. math. Soc., 42 (1936), pp. 231–234.
[71] P.-C. Hu and C.-C. Yang, Distribution theory of algebraic numbers, vol. 45 of de Gruyter Expositions in Mathematics, Walter de Gruyter GmbH and Co. KG, Berlin, 2008.
[72] S. Hyyr, Uber die Gleichung axn − byn = z und das Catalansche Problem, Ann. Acad.Sc. Fenn., Ser. A, 355 (1964).
[73] K. Inkeri, On Catalan’s problem, Acta Arith., 9 (1964), pp. 285–290. [74] K. Inkeri , On Catalan’s conjecture, J. Number Theory, 34 (1990), pp.
142–152.
[75] C. Ko, On the Diophantine equation x2 = yn+ 1, xy 6= 0, Sci. Sinica, 14 (1965),pp. 457–460.
[76] A. Kraus, On the equation xp+ yq = zr: a survey, Ramanujan J., 3
(1999), pp. 315–333.
[77] S. Lang, La conjecture de Catalan d’après R. Tijdeman (Acta Arith. 29 (1976), no.2, 197–209), in Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e an- née (1975/76), Thèorie desnombres: Fasc. 2, Exp. No. 29, Secrétariat Math., Paris, 1977, p. 9.
[78] S. Lang, Elliptic curves: Diophantine analysis, vol. 231 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, 1978. [79] S. Lang , Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull.
Amer. Math. Soc.(N.S.), 23 (1990), pp. 37–75.
[80] S. Lang , Number theory. III, vol. 60 of Encyclopaedia ofMathematical Sciences, Springer- Verlag, Berlin, 1991. Diophantine geometry.
[81] S. Lang , Algebra, vol. 211 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York,third ed., 2002.
[82] M. Langevin, Quelques applications de nouveaux rsultats de van der Poorten. Smin.Delange-Pisot-Poitou, 17 Anne 1975/76, Thor. des Nombres, Groupe d’tude; Fasc. 2,Expos G12, 11 p. (1977)., 1977. [83] M. Le, A note on the Diophantine equation axm − byn = k, Indag.
Math. (N.S.), 3(1992), pp. 185–191.
[84] V. A. Lebesgue, Sur l’impossibilit en nombres entiers de l’quation
xm = y2 + 1, Nouv. Ann. Math., (1850), pp. 178–181.
[85] W. J. LeVeque, On the equation ax−by = 1, Am. J. Math., 74 (1952), pp. 325–331.
[86] J. H. Loxton, Some problems involving powers of integers, Acta Arith., 46 (1986),pp. 113–123.
[87] K. Mahler, On the fractional parts of the powers of a rational number. II, Mathematika, 4 (1957), pp. 122–124.
[88] D. W. Masser, Note on a conjecture of Szpiro, Astérisque, (1990), pp. 19–23.Séminaire sur les Pinceaux de Courbes Elliptiques (Paris, 1988).
[89] R. D. Mauldin, A generalization of Fermat’s last theorem: the Beal conjecture and prize problem, Notices Amer. Math. Soc., 44 (1997), pp. 1436–1437.
[90] B. Mazur, Questions about powers of numbers, Notices Amer. Math. Soc., 47 (2000),pp. 195–202.
[91] T. Metsankyla, Catalan’s conjecture: another old Diophantine prob- lem solved, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 41 (2004), pp. 43–57. [92] M. Mignotte, Sur l’équation de Catalan, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I
Math., 314(1992), pp. 165–168.
[93] M. Mignotte, Un critère élémentaire pour l’équation de Catalan, C. R. Math. Rep. Acad. Sci.Canada, 15 (1993), pp. 199–200.
[94] M. Mignotte, Sur l’équation de Catalan. II, Theoret. Comput. Sci., 123 (1994), pp. 145–149.Number theory, combinatorics and applications to computer science (Marseille, 1991).
[95] M. Mignotte , A criterion on Catalan’s equation, J. Number Theory, 52 (1995), pp. 280–283.
[96] M. Mignotte , Arithmetical properties of the exponents of Catalan’s equation, in Proceedings of the 2nd Panhellenic Conference in Algebra and Number Theory (Thessaloniki, 1998),vol. 42, 1999, pp. 85–87. [97] M. Mignotte , Une remarque sur l’équation de Catalan, in Number
theory in progress, Vol. 1(Zakopane-Koscielisko, 1997), de Gruyter, Berlin, 1999, pp. 337–340.
[98] M. Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, in Number theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp. 247–254.
[99] M. Mignotte , L’équation de Catalan, Gaz. Math., (2002), pp. 25–39. [100] M. Mignotte , A new proof of Ko Chao’s theorem, Mat. Zametki, 76
(2004), pp. 384–395.
[101] M. Mignotte and Y. Roy, Catalan’s equation has no new solution with either exponent less than 10651, Experiment. Math., 4 (1995), pp. 259–268.
[102] M. Mignotte and Y. Roy, Lower bounds for Catalan’s equation, Ra- manujan J., 1 (1997), pp. 351–356. International Symposium on Num- ber Theory (Madras, 1996).
[103] M. Mignotte and Y. Roy , Minorations pour l’équation de Catalan, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.,324 (1997), pp. 377–380.
[104] P. Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J. Number Theory, 99 (2003), pp. 225–231.
[105] P. Mihăilescu , Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s
conjecture, J. Reine Angew. Math., 572 (2004), pp. 167–195.
[106] P. Mihăilescu , On the class groups of cyclotomic extensions in pres- ence of a solution to Catalan’s equation, J. Number Theory, 118 (2006), pp. 123–144.
[107] L. J. Mordell, Diophantine equations, Pure and Applied Mathemat- ics, Vol. 30, Academic Press, London, 1969.
[108] T. Nagell, Sur une classe d’équations exponentielles, Ark. Mat., 3 (1958), pp. 569–582.
[109] M. Nair, A note on the equationx3−y2 = k, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29(1978), pp. 483–487.
[110] W. Narkiewicz, Classical problems in number theory, vol. 62 of Monografie Matematyczne [Mathematical Monographs], Panstwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), Warsaw, 1986.
[111] A. Nitaj, The abc Conjecture home page.
http://www.math.unicaen.fr/ nitaj/abc.html.
[112] J. Œsterlé, Nouvelles approches du “théorème” de Fermat, Astérisque, (1988),pp. Exp. No. 694, 4, 165–186 (1989). Séminaire Bourbaki, Vol. 1987/88.
[113] P. Philippon, Quelques remarques sur des questions d’approximation diophantienne, Bull. Austral. Math. Soc., 59 (1999), pp. 323–334. Ad- dendum, id. 61 (2000), pp. 167–169.
[114] S. S. Pillai, On some Diophantine equations, Journal Indian M. S., 18 (1930),pp. 291–295.
[115] S. S. Pillai , On the inequality 0 < ax −by ≤ n, Journal Indian M. S., 19 (1931), pp. 1–11.
[116] S. S. Pillai, On the indeterminate equation xy − yx = a, Journal Annamalai University 1,Nr. 1, (1932), pp. 59–61.
[117] S. S. Pillai, On ax−by = c, J. Indian math. Soc. (N.S.) 2, 2 (1936), pp. 119–122.
[118] S. S. Pillai, A correction to the paper “On ax −by = c”, J. Indian math. Soc., 2 (1937),p. 215.
[119] S. S. Pillai, On a linear diophantine equation, Proc. Indian Acad. Sci. A, 12, (1940), pp. 199–201.
[120] S. S. Pillai , On a problem in Diophantine approximation, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 15 (1942), pp. 177–189.
[121] S. S. Pillai , On algebraic irrationals, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 15 (1942), pp. 173–176.
[122] S. S. Pillai, On numbers of the form2a∆3b.I, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 15 (1942),pp. 128–132.
[123] S. S. Pillai , On aX −bY = by ±ax, J. Indian Math. Soc. (N. S.), 8 (1944), pp. 10–13.MR0011477.
[124] S. S. Pillai , On the equation 2x − 3y = 2X + 3Y , Bull. Calcutta Math. Soc., 37 (1945),pp. 15–20.
[125] S. S. Pillai and A. George, On numbers of the form 2a∆3b. II, Proc. Indian Acad.Sci., Sect. A, 15 (1942), pp. 133–134.
[126] J.-C. Puchta, On a criterion for Catalan’s conjecture, Ramanujan J., 5 (2001),pp. 405–407 (2002).
[127] G. Plya, Zur arithmetischen Untersuchung der Polynome, Math. Zs. 1, 143-148,(1918).
[128] P. Ribenboim, Catalan’s conjecture, Academic Press Inc., Boston, MA, 1994.
[129] P. Ribenboim, My numbers, my friends, Springer-Verlag, New York, 2000. Popular lectures on number theory.
[130] A. Schinzel, Andrzej Schinzel selecta. Vol. I, Heritage of Euro- pean Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zurich, 2007. Diophantine problems and polynomials, Edited by Henryk Iwaniec,Wladyslaw Narkiewicz and Jerzy Urbanowicz.
[131] R. Schoof, Catalan’s conjecture, Universitext, Springer-Verlag Lon- don Ltd., London,2008.
[132] R. Scott, On the equations px−by = c and ax+by = cz, J. Number Theory, 44(1993), pp. 153–165.
[133] R. Scott and R. Styer, On px−qy = c and related three term expo-
