Trong mục này ta sẽ xây dựng đại số Lie của một nhóm đại số affineG. Bắt đầu với
đại số A=k[G] các hàm chính quy trên G, ta dẫn ra các phép tịnh tiến trái λx, x∈G
cho bởiλx(f)(y) =f(x−1y). Nhận thấy tập L(G) các phép đạo hàm bất biến trái của
A (giao hốn với phép tịnh tiến trái) có cấu trúc (tự nhiên, thơng qua móc Lie của trường vectơ (các phép đạo hàm)) của một đại số Lie hạn chế và ta gọi đó là đại số Lie của G. Cụ thể:
L(G) = {δ∈Derk(A, A) ∣λxδ=δλx với mọi x∈G},
trong đó Derk(A, A) = {Ánh xạ k-tuyến tính δ∶A→A∣ δ(f g) =f δ(g) +gδ(f)}. Hơn nữa, nhờ phép tốn nhóm của G, dẫn đến phép tịnh tiến trái, ta có thể đồng nhất
các đạo hàm bất biến trái của G với các phép đạo hàm tại điểm đơn vị (chính là khơng gian tiếp xúc tại đơn vị). Ta sẽ chỉ rõ các phép đồng nhất này. Ký hiệu g =
T(G)e≃Derk(A, ke)là không gian tiếp xúc tại đơn vị. Ta định nghĩa ánh xạ tự nhiên
e∶L(G) →g là phép định giá tại e:
e∶ (δ∶k[G] →k[G]) ↦ (e○δ∶k[G] →ke).
Chiều ngược lại gÐ→L(G)cho bởi phép chập(∗), chuyển một phép đạo hàm điểm
X∈g thành một phép đạo hàm bất biến trái ∗X∈Derk(A, A)cho bởi công thức:
f∗X = (id⊗X)µ∗f, (1.7)
trong đó µ∗ đối cấu xạ của phép nhân trên G. Với biểu thị: µ∗f =∑n
i=1ui⊗vi∈k[G] ⊗k[G],
ta có
(f∗X)(x) =∑n
i=1(Xvi)ui(x) =X(λx−1f).
Cho G là một nhóm đại số affine, A=k[G] là đại số các hàm chính quy trên đó. Về mặt tập hợp ta định nghĩa đại số Lie là không gian tiếp xúc tại điểm đơn vị
g=T(G)e=Der(A, κ(e)).
Nhận xét 1.4.1. Phép chập cho bởi công thức (1.7) xác định một ánh xạ g→L(G), nghĩa là tương ứng X ↦ ∗X cho một ánh xạ k-tuyến tính, và ∗X cho một phép đạo hàm bất biến trái.
Chứng minh. Thật vậy (f g∗X)(x) =X(λx−1(f g)) =X((λx−1f)(λx−1g)) =X(λx−1f)g(x) +f(x)X(λx−1g) = (X∗f)(x)g(x) +f(x)(X∗g)(x). Hơn nữa, (λy(f∗X))(x) = (f∗X)(y−1x) =X(λx1yf) =X(λx−1((λyf) ∗X)(x).
Sau đây là mệnh đề chính đề cập đến tương ứng nói trên.
Mệnh đề 1.4.2. (xem [4, Prop. 3.1, p. 12]) Ta có e∶L(G) Ð→g là một đẳng cấu của các không gian vectơ với ánh xạ ngược X ∈g↦ (∗X) ∈L(G).
Chứng minh. Ta kiểm tra các hợp thành của hai ánh xạ nói trên. Hợp thành thứ nhất cho bởi:
(f∗ (e○δ))(x) =e○δ(λx−f) = (δλx−1f)(e)
= (λx−1δf)(e) =δf(x).
Hợp thành thứ hai cho bởi:
(f∗X)(e) =X(λe−1f) =Xf.
Vì vậy các ánh xạ trên là nghịch đảo của nhau.
Từ đẳng cấu L(G) ≅g nói trên,gcó được cấu trúc của đại số Lie hạn chế cảm sinh từ móc Lie trênL(G). Do đó ta cũng gọi glà đại số Lie của G.
Nếu ϕ∶G→H là một đồng cấu giữa các nhóm đại số, thì vi phân của cấu xạ đó
dϕ∶g→h là ánh xạ trên các đại số Lie tương ứng. Cấu trúc đại số Lie của L(G) có các tính chất tự nhiên sau:
Mệnh đề 1.4.3. (xem [4, Prop. 3.2]) Cho G, H là các nhóm đại số, φ∶G→H là một đồng cấu, thế thì:
1. Vi phândϕ∶g→h là một đồng cấu giữa các nhóm Lie hạn chế.
2. Nếu G là một nhóm con đóng của H và ϕ là ánh xạ nhúng, thì dϕ∶g →h cho phép đồng nhất g với một đại số Lie con hạn chế của H.
Mệnh đề 1.4.4. (xem [4, Prop. 3.3])Cho Glà một nhóm đại số,H là nhóm con đóng, và J là iđêan của k[G] tương ứng với H, k[H] =k[G]/J. Khi đó:
1. L(H) = {δ∈L(G) ∣δJ ⊂J}. 2. h= {X∈g∣X(J) =0}.