3 Quá trình phân nhánh cạnh tranh
3.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Trước tiên ta sẽ trình bày về định lý tồn tại duy nhất nghiệm. Người đọc có thể tham khảo bài báo [1] của Donald A. Dawson và Zenghu Li.
Định lý 3.3.1. Xác định duy nhất một nghiệm không âm của quá trình ngẫu nhiên Xt = x+ Z t 0 f(Xs−)ds+σ Z t 0 Z Xs− 0 W(ds, du)+ Z t 0 Z ∞ 0 Z Xs− 0 zNe(ds, dz, du).
Quá trình {Xt : t≥ 0} là quá trình phân nhánh với cơ chế ψ.
Ta sẽ đi chứng minh một số kết quả về phương trình ngẫu nhiên của q trình một chiều có bước nhảy dương và độ đo ngẫu nhiên Poisson. Gọi E, U là các không gian topo có thể tách rời được định nghĩa trên khơng gian metric đủ. Giả sử rằng π(dz), µ(du), là các độ đo σ− hữu hạn Borel trên E, U tương ứng. Ta có thể nhận được các tham số (σ, b, g) nếu:
• x 7→b(x) là hàm liên tục trên R+ thỏa mãn b(0) ≥ 0;
• (x, u) 7→ σ(x, u) là một hàm Borel trên R+×E thỏa mãn σ(0, u) = 0
với u ∈ E;
• (x, u) 7→g(x, u) là một hàm Borel trên R+ ×U thỏa mãn g(0, u) = 0
và g(x, u) +x ≥ 0 với x > 0 và u ∈ U; Đặt:
- {W(ds, du)} là chuyển động Brownian trên (0,∞) ×E với cường độ
dsπ(dz).
- {N(ds, du)} là độ đo ngẫu nhiên Poisson trên (0,∞)×U với cường độ là dsµdu.
Giả sử rằng {W(ds, du)}, {N(ds, du)} được định nghĩa trên không gian xác suất đủ (Ω,F,P) và độc lập với nhau. Đặt
n e
N(ds, dz, du)o là phần bù độ đo của {N(ds, dz, du)}. Một quá trình giới hạn trái và liên tục phải
{x(t) : t ≥ 0} được gọi là nghiệm của: x(t) = x(0) + Z t 0 Z E σ(x(s), u)W(ds, du) + Z t 0 b(x(s))ds+ Z t 0 Z U g(x(s), u)Ne(ds, du) (3.4)
nếu q trình đó thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên hầu chắn chắn với mọi
t≥ 0. Ta xây dựng các điều kiện sau:
(2a) Xác định hằng số K ≥0 thỏa mãn:
b(x) ≤ K(1 +x), ∀x≥ 0.
(2b) Xác định một hàm không giảm x 7→ L(x) trên R+ và một hàm Borel
(x, u) 7→ g0(x, u) trên R+×U thỏa mãn sup 0≤y≤x |g(y, u)| ≤ g(x, u) và Z E σ(x, u)2π(du) + Z U g(x, u)∧g(x, u)2µ(du) ≤L(x), ∀x ≥ 0.
(2c) Với mỗi m ≥ 1, xác định hàm không âm, không giảm z 7→ ρm(z) trên
R+ sao cho R0+ρm(z)dz 2 = ∞,
Z
E
|σ(x, u)−σ(y, u)|2π(du) ≤ ρm(|x−y|)2
và Z U µ(du) Z 1 0 l(x, y, u)2(1−t)1{|l(x,y,u)|≤n} ρm(|(x−y) +tl(x, y, u)|)2dt≤ c(m, n) Tại đó, l(x, y, u) = g(x, u) −g(y, u) và hệ số c(m, n) ≥ 0, ∀ n ≥ 1,0≤ x, y ≤ m.
Định lý 3.3.2. Giả sử rằng (σ, b, g) là các tham số thỏa mãn các điều kiện
Chứng minh.
Ta cố định số nguyên m ≥ 1. Đặt a0 = 1 và chọn ak → 0 sao cho
Z ak−1 ak
dz
ρm(z)2 = k, k ≥ 1.
Gọi x 7→ ϕk(x) là một hàm liên tục không âm trong khoảng (ak, ak−1) trên
R và thỏa mãn: Z ak−1 ak ϕk(x)dx = 1, 0≤ ϕk(x) ≤ 2 kρm(x)2, với ak < x < ak−1.
Với mỗi k ≥ 1 ta định nghĩa hàm không âm, liên tục và khả vi hai lần :
ψk(z) = Z |z| 0 dy Z y 0 ϕk(x)dx, z ∈ R. (3.5) Khi k → ∞, ψk(z) → |z| là hàm không giảm và 0 ≤ ψk0(z) ≤ 1 với z ≥ 0.
Theo điều kiện (2b) và cách chọn x 7→ϕk(x), với 0 ≤ x, y ≤ m
ψk00(x−y)R
E|σ(x, u)−σ(y, u)|2π(du) ≤ϕk(|x−y|)ρm(|x−y|)2 ≤ 2
k.
(3.6)
Khi đó, vế trái tiến dần đều về 0 trong 0≤ x, y ≤m khi k → ∞.
Dh là không gian chứa h− điểm dịch chuyển cuả chuyển động Brownian Wt: Dh := {x = (x1, . . . , xh) ∈ R : 0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xh ≤1}.
Với h, ζ ∈ R, theo mở rộng Taylor ta có:
Dhψk(ζ) = Z 1 0 h2ψk00(ζ +th)(1−t)dt= Z 1 0 h2ϕk(|ζ +th|)(1−t)dt. ⇒ Dhψk(ζ) ≤ 2 k Z 1 0 h2 1−t ρm(|ζ + th|)2dt. (3.7) Khi đó Dhψk(ζ) = ∆hψk(ζ)−ψ0k(ζ)h ≤ 2|h|. (3.8)
Từ (3.7) và (3.8), với điều kiện 0≤ x, y ≤ m và n≥ 1, ta có: Z U Dl(x,y,u)ψk(x−y)µ(du) ≤ 2 k Z U µ(du) Z 1 0 l(x, y, u)2(1−t)1{|l(x,y,u)|≤n} ρm(|(x−y) +tl(x, y, u)|)2dt + 2 Z U
|l(x, y, u)|1{|l(x,y,u)|>n}µ(du)
≤ 2 kc(m, n) + 4 Z U g(m, u)1{g(m,n)>n2}µ(duν) (3.9)
Từ điều kiện(2b) -(2c), ta thấy vế phải tiến dần đều về 0nếu0 ≤x, y ≤m
khi k → ∞.
Vậy quỹ đạo x(t) là duy nhất.
Ta có thể đưa ra một điều kiện tương tự (2c) đối với hàm không giảm trong một số trường hợp đặc biệt:
(2d) Với mỗi u ∈ U, hàm x 7→ g(x, u) là không tăng, và với mỗi m ≥ 1,
tồn tại một hàm không âm, không giảm z 7→ ρm(z) trên R+ thỏa mãn
R
0+ρm(z)−2dz = ∞ và:
Z
E
|σ(x, u)−σ(y, u)|2π(du)+
Z
U
|l(x, y, u)|∧|l(x, y, u)|2µ(du) ≤ρm(|x−y|)2
với mọi 0≤ x, y ≤ m và l(x, y, u) =g(x, u)−g(y, u).
Định lý 3.3.3. Giả sử (σ, b, g) là tập tham số thỏa mãn các điều kiện
(2a),(2b),(2d). Khi đó, xác định một nghiệm đúng duy nhất cho (3.4)
Đầu tiên, ta xây dựng một quá trình ngẫu nhiên x(t) khơng âm là nghiệm yếu. Từ định lý (3.3.2), cũng như hệ quả và bổ đề của Fu và Li
(2010), ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. Vậy nên q trình ngẫu nhiên ban đầu là nghiệm đúng duy nhất thỏa mãn.
Hệ quả 3.3.1. Khi các tham số(σ, b, g)thỏa mãn các điều kiện(2a),(2b),(2c)
Kết luận
Luận văn đã trình bày được những vấn đề cơ bản nhất của quá trình phân nhánh và quá trình phân nhánh cạnh tranh trong khơng gian liên tục. Trong đó, luận văn đã đưa ra cơng thức của quá trình phân nhánh cạnh tranh. Điều quan trọng là luận văn đã trình bày một cách hệ thống quá trình xây dựng các khái niệm và làm rõ các cơng cụ tốn học cần thiết cho việc tìm hiểu nội dung chính. Việc hiểu rõ q trình phân nhánh cạnh tranh trong không gian liên tục này tạo nền tảng vững chắc cho việc nghiên cứu mở rộng lên những mơ hình phân nhánh tổng qt hơn.
Ngày nay, vấn đề này được mở rộng khá nhiều khía cạnh để mơ tả thực chất hơn sự phát triển của quần thể. Do đó việc nghiên cứu khơng có điểm dừng và ngày càng phức tạp hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Bài báo đăng trên tạp chí khoa học
[1] Donald A. Dawson and Zenghu Li (2012),Stochastic equations, flows and measure - values processes , The Annals of Probability, 2012 , Vol.40, No.2, 813-857.
[B] Sách tiếng Việt
[2] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất và ứng dụng , Phần I- Xích Markov và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia.
[3] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất và ứng dụng , Phần III- Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia.
[4] Đặng Hùng Thắng, Q trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên , Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia.
[C] Sách tiếng Anh
[5] Athreya K.B, Ney P.E (1972)Branching Processes ,Springer-Verlag, New York.
[6] Harris, T.E (1963)The Theory of Branching Processes, Springer, Berlin.
[7] Robert B. Ash. (2008) Basis Probability Theory, Dover Publications,
INC, Mineola, New York.
[8] Sheldon M. Ross.(2010) A first course in Probability, Eighth Edition,
[9] Sheldon M. Ross. (2010) Introduction to Probability Models, Tenth Edi-
tion, Elsevier INC.
[10] Sheldon M. Ross. (1996) Stochastic Process, Second Edition, John Wiley
and Sons, INC, New York.
[11] Andreas E. Kyprianou. (2006) Introductory Lectures on Fluctuations of Levy Processes with Applications, Springer.
[12] Zenghu Li. (2012) Continuous - state branching processes, Beijing Nor-
mal University.
[D] Luận văn Thạc sĩ
[13] Nguyễn Thị Thu (2017), Quá trình phân nhánh và ứng dụng , Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Việt Nam.
[14] Vũ Đức Thắng (2014), Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính , Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Việt Nam.