2 LŨY THỪA HOÀN THIỆ N CÁC CÔNG TRÌNH CỦA
2.3 Sự làm mịn định lượng (Quantitative refinement) của giả
ment) của giả thuyết Pillai
Giả thuyết 3.1 Cho ε > 0 tùy ý, khi đó tồn tại một hằng số κ(ε) > 0
thỏa mãn với mọi số (a, b, x, y), x ≥ 2, y ≥ 2 và ax 6= ay
|ax−by| ≥ κ(ε) max{ax, by}1−(1/x)−(1/y)−ε
Trường hợp đặc biệt của giả thuyết 3.1 là x = 3, y = 2. Giả thuyết được quy về mệnh đề: Với mọi > 0, chỉ có hữu hạn các nghiệm (a, b) thuộc
Z>0 ×Z>0 sao cho
0< |a3 −b2| ≤ max{a3, b2}(1/6)−
M.Hall [66] đề xuất một mệnh đề mạnh hơn, trong đó ông loại bỏ . Giả thuyết 3.2(Giả thuyết Hall): Tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi cặp (x, y) tùy ý các số nguyên thỏa mãn x3 6= y2 và
|x3 −y2| > Cmax{x3, y2}1/6
Các tham khảo về lịch sử của giải thuyết Hall được trình bày trong [45]. N.Elkies đưa ra một đánh giá trong [59], giá trị của C trong giả thuyết 3.2 không thể lớn hơn 5−5/2.54 = 0,96598...
Ngày nay, mọi người tin rằng có một dạng yếu hơn của giả thuyết này là đúng với số mũ 1/6 được thay bằng (1/6)− (và một hằng số C phụ thuộc ). Ngay cả khi chưa xác định nhưng giá trị hằng số cho số mũ là một hệ quả quan trọng.
Giả thuyết 3.3(Giả thuyết Hall yếu): Tồn tại một hằng số tuyệt đối
κ >0 sao cho với mọi cặp số (x, y) các số nguyên thỏa mãn x3 6= y2 và
|x3 −y2| > max{x3, y2}k
Mohan Nair [109] chỉ ra giả thuyết Hall yếu suy ra được giả thuyết Pillai 1.6.
Theo hướng của Giả thuyết Hall, chúng ta đề cập đến một kết quả riêng dược V.G.Sprindzuk đưa ra trong [139]
"Tồn tại một hằng số tuyệt đối dương c > 0 thỏa mãn với mọi (x, y)
các số nguyên thỏa mãn x ≥ 6 và x3 6= y2 và
|x3 −y2| ≥ c logx
Phát biểu 3.1 xuất hiện lần đầu trong cuốn sách của Lang [78], trong đó phỏng đoán đề xuất một chặn dưới và nó được chỉ ra bởi A.Baker [32]. Phỏng đoán như là hột hệ quả của Giả thuyếtabc3.7 của Esterl và Masser. Sự xuất hiện đó không được xem là độc lập: mối liên hệ giữa giả thuyết 3.7 và tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của các logarit của các số đại số được đưa ra bởi A.Baker [30],[31] và P.philippon [113].
Phương pháp của A.Baker mang lại các chặn dưới tường minh không tầm thường cho khoảng cánh giữa các số phân biệt có dạngαβ1
1 ...αβn
n , trong đóα và β là các số đại số. Đặc biệt khi số mũβ là các số hữu tỷ nguyên nó tạo ra các bất đẳng thức được áp dụng cho phương trình Pillai (2.4). Xem phụ lục [151], kết hợp các tiêu chuẩn độc lập tuyến tính cho các logarit với mở rộng các liên phân số và tính toán trên máy tính P.L Cijsouw, A. Korlaar and R. Tijdeman đã tìm được21 nghiệm(x, y, m, n) của bất đẳng thức
|xm −yn| < xm/2
trong đó m và n là các số nguyên tố và x < y <20.
Các ước lượng đủ mạnh được phỏng đoán trong [78] sẽ giải được giả thuyết Pillai 1.6. Tuy nhiên, áp dụng các ước lượng hiện có ta thu được kết quả [158],[128]
Mệnh đề 2.3.1. Cho W = 1,37.1012, giả sử k ≥ 1, m, n, x ≥ 1, y ≥2 và
xm > k2. Nếu 0 < xm −yn ≤ k thì m < W logy và n < W logx
Định lý 2.3.2. Cho n ≥ 2 là số nguyên, a1, ..., an là các số nguyên dương độc lập nhân tính, b1, ..., bn là các số hữu tỷ nguyên không đồng thời bằng
0 thỏa mãn ab1 1 ...abn n 6= 1 Tập C0(n) = 3n+9n4n+5 và M = max{n4n.20n+10, max 1≤i≤n{|bi|/logaj}} (2.12) Khi đó |ab1 1 ...abn
n −1| > exp{−C0(n) logM loga−1...logan}
Sự khác biệt với [158] là (2.12) được thay bằng
trong đó cấp của các số abi
i được lựa chọn sao cho
a|bn|
n = max
1≤i≤na|bi|
i với a0 = min
1≤i≤n−1ai