2 LŨY THỪA HOÀN THIỆ N CÁC CÔNG TRÌNH CỦA
2.3.1 Giả thuyết abc
Cho n là số nguyên dương, ta kí hiệu
R(n) = Y
p|n
p
gọi là căn hoặc phần bậc hai tự do (square free part) của n.
Tài liệu [111] cung cấp rất nhiều hệ quả của giả thuyết abc 3.7 gồm: định lý cuối của Fermat, phương trình Fermat - Catalan, các số nguyên tố Wieferich, giả thuyết Erdos-Woods, giả thuyết Hall 3.3, giả thuyết Erdos - Mallin - Walsh trên các số lũy thừa liên tiếp, các ố Brown và bài toán Brocard, giả thuyết Szpiro trên các đường cong eliptic, giả thuyết Mordell trong hình học Diophantine, các giá trị bình phương tự do của các đa thức, định lý Roth trong xấp xỉ Diophantine, giả thuyết Pressler, không điểm Siegel của các L-hàm Dirichlet, các giá trị lũy thừa tự do của các đa thức...
Giả thuyết 3.7(Giả thuyết abc): Với mỗi ε > 0, tồn tại số κ(ε) > 0
thỏa mãn nếu a, b, c thuộc Z>0 và nguyên tố cùng nhau và a+b = c. Khi đó
c < κ(ε)R(abc)1+ε
(viếtR choR(abc)). Năm 1986, C.L.Stewart và R.Tijdeman [148] đã chứng minh tồn tại một hằng số tuyệt đối κ sao cho với các giả thiết như trong giả thuyết abc thì
logc < κR15
Chứng minh liên quan đến tiêu chuẩn p-adic của sự độc lập tuyến tính của các logarit chủa các số đại số. Tiêu chuẩn này được Yu kunrui cải tiến và được xem như một hệ quả (1991). C.L.Stewant và Yu.kunrui [149] cải thiện chặn trên tới
logc < κ(ε)R2/3+ε
trong đó κ(ε) là một số dương và được tính bằng máy tính chỉ phụ thuộc vào ε. Trên thực tế kết quả của họ chính xác dơn [62]
trong đó κ là hằng số tuyệt đối.
Một ước lượng hoàn thiện, tường minh được Wong Chi Ho đưa ra trong luận án Thạc sỹ của ông ấy: Cho c > 2 với các giả thiết của giả thuyết
abc, ước lượng
logc ≤R(1/3)+(15/log logR
là đúng.
Năm 2001, C.L. Stewart và Kunrui [150] đạt được ước lượng tiệm cận mạnh hơn
logc < κ3R1/3(loga)3
với κ là hằng số tuyệt đối, dương và được tính trên máy tính.
Các công cụ mới giúp họ hoàn thiện các kết quả trước là tiêu chuẩn độc lập tuyến tính p-adic cho các logarit của các số đại số được đưa ra bởi Yu Kunrui là một sự tương tự siêu metric của tiêu chuẩn Archimedean do E.M.matveev đưa ra.
Một ước ượng khác theo hướngcủa giả thuyết abc 3.7 và được chứng minh trong bài báo [150]: Nếu a, b, c là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau với a+b = c và c > 2 thì
logc < p0Rκ(log log logR∗)/log logR
trong đó R∗ = max{R,16}, p0 = min{pa, pb, pc} và pa, pb, pc được kí hiệu là các thừa số nguyên tố lớn nhất của a, b, c với quy ước thừa số nguyên tố lớn nhất của 1 là 1.
Mở rộng giả thuyết 3.7 tới các trường số được nghiên cứu bởi K. Gryory [64]. Các mở rộng cho phương trình x0 + ...+xn = 0 được đề xuất trong [71].
Chúng ta chỉ ra giả thuyết abc suy ra sự làm mịn định lượng cho giả thuyết 3.1. Do tính đối xứng chúng ta giả sử ax > ay, đặt δ = ax−ay, gọi
dlà gcdcủaax vàby. Áp dụng giả thuyếtabc 3.7 cho các số A = by/d, B =
δ/d, C = ax/d là các số nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn A+ B = C, căn ABC bị chặn bởi δab/d. Do đó
ax ≤κ()δ1+a1+b1+