2 LŨY THỪA HOÀN THIỆ N CÁC CÔNG TRÌNH CỦA
2.2.1 Phương trình Catalan
Xét trường hợp k = 1, một giả thuyết mạnh hơn giả thuyết Pillai 1.6 được đề xuất bởi E.Catalan năm 1944 [53]. Cùng năm đó Liouville đã xây dựng các ví dụ đầu tiên của các số siêu việt. Catalan cho rằng chỉ có một cặp duy nhất các số nguyên liên tiếp là lũy thừa hoàn thiện là (8,9): "Phương trình an+1−an = 1 chỉ có một nghiệm, đó là n= 3".
Giả thuyết 2.1(E.Catalan): Phương trình Diophantine xp −yq = 1, trong đó bốn ẩn (x, y, p, q) là các số nguyên lớn hơn 1 chỉ có duy nhất nghiệm (3,2,2,3).
Trường hợp đặc biêt của phương trình Catalan
xm −yn = 1 (2.6)
trong đó bốn ẩn x, y, m, n là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2. Các tài liệu tham khảo vấn đề này là [77],[139],[128],[63],[62],[129],[135],[90].
Trên thực tế phương trình 3a−2b = 1 chỉ có một nghiệm a = 2, b = 3
nên chỉ có các số8và9là các số nguyên liên tiếp trong dãy các lũy thừa của
2 và 3, đây là bài toán được nêu ra bởi Philippe de Vitry, French Bishop of Meaux [58] và được giải vào những năm 1320 bởi French astronomer Levi Ben Gerson. Năm 1957 French astronomer Levi Ben Gerson [128] đã giải bài toán Fermat: "Nếu p là số nguyên tố lẻ và n là số nguyên ≥ 2, phương trình x2 −1 = pn không có nghiệm nguyên. Nếu n > 3, phương trình x2 −1 = 2n không có nghiệm nguyên."
Năm 1738, L.Euler [107],[128],[99] chứng minh phương trình x3 −y2 =
Năm 1850, V.A. Lebesgue [84] chứng minh phương trình (2.6) không có nghiệm với n= 2.
Năm 1921 và 1934 [107],[99], T.Nagell chỉ ra vớip > 3, nếu phương trình
y2 −1 = yp có một nghiệm với y > 0 thì y chẵn, p chia hết x và p ≡ 1( mod 8). Trong chứng minh, ông đã sử dụng kết quả đã được thiết lập năm 1897 bởi C.Strmer [152] trên lời giải của phương trình Pell-Fermat.
Định lý cơ bản của Siegel [?] năm 1929 về tính hữu hạn của các điểm nguyên trên đường cong có giống ≥ 1, có nghĩa là với mỗi cặp số nguyên cố định (m, n), m, n ≥ 2, phương trình (2.6) chỉ có hữu hạn các nghiệm. Kết quả dựa trên sự mở rộng các lập luận của Thue cải tiến bất đẳng thức Liouville trong xấp xỉ Diophantine, không mang lại bất kì ràng buộc nào cho tập các nghiệm.
Năm 1932 S. Selberg chứng minh phương trình x4 −1 = yn với m ≥
2, x, y dương không có nghiệm [107],[119].
Năm 1952, W.J. LeVeque [85] chứng minh với hai số a, b cố định a ≥
2, b ≥2, a6= b, phương trình ax−by = 1 có nhiều nhất một nghiệm (x, y), trừ (a, b) = (3,2) có hai nghiệm là (1,1) và (2,3).
Kết quả bổ trợ cho phương trình (2.6) được J.W.S.Cassels chứng minh năm 1953 [49] và năm 1960 [52] cho rằng các nghiệm của phương trình Catalan xp−yq = 1 với p, q là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn p chia hết y,
q chia hết x[99].
Năm 1958 T.Nagell [108] chỉ ra với n = 3 thì phương trình (2.6) chỉ có một nghiệm.
Năm 1962, A. Makowski và năm 1964 S. Hyyr [72] chứng minh không có ba lũy thừa hoàn thiện liên tiếp trong dãy các lũy thừa hoàn thiện. Cũng trong [72] S. Hyyr đưa ra chặn trên cho các nghiệm (x, y, n) của phương trình Diophantine axn −byn = z.
Năm 1964, K. Inkeri [73] chứng minh tiêu chuẩn thứ nhất: "Cho nghiệm
x, y, p, q của phương trình Catalan xp−yq = 1 với p, q là các số nguyên tố lẻ:
Nếup ≡ 3( mod 4)thì hoặc pq−1 ≡1( mod q2) hoặc số lớp của Q(√
p
là chia hết cho q."
Ông đưa ra tiêu chuản thứ hai sau 25 năm:[74]
"Nếu p ≡ 1( mod 4) thì hoặc pq−1 ≡ 1( mod q2) hoặc số lớp của
Năm 1965, Chao Ko [75] chứng minh chỉ có duy nhất nghiệm của phương trình (2.6) với m = 2. Chứng minh được nêu trong cuốn sách của Mordell [107].
Năm 1976, Chein đưa ra một chứng minh ngắn gọn trong [54]bằng cách sử dụng các kết quả có trước của C. Strmer (1898) [152] và T. Nagell (1921). Nó được trình bày lại trong cuốn sách của Bibenboim [128]. Mignotte [36] có một chứng minh mới cho định lý của Chao Ko.
Năm 1976, R.Tijdeman [154] chứng minh chỉ có hữu hạn nghiệm(x, y, m, n)
của phương trình (2.6) và chứng minh của ông mang lại một cận trên (tuy rất lớn) cho các nghiệm. Lời giải của ông liên quan đến một số các công cụ của các công trình trước về vấn đề này. Ông cũng sử dụng phương pháp siêu việt của Baker để thu được các chặn dưới cho các tổ hợp tuyến tính với các hệ số đại số của các logarit của các số đại số. Các ước lượng đã có tại thời điểm này là không đủ mạnh và trong phần lớn bài báo của Tijdeman [154] dành cho việc làm mạnh phương pháp của Baker.
Một tổng quát trên giả thuyết Catalan 2.1 trước năm 2000 nhờ M. Mignotte [98], ông có nhiều đóng góp cho các công trình của R.Tijdeman; ông đã mở đường cho lời giải cuối [92],[93],[94],[95],[96],[97].
Năm 2003, từ các công trình của K. Inkeri and M. Mignotte, P. Mi- hăilescu [104] thu được tiêu chuẩn số lớp tự do cho giả thuyết Catalan. Ông viết "Với mọi nghiệm của phương trình xp−yq = 1, với p, q là các số nguyên tố lẻ, các số mũ phải thỏa mãn điều kiện cặp số Wieferich
pq−1 ≡ 1( mod q2 và qp−1 ≡ 1( mod p2)”
Chứng minh xem trong [99],[126]
Trong năm tiếp theo [105], ông chứng minh hoàn thiện giả thuyết Cata- lan 2.1. Chứng minh này cũng được Yu.Bilu đưa ra trong semina Bourbaki (2002)[42]. Trong lời giải ban đầu của mình, Mihăilescu sử dụng các kết quả có trước (gồn các ước lượng trong lý thuyết số siêu việt và kết quả của Thaine (1988)) và các công trình của ông trong lĩnh vực chia đường tròn. Sau đó nhờ các đóng góp của Yu. Bilu, Y. Bugeaud, G. Hanrot and Mihăilescu, phần siêu việt của chứng minh được loại bỏ bằng một chứng minh hoàn toàn đại số.
A.J. van der Poorten [156] mở rộng kết quả của Tijdeman trên phương trình Catalan (2.6) tới phương trình xm −yn = zgcd(m,n). Trong định lý
12.4 [139], T.N Shorey và R.Tijdeman xét phương trình
(x/v)m −(y/w)n = 1
trong đó m > 1, n > 1, v, w, x, y là các ẩn, ít nhất một trong các số
v, w, x, y gồm các số nguyên tố cố định.
Các tham khảo cho sự mở rộng giả thuyết Catalan 2.1 tới các trường số được trình bày trong cuốn sách của Ribenboim [128].
