1.2 Quá trình ngẫu nhiên
1.2.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với mộ tσ trường
Định nghĩa 26. Cho không gian xác suất (Ω,F,P),X : Ω → Rn là biến ngẫu nhiên sao cho E(X) < ∞ và G là một σ - trường con của F, G ⊂ F.
Khi đó, một biến ngẫu nhiên Z sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X
đối với σ - trường G, nếu:
• Z là biến ngẫu nhiên đo được đối với G. • Với mọi tập A ∈ G thì ta có Z A ZdP = Z A XdP.
Biến ngẫu nhiên Z được ký hiệu là E(X|G).
Tính chất 1.2.1. Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện
Giả sửX;Y : Ω → Rn là hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞; E(Y) < ∞. Tất cả các hệ thức phát biểu dưới đây đều theo nghĩa hầu chắc chắn:
1. Nếu G là σ - trường tầm thường {∅,Ω} thì E(X|G) = EX. 2. E(X +Y|G) = E(X|G) +E(Y|G).
3. Nếu X đo được đối với G thì E(XY|G) =XE(Y|G).
4. Nếu G1 ∈ G2 thì
E(E(X|G2)|G1) = E(Y|G1).
5. Nếu X độc lập với G thì E(X|G) =EX.
6. Nếu G và H là hai σ - trường con độc lập của F, và X là biến ngẫu
nhiên độc lập đối với G thì
E(X|σ(G,H)) = E(X|H)
trong đó σ(G,H) là σ - trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H.
7. Nếu g là một hàm lồi trên tập I ∈ R và X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên I thì
8. Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu Xn ≥0 và Xn ↑X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞ thì
E(Xn|G) ↑E(X|G).
9. Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu Xn ≥0 thì E(limninfXn|G) ≤limninfE(Xn|G).
10. Sự hội tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu limn→∞Xn = X hầu chắc chắn và |Xn| ≤ Y với EY < ∞ thì
lim
n→∞E(Xn|G) =E(X|G).