hệ nghiệm
Cho Glà một nhóm đại số liên thơng, và choR là phần tử cực đại trong các nhóm con liên thơng, giải được, chuẩn tắc củaG. Khi đóR tồn tại và xác định duy nhất, và được gọi là căn củaG.
Định nghĩa 1.5.1. (a) NhómGđược gọi là reductive nếuRu = {1}(nghĩa là cănR
không chứa phần tử lũy đơn không tầm thường). Điều này tương đương với việc căn R là một xuyến.
(b) NhómGđược gọi là nửa đơn nếu R= {1}, hoặc một cách tương đương G khơng có một nhóm con abel, chuẩn tắc với chiều dương.
Nhận xét 1.5.2. (a) Nếu G là reductive, thì căn R cũng là một xuyến và là thành phần liên thông Z(G)0 của tâm của G. Thật vậy vì R là một nhóm con chuẩn tắc, nên chuẩn tắc hóa NG(R) =G=NG(R)o), và ZG(R)o=NG(R)o=G. Do đó R là tâm của G.
(b) Với mỗi nhóm liên thơng G, G/R là một nhóm nửa đơn vàG có một phân tích hầu trực tiếp G=R⋅G1, trong đó G1 là nhóm nửa đơn.
Ví dụ 1.5.3. (a) Nhóm GLn là một nhóm reductive. Căn R của G có một khơng gian con riêngVi nằm trong khơng gianV. Vì R là chuẩn tắc, nênG hốn vị các khơng gian Vi nói trên và do đó giữ bất biến (ổn định) tổng V0 các khơng gian này. Vì G tác động bất khả quy trênV, nên V0 =V. Vì vậy R có dạng chéo, do đóGlà một xuyến và G là reductive. Thực ra từ việcGlà liên thông, Gsẽ phải cố định từng khơng gian Vi, do đó chỉ có duy nhất một Vi. Vậy R chỉ gồm các ma trận vô hướng. Dễ thấy GLn =R⋅SLn là khai triển hầu trực tiếp của GLn
trong chú ý nêu trên. Cụ thể hơn R∩SLn là nhóm hữu hạn cho bởi
µn= {diag(a, a, . . . , a) ∣an=1}.
(b) Các nhóm SLn,Sp2n,SOn là các nhóm nửa đơn.
1.5.1 Định lý chính về các nhóm nửa đơn
Định nghĩa 1.5.4. Một đặc trưngα củaT được gọi là nghiệm củaG nếu tồn tại một cấu xạ giữa các nhóm đại số xα∶Ga(k) →G, trong đó Ga(k) là nhóm cộng của k sao cho thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
1. Cấu xạ xα cho một đẳng cấu lên ảnh Xα, trong đó Xα là một nhóm lũy đơn, chuẩn tắc hóa bởi T.
2. t.xα(r).t−1=xα(α(t)r) với mọit∈T, r∈k.
Cho R là tập các nghiệm của G, và cho V =X(T) ⊗ZR. Thế thì V là một khơng gian vectơ trên R có chiều bằng chiều của T. Đồng nhất X(T) với X(T) ⊗Z1. Với
mỗi nhóm nửa đơn G, tâm hóa Z(T) = T của mỗi xuyến cực đại ln bằng chính nó (xem [6, §24.1, Lemma]). Từ đó suy ra nhóm thương W =N(T)/T là một nhóm hữu hạn và được gọi là nhóm Weyl củaG. Rõ ràng,W tác động trên X(T)và do đó có thể coi nó tác động trên V như một nhóm các tự đẳng cấu. Chọn một tích vơ hướng xác định dương thích hợp trên V, bất biến dưới tác động của W, và kí hiệu nó bởi (⋅,⋅). Thế thì ta có các kết quả sau:
Định lý 1.5.5. Tập R ⊆V lập thành một hệ nghiệm thu gọn, và Xα và X−α sinh ra các nhóm con đẳng cấu với SL2 hoặc PSL2. Nhóm con này chứa một phần tử wα của
N(T) trong đó tác động lên V như phép phản xạ ứng với α, nghĩa là: wα.x=x−2(α, x)
(α, α).α.
Nhóm Weyl W được sinh bởi {wα, α∈R}. Chọn một cơ sở của hệ nghiệm R. Đặt U = ⟨Xα ∣α>0, α∈R⟩
là nhóm con sinh bởi các Xα với α>0. Hơn nữa đặt U− là nhóm con sinh bởi các Xα
với α<0:
U = ⟨Xα ∣α<0, α∈R⟩
Đặt B =T.U, B− =T.U− (lưu ý T chuẩn hóa U và U−). Thế thì U là nhóm con cực đại, liên thơng, lũy đơn của G, B là nhóm Borel con và đồng cấu chính tắc:
∏
α>0Xα→U
là một đẳng cấu giữa các đa tạp đại số (với bất kỳ thứ tự của cácα). Các cấu xạ chính
tắc T×U →B và U−×B →U−.B cũng là đẳng cấu giữa các đa tạp đại số. Đa tạp con
Ví dụ 1.5.6. Ta kiểm tra định lý trên đúng cho nhómG=SLn. ChoT là nhóm đường chéo, với mỗi i, j, i≠j,α(i, j) ∶T →k× được cho bởi cơng thức
α(i, j)(diag(t1, . . . , tn)) =ti.t−1j
là một nghiệm. Ta có (xα(i,j)(r) = I+r.Eij là cấu xạ tương ứng với nghiệm αi,j. Một
nghiệmα(i, j) là dương nếu j>i. Ở đây, U−.B bao gồm tích các ma trận đường chéo dưới, ma trận lũy đơn và các ma trận đường chéo trên. Mỗi tích như vậy có định thức con góci×ibên trái khác khơng(1≤i≤n). Đảo lại, bất kỳ ma trận nào cũng có phân tích duy nhất như trên.
1.5.2 Sơ lược về hệ nghiệm
Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Một phép đối xứng sα tác động lên một vectơα như một tự đồng cấu củaV sao cho giữ cố định một siêu phẳng theo từng điểm và nó biến α thành −α. Một hệ nghiệm R trong V là một tập hữu hạn của các phần tử sinh khác không cùng với phần tử đối xứng sα với mỗi α∈R sao cho:
1. sα(R) ⊆R với mọiα∈R.
2. Với mỗi α, β∈R, β−sα(β) là một bội nguyên của α.
Một hệ nghiệm R được gọi là thu gọn nếu như với α, tα ∈R thì t= ±1. Nhóm W
được sinh bởi {sα, α ∈ R} là một nhóm hữu hạn và được gọi là nhóm Weyl của hệ nghiệmR. Nếu(⋅,⋅)là một tích trong xác định dương trên V, bất biến dưới tác động của W thì phép đối xứng sα được cho bởi công thức:
sα(x) =x−2((α, x)
α, α), x∈V.
Một cơ sở∆ cho một hệ nghiệmR là một tập con của R sao cho 1. ∆là một cơ sở cho không gian vectơ V.
2. Mỗi α∈R có biểu thị α∈R= ∑β∈Smβ.β trong đó mβ là ngun.
Một cơ sở như vậy ln tồn tại và với ∆, ∆′ là hai cơ sở của R, thì tồn tạiw∈W sao cho w(∆) =∆′.