1.2 Quá trình ngẫu nhiên
1.2.2 Quá trình Levy
Ta nhắc lại về định nghĩa của hai quá trình quen thuộc : chuyển động Brownian và quá trình Poisson.
Định nghĩa 15. Q trình B = {Bt, t ≥0} có tập các giá trị thực, xác định trên một không gian xác suất đủ (Ω,F,P) được gọi là một chuyển động Brownian nếu nó thỏa mãn các tính chất sau :
(i) Quỹ đạo của B là P- liên tục hầu chắc chắn. (ii) P(B0 = 0) = 1.
(iii) Với s, t(0≤ s ≤ t), Bt −Bs và Bt−s có cùng phân phối.
(iv) Với s, t(0 ≤ s ≤t), Bt − Bs độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s: {Bu : u ≤s}.
(v) Với mỗi t > 0, Bt có phân phối như một biến ngẫu nhiên theo tham số
t.
Định nghĩa 16. Q trìnhN = {Nt : t≥ 0}có tập các giá trị nguyên không âm, định nghĩa trên không gian xác suất (Ω,F,P), là quá trình Poisson với
tham số λ > 0 nếu:
(ii) P(N0 = 0) = 1.
(iii) Với s, t(0≤ s ≤ t), Nt −Ns và Nt−s có cùng phân phối.
(iv) Với s, t(0 ≤ s≤ t), Nt −Ns độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s: {Nu :u ≤ s}.
(v) Với mỗi t > 0, Nt có phân phối như một biến ngẫu nhiên Poisson theo tham số λt.
Về mặt cảm quan, những quá trình này dường như khác biệt. Đầu tiên, chuyển động Brownian có đường đi liên tục trong khi q trình Poisson là quá trình nhảy. Thứ hai, quá trình Poisson là quá trình khơng giảm, vì vậy sự biến thiên của quỹ đạo bị giới hạn trong thời gian hữu hạn. Trong khi đó, q trình Brownian (Wiener), các quỹ đạo có sự biến thiên không giới hạn trong khoảng thời gian hữu hạn.
Tuy nhiên, khi đặt hai định nghĩa cạnh nhau, ta sẽ thấy một số điểm chung như sau. Cả hai q trình đều có quỹ đạo liên tục trái, bắt đầu từ gốc; đều có gia số dừng và độc lập (các tính chất (i), (ii), (iii) và (iv)). Ta có thể sử dụng các thuộc tính này để định nghĩa một lớp chung của quá trình ngẫu nhiên, gọi là quá trình Lévy.
Định nghĩa 17. Quá trình X = {Xt, t ≥ 0} xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) được gọi là quá trình Lévy nếu:
(i) Quỹ đạo của X là P- liên tục phải và giới hạn trái hầu khắp nơi. (ii) P(X0 = 0) = 1.
(iii) Với s, t(0≤ s ≤ t), Xt−Xs và Xt−s có cùng phân phối.
(iv) Với s, t(0 ≤s ≤ t), Xt − Xs độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s: {Xu : u ≤ s}.
Trong phạm vi khóa luận, khi xét q trình Lévy, ta sẽ ln ln sử dụng độ đo xác suất P.
Thuật ngữ "Quá trình Lévy" là sự vinh danh cho quá trình nghiên cứu của nhà tốn học người Pháp - Paul Lévy. Mặc dù không phải là người duy nhất, nhưng sự đóng góp của ơng giữ vai trị quan trọng việc ghép nối các điều kiện và tính chất của các q trình có gia số độc lập. Nếu chỉ từ định nghĩa, sẽ rất khó khăn để có thể hình dung được sự phong phú của lớp quy trình có dạng q trình Lévy.
De Finetti (1929) đã giới thiệu khái niệm về phân phối khả phân vô hạn và chỉ ra sự phân phối này có quan hệ mật thiết với q trình Lévy. Từ phân phối này, ta có thể dễ dàng hình dung được quỹ đạo của quá trình Lévy.
Định nghĩa 18. Một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Θ có phân phối khả phân vơ hạn nếu với mỗi n = 1,2, . . . tồn tại các biến ngẫu nhiên phân bố độc lập đồng nhất Θ1,n,Θ2,n, . . . ,Θn,n sao cho :
Θ = Θd 1,n+ Θ2,n+ · · ·+ Θn,n.
với =d thể hiện các phân bố là bằng nhau. Ngồi ra, ta có thể biểu diễn quan hệ này theo quy luật xác suất. Luật phân phối µ của Θ là khả phân vô hạn nếu với mỗi n = 1,2, . . . tồn tại các luật phân phối µn của các biến ngẫu nhiên thỏa mãn µ= µ∗nn = µn ∗µn ∗ · · · ∗µn (n lần).
Theo định nghĩa trên, cách để xác định biến ngẫu nhiên có phân phối khả phân vơ hạn hay khơng là thơng qua hàm mũ đặc trưng.
Giả sử Θ có hàm mũ đặc trưng ψ(u) := −logE(eiuΘ) với mọi u ∈ R.
Khi đó, Θ có phân phối khả phân vơ hạn nếu tồn tại một hàm mũ đặc trưng
ψn của phân bố xác suất với mọi n≥ 1 sao cho:
Định nghĩa 19. Cho Π là độ đo Borel xác định trên R\ {0}. Ta gọi Π là độ đo Lévy nếu :
Z
R\{0}
(1∧x2)Π(dx) < ∞.
Định lý 1.2.19. Công thức Lévy-Khintchine.
Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực với luật phân phối µ. Ta nói
µ khả phân vơ hạn với hàm mũ đặc trưng ψ,
Z
R
eiθxµ(dx) = e−ψ(θ),với θ ∈ R,
khi và chỉ khi tồn tại bộ ba (a, σ,Π), với a ∈ R, σ ≥ 0 sao cho:
ψ(θ) =iaθ + 1 2σ 2θ2+ Z R\{0} 1−eiθx +iθx1|x|<1 Π(dx) với mọi θ ∈ R.
Kolmogorov (1932) thiết lập trường hợp đặc biệt của công thức Lévy- Khintchine cho các phân phối khả phân vô hạn bằng moments thứ hai (phương sai Variance ). Tuy nhiên, Lévy (1934) đã trình bày hồn chỉnh đặc tính của các phân phối khả phân vô hạn. Cùng với đó, ơng cũng chỉ ra lớp tổng qt của q trình với gia số dừng độc lập. Sau này, Khintchine (1937) và Itơ (1942) đã nghiên cứu làm đơn giản hóa và phát triển thêm so với nguyên bản của Lévy.
Sau đây là phần trình bày chi tiết mối quan hệ giữa phân phối khả phân vơ hạn và các q trình có gia số dừng độc lập.
Từ định nghĩa của quá trình Lévy ta thấy rằng với bất kỳ t > 0, Xt là một biến ngẫu nhiên thuộc lớp các phân phối khả phân vô hạn.
Với bất kỳ n = 1,2, . . . và X có gia số dừng độc lập: Xt = Xt n + X2t n −Xt n +· · ·+Xt −X(n−1)t n . (1.1) Đặt ψt(θ) = −logE(eiθXt) ∀θ ∈ R, t ≥ 0.
Từ(1.1), với hai số nguyên dương m, n ta có :
mψ1 = ψm(θ) =nψm n(θ).
Vậy, với bất kỳ số hữu tỷ t > 0 thì
ψt(θ) = tψ1(θ). (1.2)
Vớitlà số vô tỷ, chọn một dãy các số hữu tỷ giảm {tn : n≥ 1}sao cho tn ↓t
khi n tiến ra vơ cùng.
Ta có, X liên tục phải hầu chắc chắn nên e−tψ(θ) liên tục phải và (1.2) đúng với mọi t ≥0.
Vậy q trình Lévy có phân bố khả phân vô hạn nếu với mọi t ≥0, tồn tại
E(eiθXt) =e−tψ(θ),
với ψ(θ) := ψ1(θ) là hàm mũ đặc trưng của X1.
Định nghĩa 20. ψ(θ) là hàm mũ đặc trưng của quá trình Lévy.
Rõ ràng, nếu X là một q trình Lévy thì Xt có phân phối khả phân vơ hạn với mỗi t≥ 0. Câu hỏi đặt ra rằng, nếu có một phân phối khả phân
vơ hạn, liệu có thể xây dựng một q trình LévyX, sao choX1 có phân phối đó.
Định lý 1.2.20. Cơng thức Lévy-Khintchine cho q trình Lévy. Giả sử a ∈ R, σ ≥ 0 và Π là một độ đo trên R\ {0} sao cho
Z
R\{0}
1∧x2
Π(dx) < ∞.
Từ bộ ba (a, σ,Π), với mỗi θ ∈ R, ta có :
ψ(θ) = iaθ+ 1 2σ 2θ2 + Z R\{0} 1−eiθx +iθx1(|x|<1)Π(dx).
Khi đó tồn tại một q trình Lévy, định nghĩa trên khơng gian xác suất
(Ω,F,P) có hàm mũ đặc trưng ψ.