Các lũy thừa hoàn thiện (tiếp theo)

2 LŨY THỪA HOÀN THIỆ N CÁC CÔNG TRÌNH CỦA

2.2.2 Các lũy thừa hoàn thiện (tiếp theo)

Một số lớp các phương trình Diophantine mũ có dạng

Ax^p+By^q = Cz^r (2.7)

trong đó A, B, C là các số nguyên dương cố định, các ẩn x, y, z, p, q là các số nguyên không âm. Trong một số tài liệu, một trong các số nguyên

x, y, z, p, q, r có thể được giả thiết là cố định bao gồm các số nguyên tố cố định.

Phương trình Beal

Trong trường hợp A = B = C = 1 phương trình trên với sáu ẩn gọi là phương trình Beal

x^p+y^q = z^r (2.8)

Xem trong [35],[76],[129] và [159]. Thêm các điều kiện

1 p ⁺ 1 q ⁺ 1 r ^{< 1 (2.9)}

và x, y, z là các số nguyên tố cùng nhau, thì phương trình (2.8) chỉ có các nghiệm

1 + 2³ = 3²,2⁵ + 7² = 3⁴,7³ + 13² = 2⁹,2⁷ + 17³ = 71²

3⁵ + 11⁴4 = 122²,17⁷7 + 76271³3 = 21063928²,1414³ + 2213459² = 65⁷ 9262³+15312283² = 113⁷,43⁸+96222³ = 30042907²,33⁸+1549034² = 15613³

Từ điều kiện (2.9) suy ra

1 p ⁺ 1 q ⁺ 1 r ≤ ⁴¹ 42

Giả thuyết abc dưới đây phỏng đoán đoán tập các nghiệm của (2.8) là hữu hạn: Đây là giả thuyết "Catalan - Fermat" [57]. Trong tất cả các nghiệm đã biết, ít nhất một trong các số p, q, r bằng 2, điều này dẫn R. Tijdeman, D. Zagier và A. Beal phỏng đoán "Phương trình Beal (2.8) không có nghiệm với hạn chế p, q, r là ≥3".

Darmon and Granville trong [57] đã chứng minh với điều kiện (2.9),

A, B, C là các số nguyên khác không cố định, phương trình Ax^p+By^q =

Cz^r chỉ có hữu hạn các nghiệm (x, y, z) ∈ _Z3 với gcd(x, y, z) = 1[46],[71].

Phương trình Diophantine của Pillai

Một lớp con của phương trình (2.7) gọi là phương trình Diophantine của Pillai [50]: đó là trường hợp q = 1. Với các kí hiệu như trên,A, B, C, a, b, c

với a ≥ 2, b ≥ 2 là các số nguyên dương, phương trình

Aa^u−Bb^v = c (2.10)

trong đó u, v là các số nguyên không âm [71].

Năm 1971 sử dụng phương pháp siêu việt được khởi xướng bởi A.Baker, W.J. Ellison [61] đưa ra một sự làm mịn cho kết quả của S.S. Pillai [115] bằng việc đưa ra cận dưới tường minh cho các số không triệt tiêu có dạng

|am^x −bn^y|: Cho δ > 0 tùy ý, với mọi số nguyên a, b, m, n và với mọi số

x đủ lớn (phụ thuộc vào δ, a, b, m, n) ta có ước lượng sau

|am^x−bn^y| ≥ m^(1−δ)x.

Đặc biệt, a = b = 1, m= 2, n = 3[67], G.H. Hardy cho rằng

|2^x−3^y| > 2^xe^−x/10

với x ≥12, x 6= 13,14,16,19,27 và với mọi y.

Trong chương 12 "Phương trình Catalan và các phương trình liên quan"[39] dành cho các phương trình dạng (2.10).

Kết quả của T.N. Shorey and R. Tijdeman [138] (1976) nói về phương trình max^m −byⁿ = k, trong đó a, b, k, x là các số nguyên tố cố định,

y, m, n là các ẩn, với m > 1, n > 1, x > 1, y > 1. Kết quả của T.N. Shorey, A.J. Van der Poorten, R. Tijdeman and A. Schinzel giả thiết m cố định, a, b, k bao gồm các số nguyên tố cố định, n, x, y là các ẩn.

Một kết quả bổ trợ cho phương trình wz^q = f(x, y), trong đó f là đa thức với hệ số nguyên, w là số nguyên tố cố định hoặc bao bồm các cố nguyên tố cố định, x, y, z và q là các đản được đưa ra bởi T.N. Shorey, A.J. Van der Poorten, R. Tijdeman and A. Schinzel.

Trong các công trình tiếp theo của Polya [127] (1918), S.S. Pillai [115] (1931) và T. Nagell [108] (1958) đã chỉ ra phương trình (2.10) chỉ có hữu hạn các nghiệm (u, v). Với một số điều kiện, các tác giả trong [50] có nhiều nhất một nghiệm (u, v). Họ cũng áp dụng giả thuyết abc chứng minh phương trình a^x1 −a^x2 = b^y1 −b^y2 chỉ có hữu hạn các nghiệm ngyên dương (a, b, x₁, x₂, y₁, y₂) theo các điều kiện tự nhiên (cần thiết).

Năm 1986, J.Turk [149] đưa ra một ước lượng hữu hiệu cho chặn dưới của |xⁿ − y^m|, và được B. Brindza, J.-H. Evertse and K. Gyrory chứng minh năm 1991 và Y. Bugeaud tiếp tục hiệu chỉnh trong [48] (1998): Cho

x là số nguyên dương và y, m, n là các số nguyên ≥ 2, giả sử xⁿ 6= y^m

thì |xⁿ − y^m| ≥ m^2/(5n)n⁻⁵2^−6−42/n. Một câu hỏi liên quan, đó là ước lượng số lớn nhất của các lũy thừa hoàn thiện trong một khoảng tương đối nhỏ. Chẳng hạn, khoảng [121,128] chứa ba lũy thừa hoàn thiện 121 = 11²,125 = 5³,128 = 2⁷. J.H.Loxton [86] đã cải tiến ước lượng của của Turk, ông nghiên cứu các lũy thừa hoàn thiện của các số nguyên trong khoảng [N, N + N^1/2]. Một điểm thú vị trong chứng minh của Loxton là sử dụng các chặn dưới cho đồng thời các tổ hợp tuyến tính của các logarit. Một lỗ hổng trong bài báo của Loxton đã được chỉ ra và điều chỉnh theo hai cách khác nhau bởi D. Bernstein [41] và C.L. Stewart [146],[147]. Trong [146], Stewart phỏng đoán có vô hạn các ố nguên N sao cho khoảng

[N, N +N^1/2] chứa ba số nguyên trong đó có một số là bình phương, một là bậc ba, một là bậc bốn. Hơn nữa ông cũng phỏng đoán với số N đủ lớn, khoảng [N, N +N^1/2] không chứa bốn lũy thừa riêng biệt và nếu nó chứa ba lũy thừa riêng biệt thì một là bình phương, một là bậc 3 và một là bậc 5.

Cho a, b, k, x, y là các số nguyên dương với x > 1 và y > 1, chặn dưới cho số các nghiệm nguyên (m, n) của phương trình ax^m − byⁿ = k với

m > 1, n > 1 được thiết lập bởi W.J. LeVeque [85] (1952), T.N. Shorey (1986), Z.F. Cao (1990) và Le Mao Hua [83] (1992).

Năm 1993, R.Scott [132]xét phương trình p^x−b^y = c, trong đó p là số nguyên tố, b > 1 và c là các số nguyên dương. Trong một số trường hợp ông chỉ ra có nhiều nhất 1 nghiệm.

Năm 2001, M.Bennet [39] nghiên cứu phương trình (2.4) vớia ≥ 2, b ≥2

và c là các số nguyên khác nhau, x ≥ 1 và y ≥ 1 là các ẩn. Cải tiến các kết quả của Le Mao Hua [83], M.Bennett đã chỉ ra phương trình (2.4) có nhiều nhất hai nghiệm.

Năm 2003, M.Bennett [40] đã chứng minh nếu N và c là các số nguyên dương với N ≥ 2 thì phương trình Diophantine

|(N + 1)^x−N^y| = c

có nhiều nhất một nghiệm nguyên dương x và y, trừ khi

(N, c) ∈ {(2,1),(2,5),(2,7),(2,13),(2,23),(3,13)}

Mọi nghiệm nguyên dương x, y của phương trình trên được đưa ra trong các trường hợp ngoại lệ. Chứng minh là sự kết hợp của hai phần: Một mặt Bennett sử dụng công trình cũ của mình trên khoảng cách tới số nguyên gần nhất, được kí hiệu là || · ||. Năm 1993 [38], ông làm mạnh kết quả trước đó của F.Beukers (1981) và D.Easton (1986) bằng việc chứng minh ||((N + 1)/N)^k|| > 3^−k với N và k là các số nguyên thỏa mãn

4 ≤ N ≤ k.3^k. Hơn nữa, trong [40], N.Bennett đã thiết lập được một kết quả hữu hiệu trên ||(3/2)^k||, ước lượng này yếu hơn ước lượng không hữu hiệu của Mahler. Trong [160] W.Zudilin đã chứng minh

||(3/2)^k|| > c^k = 0,5803^k, vớik ≥ K,

trong đó K là hằng số tuyệt đối hữu hiệu. Điều này cải thiện ước lượng của L.Habsieger đưa ra trong [65] với c = 0,5770.

Năm 2004, R.Scott và R.Styer [133] xét phương trình

p^x−q^y = c (2.11)

trong đó p, q và c là cố định, p, q là các số nguyên tố phân biệt, c là số nguyên dương, x, y là các ẩn nguyên dương. Sử dụng tiêu chuẩn làm mạnh của sự độc lập tuyến tính của các logarit của các số đại số, họ đã chỉ ra nếu q 6= 1( mod 12) thì (2.11) có nhiều nhất một nghiệm, ngoại trừ các trường hợp

(p, q, c) ={(3,2,1),(2,3,5),(2,3,13),(2,5,3),(13,3,10)}

hoặc

Hơn nữa, các tác giả đã giải quyết được vấn đề do H.Edgar đặt ra, đó là phương trình (2.11) với c = 2^h có nhiều nhất một nghiệm nguyên dương

(x, y) ngoại trừ x = 3, q = 2, k = 0.

Năm 2006, cũng các tác giả đó [134] đã nghiên cứu phương trình

(−1)^ua^x+ (−1)^vb^y = c,

trong đó a, b, c là các số nguyên cố định, a, b ≥ 2. Họ đã chỉ ra phương trình này có nhiều nhất hai nghiệm nguyên (x, y, u, v) với (u, v) ∈ {0; 1}

với một số trường hợp ngoại lệ nhất định.

Năm 1982, J.Silverman [142] nghiên cứu phương trình Pillaiax^m+byⁿ =

ctrên các trường hàm của các đa tạp xạ ảnh (xem P.220,[139]) và Appendix P.318 [128]. Năm 1987 [143], J.Silverman đưa ra ước lượng cho số các điểm nguyên trên đường cong Catalan xoắn y^m = xⁿ+a (m ≥ 2, n ≥ 2, a ∈ _Z), như là hệ quả của một kết quả mới ông thu được trên giả thuyết của Lang liên quan đến số các điểm nguyên và hạng của nhóm Mordell - Weil của một đường cong eliptic.

Phương trình Fermat - Catalan

Phương trình Fermat - Catalan là một lớp khác của phương trình dạng (2.7), trong đó các mũ p, q và r bằng nhau:

axⁿ = byⁿ = czⁿ

trong đó a, b, c và n là các số nguyên dương cố định, n ≥2, các ẩn x, y, z

là các số nguyên dương. A.Wiles chứng minh Định lý cuối của Fermat (a = b = c = 1, n ≥ 3 không có nghiệm). Một số bài báo đã mở rộng phương pháp của ông như: A. Wiles, H. Darmon, L. Merel, A. Kraus, A. Granville, D. Goldfeld và một số người khác.

Phương trình Nagell–Ljunggren

Phương trình

xⁿ −1

x−1 ^{= y}

q,

với các ẩn x > 1, y > 1, n > 2, q ≥ 2 được nghiên cứu bởi T. Nagell(1920 và W. Ljunggren (1943). Theo chương 3 của [44], các nghiệm đã được biết

là 3⁵ −1 3−1 ^{= 11} 2,⁷ 4 −1 7−1 ^{= 20} 2,¹⁸ 3 −1 3−1 ^{= 7} 3 Phương trình Goormaghtigh Các phương trình có dạng a^x m −1 x−1 ^{= b} yⁿ−1 y −1

vớia, bcố định,x, y, m, nlà các ẩn được nhiều người nghiên cứu [37],[139],[128]. Một ứng dụng, đó là vấn đề được Goormaghtigh đưa ra là tập các số nguyên chỉ có một sự biểu diễn trong hai hệ cơ số nhân tính độc lập tuyến tính: chỉ có các nghiệm (m, n, x, y) của

x^m−1 +x^m−2 +...+x+ 1 = yⁿ⁻¹ +yⁿ⁻² +...+y + 1

trong các số nguyên m > n > 2, y > x > 1 là (5,3,2,5),(13,3,2,90). tương ứng với sự phát triển, 31 là trường hợp đầu tiêu trong các cơ số 2 và 5; 8191 trong các sơ số 2 và 90 là trường hợp thứ 2. Một tổng quát cho các vấn đề này được T.N.Shorey viết trong [136].

Các trường hợp đặc biệt hơn của (2.7)

Rất nhiều kết quả liên quan đến phương trình (2.7) được thảo luận trong [44], bao gồm cả phương trình Ramanujan–Nagell tổng quát

x² +D = kpⁿ

trong đó D, k và p là các số nguyên dương cố định với p nguyên tố, các ẩn

x, n là các số nguyên giống các phương trình kiểu Lebesgue–Nagell

p₁x² +D₂ = byⁿ

trong đó D₁, D₂, b là các số nguyên dương cố định, các ẩn x, y, n là các số nguyên dương. bài toán 3 trong 1.11 [44]

"Chứng minh rằng tồn tại một hằng số k sao cho n số nguyên n, n+ 2, ..., n+ 2k là các lũy thừa hoàn thiện."

Giả thuyết Pillai trên phương trình x^p−y^q = 2 cho thấy k = 2 là một nghiệm.