Mỗi nhóm đại số affine G đều tác động lên chính nó bởi các tự đẳng cấu trong:
Int(g)(x) =gxg−1.
Từ đó với mỗi g∈G cố định, ta có cấu xạ Int(g) ∶G→G, gửi x↦gxg−1. Cấu xạ này cảm sinh vi phân trên khơng gian tiếp xúc được kí hiệu bởi
Ad(g) ∶gÐ→g
X↦d(Int(g))e(X).
Từ đó ta thu được đồng cấu nhóm đại số Ad ∶G→GL(g). Để hiểu rõ hơn tác động phụ hợp Ad trên các đại số Lie ta định nghĩa các tác động tịnh tiến trái và phải của
• Tịnh tiến trái: δ∈Derk(A, A) ↦λxδλx−1Derk(A, A). • Tịnh tiến phải: δ∈Derk(A, A) ↦ρxδρx−1Derk(A, A).
Khi đó các đạo hàm bất biến trái (giao hoán với phép tịnh tiến trái δx) sẽ bất biến với phép tác động trái nói trên. Hơn nữa L(G) ổn định đối với tác động phải. Khẳng định sau cho liên hệ với Advới phép tịnh tiến phải.
Mệnh đề 1.4.8. (xem [4, Prop. 3.4]) Qua phép đồng nhất g với L(G) nói trên, tác động phụ hợp Ad chính là tác động phải của G lên L(G).
Chứng minh. Với X∈g=Der(A, κ(e))là một phép đạo hàm điểm, ta có
Ad(x)(X)(f) =d(Intx)e(X)(f) =X(Int(x)∗(f)).
Mặt khác, với δ∈L(G) là một phép đạo hàm bất biến trái ứng vớiX ta có: (e(ρxδρx−1))(f) = ((ρxδρx−1)f)(e) = (δρx−1f)(x) = (λx−1δρx−1f)(e)
= (δλx−1ρx−1f(e) = (δInt(x)∗f)(e).
Do đóAd(x) ứng vớiρxδρx−1.
Ví dụ 1.4.9. VớiG=GLn, đồng nhất một cách chính tắc đại số Liegln của nhóm này với đại số ma trậnMatn ta có:
(Ad(y)(X)tij) = (ρy((ρy−1tij) ∗X))(e) = ((T y−1)ij∗X)(y) =ρy∑ m (T X)im(y−1)mj =ρy(∑ m ∑ k tikxkm(y−1)mj) = ∑ m ∑ k ∑ h
tihyhkxkm(y−1)mj = (T yXy−1)ij = (yXy−1)(tij).
Thế thì tác động phụ hợp trong trường hợp GLn cho bởi:
Ad(y)(X) =yXy−1.
Ta tiếp tục lấy vi phân của biểu diễn phụ hợp Ad∶G→GL(g), thu được biểu diễn mới ad∶g→gl(g). Thế thì
Mệnh đề 1.4.10. (xem [6, §10.4]) Ta có cơng thức sau cho vi phân của Ad: ad(X)(Y) = [X, Y].