2.3.1 Hệ phương trình trạng thái
Các phương trình khơng gian trạng thái tuyến tính là
x Ax Bu
y Cx Du
Trong đó x là trạng thái, u là đầu vào điều khiển, A, B, C và D là ma trận không gian trạng thái. Đối với hệ thống con lắc ngược đôi, trạng thái và đầu ra được xác định [9]
x = [ α α ] Và
y = [ x x x ]
Thay vì sử dụng cơ học cổ điển, phương pháp Lagrange được sử dụng để tìm các phương trình chuyển động của hệ thống. Phương pháp hệ thống này thường được sử dụng cho các hệ thống phức tạp hơn như các bộ điều khiển robot có nhiều khớp [9].
Cụ thể hơn, các phương trình mơ tả chuyển động của cánh tay quay và con lắc ngược đôi liên quan đến điện áp động cơ servo, tức là động lực học, sẽ được lấy bằng cách sử dụng phương trình Euler-Lagrange [9]:
- = Q
Các biến qi được gọi là tọa độ tổng quát. Đối với hệ thống này là: q t = [ (t) α(t) (t) ]
Vận tốc tương ứng là
q t == [ ]
Chú thích: Quy ước dấu chấm cho đạo hàm thời gian sẽ được sử dụng trong toàn bộ tài liệu này, ví dụ: = d/dt. Biến thời gian t cũng sẽ được loại bỏ từ , α và , tức là, = (t), α = α(t), = (t).
Với các tọa độ tổng quát được xác định, các phương trình Euler-Lagrange cho hệ thống con lắc ngược đôi là :
- = Q - = Q
- = Q Lagrangian của hệ thống được mô tả
L = T – V
Trong đó T là tổng động năng của hệ và V là tổng thế năng của hệ. Do đó, Lagrangian là sự khác biệt giữa động năng và thế năng của một hệ thống.
Các lực tổng quát Q được sử dụng để mô tả các lực không bảo tồn (ví dụ: ma sát) được áp dụng cho một hệ thống đối với các tọa độ tổng quát. Trong trường hợp này, lực tổng quát tác dụng lên cánh tay quay là:
Q = - D
Và tác dụng lên con lắc dưới và trên cùng là Q = - D α
Và
Q = - D
Mô-men xoắn được áp dụng tại đế của tay quay (tức là, tại bánh răng tải) được tạo ra bởi động cơ servo như được mơ tả bởi phương trình:
=
Biến điều khiển là điện áp động cơ servo đầu vào . Đối lập với mô-men xoắn ứng dụng là mơ-men ma sát nhớt, hoặc giảm xóc nhớt. Vì con lắc khơng được kích hoạt, lực duy nhất tác dụng lên liên kết là giảm xóc. Hệ số giảm độ nhớt của các con lắc dưới và trên được ký hiệu là D và D [9].
Để giải bài tốn ta cần tìm các ma trận chuyển đổi sau: T_0_1, T_1_2, T_1_h, T_h_3 T_0_2 = T_0_1 * T_1_2 T_0_h= T_0_1 * T_1_h T_0_3= T_0_h * T_h_3 Vị trí cartesian: x T_0_1 1,4 y T_0_1 2,4 T_0_1 3,4 Tại
x T_0_2 1,4 y T_0_2 2,4 z T_0_2 3,4 Tại x T_0_h 1,4 y T_0_h 2,4 z T_0_h 3,4 Tại X T_0_3 1,4 y T_0_3 2,4 z T_0_3 3,4 Tại Đạo hàm vị trí: ( 1, 1, 1), ( 2, 2, 2 ), ( h, h, h ), ( 3, 3, 3) Tính tổng thế năng: V = 0 : tại O1 V = m g z : tại O2 V = m g z : tại Oh V = m g z : tại O3 V= V + V + V + V Tính tổng động năng:
Tr1 = Jr : Động năng chuyển động quay tại O1 Tt1 = 0 : Động năng chuyển động thẳng tại O1 Tr2 = 0 : tại O2 Tt2 = mp1[ ( 2)2 + ( 2)2 + ( 2)2 ] : tại O2 Trh = 0 : tại Oh Tth = mh[ ( h)2 + ( h)2 + ( h)2 ] : tại Oh Tr3 = 0 : tại O3 Tt3 = mp2[ ( 3)2 + ( 3)2 + ( 3)2 ] : tại O3 T = Tr1 + Tt1 + Tr2 + Tt2 + Trh + Tth + Tt3 + Tr3
Sau khi tuyến tính hóa các phương trình chuyển động phi tuyến, giải các thuật ngữ gia tốc, tức là , α , và thay thế trạng thái đã cho, chúng ta có được các ma trận khơng gian trạng thái(xem thêm chương trình tạo các ma trận khơng gian trạng thái ở phụ lục).