Để hệ thống ổn định, chúng ta cần tìm ma trận K của vector điều khiển tối ưu: u(t)= -Kx(t) , thỏa mãn chỉ tiêu chất lượng J đạt giá trị cực tiểu. Lúc này mơ hình khơng gian trạng thái sẽ trở thành [9]:
x A BK x
y Cx
Vòng điều khiển hồi tiếp trạng thái như hình:
Hình 3.3 Xét tính ổn định bằng matlab
Trạng thái đặt được xác định: = [ 0 0 0 0 0] Và tín hiệu điều khiển là: u = K ( –x )
Nếu xd bằng 0 thì u = -Kx, là luật điều khiển được sử dụng trong thuật toán LQR. Để hệ thống ổn định, ta có thể tăng cường hệ thống để bao gồm một bộ tích hợp (xem thêm trong tài liệu đính kèm từ nhà sản xuất để biết thêm chi tiết) sao cho:
= 0
1 0 + B0 u
Trong đó A và B là các ma trận khơng gian trạng thái đã được xác định và các trạng thái là [9]: = [ α α dt] Và = [ 0 0 0 0 0 dt] Với (t) = dt u = K ( - )
Để tính được giá trị K ta có thể dùng matlab hay labview, ở đây sử dụng matlab để tìm K:
Giá trị của Q và R được lấy từ tài liệu đi kèm của nhà sản xuất.
Q 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0.5 Và R = 30
Để góc ít dao động hơn, người dùng đã đặt Q (4, 4) là 5, Để tạo ra một lợi ích nhỏ tích phân cho các theo dõi góc của servo, Q (7, 7) được thiết lập là 0.5 [9].
Ta tìm được:
K = [0.4776 -14.4435 -43.1858 0.5390 -5.5365 -4.3338 0.1291]
Kiểm tra lại tính ổn định của hệ thống với ma trận K, tìm phương trình đặc trưng mới của hệ thống bằng maple.
Ở đây ta thấy hệ đã ổn định (ta có thể xét tính ổn định bằng các tiêu chuẩn ổn định đại số như tiêu chuẩn Routh, Hurwitz…).