Định nghĩa 29. Một hàm thực f được gọi là có biến phân giới nội trên
[a;b] nếu tồn tại hằng số C sao cho với mọi phân hoạch của đoạn ấy
D : a = x0 < x1 < · · · < xn = b thì ta có bất đẳng thức n X k=1 |f(xk −f(xk−1))| ≤ C.
Mọi hàm đơn điệu bị chặn đều có biến phân giới nội.
Một số kết quả quan trọng
- Mọi hàm có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành hiệu của hai hàm đơn điệu không giảm .
- Nếu f : [a;b] → R là một hàm có đạo hàm giới nội |f0(x)| ≤ C thì f
là một hàm có biến phân giới nội.
- Mọi hàm f : [a;b] → R liên tục tuyệt đối trên [a;b] là hàm có biến phân giới nội.
Định nghĩa 30. Tích phân Lebesgue
Để xây dựng tích phân Lebesgue RAf(x)dµ đối với độ đo µ, A ∈ Ω trong
không gian xác suất (Ω,F,P), người ta định nghĩa RAf(x)dµ đối với hàm đặc trưng f = IA, A ∈ F.
Sau đó, định nghĩa tích phân đối với hàm đơn giản f = Pnk=1akIAk bởi
Z A f dµ = n X k=1 akµ(Ak), n [ k=1 Ak = A, Ak ∈ F, Ak rời nhau với mọi 1 ≤k ≤ n.
Với một hàm f bất kì, f là giới hạn của một dãy fn các hàm đơn giản khả tích trên A. Khi đó, người ta định nghĩa:
Z A f dµ = lim n Z A fndà. nh ngha 31. Tớch phõn Stieltjes
ã Tớch phõn Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm ψ liên tục phải có biến phân giới nội được định nghĩa bởi
(R−S) Z b a f(x)dψ(x) = lim max(xi−xi−1)→0 n X i=1 f(ξi) [ψ(xi)−ψ(xi−1)]
với mọi phân hoạch D : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, nếu giới hạn trên
tồn tại.
• Tích phân Lebesgue-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm ψ có biến phân giới nội thường đưa về tích phân Lebesgue-Stieltjes của f đối với một hàm khơng giảm (vì ψ bằng hiệu của hai hàm khơng giảm). Khi đó, ta định nghĩa : (L−S) Z b a f(x)dF(x) = (L) Z b a f dµF
trong đó µF là độ đo sinh bởi F thỏa mãn F(b)−F(a) = µ[a;b].
Như vậy, điều cần chú ý ở đây là, đối với việc xây dựng các tích phân Stieltjes Rabf dψ , việc quan trọng là phải giả thiết ψ là một hàm có biến phân giới nội trên [a;b].
1.3.1 Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 32.
Giả sử T là tập con Borel của R, kí hiệu B[0,t] là σ - trường tất cả các tập con Borel của tập T ∩(0, t].
• Q trình ngẫu nhiên X = (Xt) được gọi là đo được lũy tiến đối với bộ
lọc (Ft) nếu với mỗi t∈ T thì Xs(ω) trên tập (T ∩(0, t])×Ω đo được theo
(s, ω) đối với σ - trng Ft ìB[0,t].
ã Lp gm cỏc tp con A ì[0,+) sao cho với mọi t ≥0,
A∩ (Ω×[0, t]) ∈ Ft×B[0,t]
được gọi là σ - trường đo được đối với Ft ×B[0,t].
Khi đó, các q trình đo được lũy tiến đều o c i vi FtìB[0,t].
nh ngha 33.
ã - trng khả đoán là σ - trường nhỏ nhất gồm tất cả các tập con của
R+ ×Ω (ký hiệu là P) có dạng As ×(s, t], 0 ≤ s < t và As ∈ Fs. Ở đó, mọi q trình liên tục trái đều đo được.
• Cho q trình ngẫu nhiên X = (X(t;w)) thích nghi với (Ft). Nếu X(t;w)
là R+×Ω - đo được thì ta nói X là q trình khả đốn đối với (Ft).
1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên Ito
Nhiều bài tốn đưa đến u cầu phải tính tốn một loại tích phân có dạng
I =
Z b a
f(t, ω)dWt, (1.3)
trong đóf(t;w) là một q trình ngẫu nhiên nào đó,Wt là một chuyển động Brownian.
Ta biết rằng mỗi quỹ đạo t7→ Wt là một hàm liên tục của t. Tuy nhiên, hầu
hết mọi quỹ đạo đó lại là những hàm khơng có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạn nào. Như vậy, ta khơng thể định nghĩa tích phân trên như một tích phân Stieltjes, mà phải tìm một cách xây dựng khác. Vào khoảng 1940-1941, một nhà toán học người Nhật Kyoshi Ito đã đưa ra cách xây dựng
tích phân trên dựa vào nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" và tích phân này được gọi là tích phân Ito.
Định nghĩa 34. Cho khơng gian xác suất có bộ lọc (Ω,F,Ft,P) và chuyển động Brownian Wt, t ≥ 0, có W0 = 0 với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ
(Ft) sao cho gia sốWu - Wu sau thời điểm tđộc lập vớiσ - trườngFt(u > t).
Giả sử T là số không âm. Ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên
I(t) =
Z T
0
f(t, ω)dWt,
đối với hàm ngẫu nhiên f(t;w) đo được lũy tiến đối với họ Ft và
E
Z T
0
|f(t, w)|2dt < ∞.
1.3.3 Công thức Ito
Giả sử rằng X = (Xt;t ≥0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: (a) Hầu hết các quỹ đạo t→ Xt là liên tục,
(b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn:
Xt = X0 + Z t 0 b(t, w)ds+ Z t 0 σ(t, w)dWs
trong đó b và σ là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một q trình Itơ và có vi phân Ito dX.
Định nghĩa 35. Vi phân Ito dX là một biểu thức hình thức được viết như sau:
dXt = b(t, w)dt+σ(t, w)dWt
hay
dX = bdt+σdWt.
Công thức Itô thực chất là một cơng thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên. Nhiều q trình trong thực tế khơng liên tục theo thời gian mà có
biến đổi theo kiểu bước nhảy. Ta xây dựng cơng thức Ito cho q trình ngẫu nhiên có bước nhảy.
Xét q trình X là q trình ngẫu nhiên có bước nhảy:
Xt = X0+ Z t 0 bds+ Z t 0 σdWs +X∆Xs
ở đó b, σ là các q trình thích nghi, liên tục với E
h Rt
0 σ2dti < ∞ và các bước nhảy có cỡ là
∆Xs = Xs −Xs−.
Ta viết cơng thức Ito cho q trình X:
f(Xt) =f(X0) + Z t 0 f0(Xs−)dXs + σ 2 2 Z t 0 f00(Xs−)ds +X s≤t (∆f(Xs)−f0(Xs−)∆Xs).