1.2 Quá trình ngẫu nhiên
1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
Định nghĩa 21. Một họ các σ - trường con (Ft, t ≥ 0) của F, Ft ⊂ F, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
- Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t.
- Họ đó là liên tục phải, tức là
Ft = \
>0 Ft+.
- Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft).
Mỗi một bộ lọc Ft đều chứa tất cả các tập P−null của F.
Nhắc lại: Với mỗi A ∈ P(Ω) thỏa mãnP(A) = 0thì A được gọi làP−null. Định nghĩa 22. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥0). Ta xét
σ - trường FX
t sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FX t =
σ(Xs, s ≤ t). σ - trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của
quá trình X, hay là lịch sử của X, hay cũng cịn gọi là trường thơng tin về
X.
Định nghĩa 23. Cho một bộ lọc bất kì Ft, t ≥ 0 trên (Ω,F,P). Một quá
trình ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu: mọi Xt là đo được đối với σ - trường Ft.
Mọi q trình X = (Xt, t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó (FX
t , t ≥ 0).
Định nghĩa 24. Một không gian xác suất (Ω,F,P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (Ft), được gọi là một khơng gian xác suất có bộ lọc và kí hiệu là (Ω,F,Ft,P).
Định nghĩa 25. Thời điểm Markov và thời điểm dừng. Cho một khơng gian xác suất có bộ lọc (Ω,F,Ft,P).
(a) Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi
t≥ 0:
{ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft.
(b) Một thời điểm Markov τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn
hầu chắc chắn, tức là: