Trong mục này ta sẽ áp dụng kết quả cơ bản của Hilbert về tập dày để tìm hiểu quỹ đạo của nhóm đại số.
Định lý 1.6.1. (xem [16, Cor. 1 to Prop. 1, p. 19]) Cho G là một nhóm đại số liên thông tác động lên một đa tạp V. Thế thì mọi quỹ đạo đều là mở trong bao đóng của nó.
Chứng minh. Ta xét ánh xạ quỹ đạo α: G→G.v, g ↦g.v. Khi đó α là cấu xạ , kéo theo α(G) là một tập dày (xem Mệnh đề 1.2.15). Do đó α(G) chứa một tập con mở trong α(G). Lấy một điểm
g0.v∈U ⊆G.v⊆G.v.
Khi đó
g.v ⊆g.g0−1U ⊆G.v.
Vậy G.v= ∪g∈GgU ⊆G.v là một tập con mở. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.6.2. (xem [16, Cor. 2, p. 19]) Bao đóng G.v là hợp của G.v và những quỹ đạo khác với số chiều nhỏ hơn.
Chứng minh. Ta có
G.v=G.v∐ G-quỹ đạo khác,
trong đó hợp rời cácG-quỹ đạo khác là tập con đóng. Nhắc lại rằng nếuV ⊇W là các tập bất khả quy thì số chiều
dimV >dimW.
Do đó bao đóngG.v là hợp của G.v và các quỹ đạo với số chiều nhỏ hơn.
Hệ quả 1.6.3. (xem [16, Corollary 3, p. 20]) Quỹ đạo với số chiều nhỏ nhất sẽ là đóng. Do đó quỹ đạo đóng đối với một tác động tùy ý luôn tồn tại.
Chứng minh. Giả sử G.x là quỹ đạo với số chiều nhỏ nhất. Khi đó lấy bao đóng G.x
của quỹ đạo này, nếu nó khơng đóng thì và theo Hệ quả 1.6.2, G.x−G.x là hợp của các quỹ đạo với số chiều nhỏ hơn. Điều này mâu thuẫn với điều kiện số chiều củaG.x
là nhỏ nhất. VậyG.x là đóng.
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một kết quả quan trọng sẽ dùng ở chương sau. Cho
Glà nhóm liên thơng, xét tác động của Glên đa tạp affine X,x∈X. Xét ánh xạ quỹ
đạo η∶G→G.x, g ↦g.x, và vi phân của nó (dη)e ∶g→Tx(G.x). Xét gx =Ker(dη)e. Thế thì ta có.
Bổ đề 1.6.4. (xem [11, Lemma 2.1]) Ánh xạ (dη)e∶g→Tx(G.x) là lên khi và chỉ khi
dimGx=dimgx.
Chứng minh. Vì G.x chỉ gồm một quỹ đạo nên mọi điểm của nó đều trơn. Do đó
dimG.x=dimTx(G.x). Vì mọi thớ η−1(y), y∈G.x đều là lớp kề của Gx nên chúng có cùng số chiều, suy ra theo Định lý tổng quát về chiều (xem [6, Theorem 4.5, p. 34]) ta códimG−dimGx=dimG.x. Vậy ta có ước lượng sau:
dimG−dimGx=dimG.x
dimTx(G.x) ≥dim(dη)e(g) =dimg−dimgx
=dimG−dimgx.
Vậy dimGx ≤ dimgx và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dim(dη)e(g) = dimTx(G.x), hay (dη)e là ánh xạ lên.
Chương 2
Một số phiên bản của tính chất hữu hạn quỹ đạo
2.1 Định lý hữu hạn của Richardson
Trước khi phát biểu định lý hữu hạn Richardson, ta cần khái niệm quan trọng sau sẽ được tìm hiểu kỹ hơn trong Mục 2.3.
Định nghĩa 2.1.1. (Cặp reductive) Ta nói cặp(H, G)trong đóH là nhóm đại số con của G là một cặp reductive nếu đại số Lie con tương ứng h của g là một hạng tử trực tiếp xem nhưAd(H)-môđun con, nghĩa là tồn tạiAd(H)-môđun conmcủagsao cho:
g=h⊕m.
Định lý 2.1.2. (Định lý hữu hạn Richardson, xem [11, Theorem 3.1]) Cho H ≤G là một cặp reductive các nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường đóng đại số đặc số 0với các đại số Lie tương ứng h và g. Ta xét tác động liên hợp của Glên chính nó. Ta có các khẳng định sau:
(a) Vớix∈h, ký hiệuG.x là một quỹ đạo củaxtrong h dưới tác động liên hợp (chính là một lớp liên hợp của G trong g). Thế thì G.x∩h là hợp rời của một số hữu hạn các lớp liên hợp của H.
(b) Với h ∈ H, ký hiệu G.h là một quỹ đạo của h trong G dưới tác động liên hợp (chính là một lớp liên hợp của G trong G). Thế thì G.h∩H là hợp rời của một số hữu hạn các lớp liên hợp của H.
Chứng minh. (a): Nhóm G tác động lên chính nó bằng tác động liên hợp dẫn ra ánh xạ
Từ đó cảm sinh tác động phụ hợp của G lên g cho bởi:
g.x∶=Ad(g)(x).
Tác động phụ hợp trên lại cảm sinh ánh xạ quỹ đạo η∶G→g với mỗix∈h:
g↦g.x=Ad(g)(x).
Ta chỉ ra vi phân của ánh xạ quỹ đạoη bằng:
(dη)e(y) =ady(x) = [y, x].
Thật vậy, ánh xạ β∶End(g) →g,T ↦T(x) cho biểu thị sau củaη: η(g) =β(Adg),
kéo theo (dη)e(y) = β ○ ad(y) sau khi đồng nhất Tx(g) với g. Do đó (dη)e(y) =
ad(y)(x) = [y, x]. Vì đặc số char.K =0, nên
Tx(G.x) =Im(dηe)
= [g, x]
= {[y, x] ∣y∈g}.
Cho Z là một thành phần liên thông (bất khả quy) chứa x của G.x∩h ta có
Tx(Z) ⊆ [g, x] ∩h. Ta chỉ ra các bao hàm thức sau: Tx(Z) ⊆ [h, x] ⊆Tx(H.x) ⊆Tx(Z). Thật vậy cho z∈Tx(Z), ta có ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ z∈h z= [y, x]với y∈g nào đó.
Vì (G, H) là một cặp reductive, nên ta chọn được một phần bù tuyến tính W của h
trong g sao cho W là Ad(H)-ổn định:
g=h⊕W.
Do đóy=y1+y0 với y1 ∈h và y0 ∈W. Vậy
doW là Ad(H)-ổn định. Thế thì z= [y1, x] ∈ [h, x], và kéo theo:
Tx(Z) ⊆ [h, x].
Các bao hàm thức cịn lại là đương nhiên vì Tx(H.x) ⊇Im(dη)e(h) = [h, x] và H.x⊆Z
(do H liên thơng), kéo theo
Tx(H.x) =Tx(Z).
VìH.xlà một đa tạp con trơn, nêndimTy(H.x) =dimH.xvới mọi y∈H.x. Mặt khác,
dimTx(Z) ≥dimZ, nên dimH.x≥dimZ. Lại do H.x⊆Z, ta có dimH.x=dimZ. Từ
đó suy raH.x chứa một tập con mở trù mật của Z. Nếu có một quỹ đạo C′ khác của
Z, thì tương tự, C′ chứa một tập con mở trù mật khác của Z, suy ra H.x∩C′ = ∅, suy ra mâu thuẫn. VậyH.x⊆Z chính là một thành phần bất khả quy của Z. Vậy theo
tính chất Noether của tập đại số G.x∩h (xem Hệ quả 1.2.11), tập này chỉ gồm hữu hạn thành phần bất khả quy, suy ra tính chất hữu hạn cần chứng minh.
(b): Nhúng Gvào nhóm tuyến tính tổng qtGL(V)nào đó và cho Gtác động lên chính nó bằng phép liên hợp. Với h∈H ta có ánh xạ quỹ đạo:
η∶GÐ→End(V)
g ↦ghg−1∈G⊆GL(V) ⊆End(V).
Cho ánh xạ β∶End(End(V)) Ð→End(V) bởi T ↦T(h). Khi đó
η(g) =β(Adgl(V)g)với mọi g∈G.
Do đó (dη)e =β○adgl(V)∣
g (vì β là một ánh xạ tuyến tính). Từ đó suy ra (dη)e(y) = [y, h] =ad(y)(h), kéo theo
Im(dη)e= [g, h] ⊆gl(V).
Mặt khác vì char.K =0, nên Th(G.h) = [g, h]. Ngồi ra ta có:
Th(H) =hh= {hy∣y∈h}.
Cho Z là một thành phần bất khả quy củaG.h∩H chứa h ta có:
Th(Z) ⊆Th(G.h) ∩Th(H) = [g, h] ∩hh.
Ta chỉ ra Th(Z) =Th(H.h). Thật vậy, cho z∈Th(Z), tồn tại x∈g và y∈h sao cho
Thế thìxh=h(x+y), kéo theox=h(x+y)h−1=Ad(h)(x+y), suy rax= (Adgh) (x+y). Ta có thể viết x=x0+x1, trong đó x0 ∈h, x1 ∈W là thành phần Ad(H)-ổn định. Do đó x0=Ad(h)(x0+y+x1) −x1, kéo theo x0−Ad(h)(x0+y) =x1−Ad(h)(x1) ∈h∩W.
Vậy x0=Ad(h)(x0+y), kéo theo hy= [x0, h], kéo theo z∈ [h, h]. Do đó ta có bao hàm thức:
Th(Z) ⊆ [h, h] ⊆Th(H.h) ⊆Th(Z).
Thế thìTh(Z) =Th(H.h), kéo theoH.h⊆Z là một tập con mở. Lập luận tương tự như phần (a), cũng từ tính chất Noether củaG.h∩H, ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.1.3. (B. Kostant, xem [11, Corollary 8.2]) Cho K =K là một trường đóng đại số đặc số 0.
(a) Nếug là một đại số Lie nửa đơn trên K, thì g chỉ chứa hữu hạn lớp liên hợp các phần tử lũy linh.
(b) Cho G là một nhóm đại số nửa đơn xác định trên K. Khi đó G chỉ có hữu hạn lớp liên hợp các phần tử lũy đơn.
Chứng minh. (a): Vì g là một đại số Lie nửa đơn nên g≅ad(g)là ảnh của g qua ánh xạ
ad∶g→gl(g)
x↦ad(x)(y) = [x, y].
Hơn nữa,G⊆GL(g)nhậnglàm đại số Lie. Vìchar.K=0,gnửa đơn nên(GL(g), G)là một cặp reductive. Vậy theo Định lý 2.1.2(a), mỗi quỹ đạo của GL(g) trongad(g) ≅g
phân tách được thành hữu hạn quỹ đạo của G. Mặt khác, lại do gl(g)chỉ có hữu hạn lớp các phần tử lũy linh (theo định lý về dạng chuẩn Jordan), nên số lớp các phần tử lũy linh là hữu hạn.
(b): Nhúng G ↪ GLn như một nhóm con đóng. Vì G nửa đơn, char.K = 0 nên (GLn, G) là một cặp reductive. Do đó theo theo Định lý 2.1.2(b), mỗi quỹ đạo của
GLn trong G phân tách được thành hữu hạn lớp liên hợp của G. Mặt khác, lại do
GL(V)chỉ có hữu hạn lớp các phần tử đơn (theo định lý về dạng chuẩn Jordan), nên số lớp các phần tử lũy đơn là hữu hạn.
Định lý 2.1.4. (xem [11, Theorem 4.1], [13, Theorem 5.1, p. 182]) Cho K là một trường đóng đại số với đặc số tùy ý,H ⊆GL(V) là một nhóm con sao cho(GL(V), H)
là một cặp reductive.
(a) Nếu x∈h, thì giao GL(V).x∩h chỉ gồm hữu hạn lớp liên hợp của H.
(b) Nếu h∈H thì GL(V).h∩H chỉ gồm hữu hạn lớp liên hợp của H.
Nhận xét 2.1.5. Định lý trên rút ra chỉ có một số hữu hạn các lớp H-liên hợp các
phần tử củah (cũng nhưH) nhận dạng chuẩn Jordan cho trước.
Chứng minh Định lý 2.1.4. (a): Ký hiệu G=GL(V), ta chỉ cần chỉ ra dưới những giả thiết của định lý vẫn có kết luận cấu xạ dηe ∶g ↠Tx(G.x) là toàn ánh tương tự khi đặc số bằng0. Theo Bổ đề 1.6.4 (hay [11, Lemma 2.1]), ta chỉ cần chứng minh
dimGx =dimgx.
Nhận thấy
1. Gx là tâm của x trong GL(V) =G.
2. gx là đại số con của đại số kết hợpEnd(V)bao gồm các phần tửx∈End(V)giao hốn với x. Do đó Gx =g×x. Vậy dimGx =dimgx. Phần còn lại giống với chứng
minh Định lý 2.1.2.
(b): Chứng minh tương tự phần (a).
Hệ quả sau sẽ được thảo luận kỹ ở Mục 2.3.
Hệ quả 2.1.6. (xem [11, Corollary 4.2]) Cho (GL(V), H) là một cặp reductive các nhóm đại số. Khi đóH (tương ứng,h) chỉ có hữu hạn lớp liên hợp các phần tử lũy đơn
(tương ứng, lũy linh).
Hệ quả 2.1.7. (xem [13, Corollary 5.2, p. 183])Nếu GL(V) ⊇G là một cặp reductive, nghĩa là gl(V) = g⊕m với m ổn định đối với tác động của Ad(G), và g ∈ G, thì Zg(g) =LieZG(g).
Chứng minh. Cho cấu xạ
f ∶GLnÐ→ C1.g−1 x↦x.g.x−1.g−1,
Bổ đề 2.1.8. Vi phân tại điểm đơn vị (df)e∶glnÐ→T(C1g−1)e là một tồn ánh.
Thật vậy ta tính tốn số chiều của đại số Lie tương ứng:
dimT(C1.g−1)e=dim(C1.g−1) =dimC1
=dim GLn−dimZGLn(g).
Vậy ta chỉ cần chỉ ra
dim Ker(df)e=dimZGLn(g). (2.1) Thật vậy ta có
Ker(df)e= {X∈gln∣Xg =gX}, ZGLn(g) = {x∈GLn∣xg=gx}.
Do đó ZGLn(g) = Ker(df)×
e là tập con mở của Ker(df)e. Do đó đẳng thức (2.1) đúng, suy ra vi phân (df)e∶glnÐ→T (C1g−1)e là một toàn ánh.
Bổ đề 2.1.9. ChoZ là một thành phần liên thơng (bất khả quy) củaC1∩G=GLn.g∩G.
Thế thì ta có dãy các bao hàm thức sau:
T(Zg−1)e⊆T(C1g−1)e∩T(G)e=
= (1−Ad(g)) (gln) ∩g= (1−Ad(g)) (g) ⊆T(C.g−1)e⊆T(Zg−1)e. (2.2) Bao hàm thức thứ nhất do Zg−1 ⊆ C1g−1 ∩G. Bao hàm thức thứ hai do từ Bổ
đề 2.1.8, vi phân (df)e là toàn ánh, kéo theo
T(C1.g−1)e=Im(df)e= (1−Ad(g)) (gln).
Bao hàm thức thứ ba xuất phát từ điều kiện của cặp reductivegl(V) =g⊕mvới mổn định đối với tác động của Ad(G) ta có
(1−Ad(g)) (gln) = (1−Ad(g)) (g) ⊕ (1−Ad(g))(m).
Từ đó suy ra
(1−Ad(g)) (gln) ∩g= (1−Ad(g)) (g).
Bao hàm thức thứ ba xuất phát từ cấu xạ f ∶G Ð→ C.g−1, x ↦ xgx−1g−1 và vi phân của nó
Bao hàm thức cuối cùng do Gliên thông nên C ⊆Z. Từ bao hàm thức nói trên suy ra (1−Adg)(g) =T(Cg−1)e, kéo theo
dim(1−Ad(g)) (g) =dimC.
Vậy
dimZG(g) =dimG−dimC =dim Ker(1−Ad(g)) =dimZg(g),
hay tóm lại dimZG(g) = dimZg(g). Vậy kết hợp với khẳng định LieZG(g) ⊆Zg(g) ta có điều cần chứng minh.
2.2 Định lý hữu hạn của Slodowy
Định lý 2.2.1. (xem [12, Theorem 1, p. 333]) Cho (G, H) là một cặp reductive và
C =G.x⊆Gn là một lớp G-liên hợp đồng thời của một phần tử x∈Hn. Giả sử ánh xạ quỹ đạo tương ứng
η∶GÐ→ C
g↦g.x,
là tách được. Thế thì C ∩Hn chỉ chứa một số hữu hạn lớp H-liên hợp và mỗi lớp đó
đều là mở.
Chứng minh. Với một điểm tùy ý y∶= (y1, . . . , yn) ∈ C ∩Hn, ta ký hiệu
T(y) ∶=Ty(C) ∩Ty(Hn) =Ty(C) ∩hn⊇Ty(C ∩Hn).
Ta chỉ ra với Z∶=H.y là quỹ đạo đi quay, ta cóTy(Z) =T(y). (Do đó, H.y mở trong
G.x∩Hn và kéo theoG.x∩Hn bao gồm chỉ một số hữu hạn H-quỹ đạo do tính chất
Noether củaG.x∩Hn.)
Thật vậy, ta chỉ ra bao hàm thức:
Ty(H.y) ⊆T(y) ⊆Deη(h) ⊆Ty(H.y).
Bao hàm thức T(y) ⊆Deη(h):
Đặt Y ∶= (Y1, . . . , Yn) ∈T(y). Vì ánh xạ quỹ đạo η∶G↠ C ∶=G.y là tách được, nên vi phân của nó
là tồn ánh. Do đó, tồn tại X∈g sao cho:
Deη(X) =Y .
Xét phân tích X=X0+X1∈g=h⊕m. Vì(G, H)là một cặp reductive, nên ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ Deη(h) ⊆hn, Deη(m) ⊆mn. Do đó Deη(X0) =Y0∈hn, Deη(X1) =Y1∈mn.
Mặt khác, vì Y =Y0+Y1 ∈hn, nên Y1 =0, và do đó Y =Y0 ∈Deη(h). Từ đó suy ra
T(y) ⊆Deη(h).
Bao hàm thức Deη(h) ⊆Ty(Z): Từ ánh xạ quỹ đạoη∶H→H.y=Z, ta có bao hàm thức Deη(h) ⊆Ty(Z).
Thế thì Ty(Z) =T(y) và kéo theo H.y là mở trong G.x∩Hn. Vì thế G.x∩Hn chỉ chứa một số hữu hạn các quỹ đạo của H do tính chất Noether củaG.x∩Hn.
Hệ quả 2.2.2. (xem [12, p. 334]) Cho (GL(V) =G, H) là một cặp reductive. Khi đó giao GL(V).x∩Hn của bất kỳ lớp GL(V)-liên hợp đồng thời trong GL(V)n với Hn
bằng rỗng hoặc phân tích được thành hợp rời của hữu hạn lớp liên hợp đồng thời của
H.
Chứng minh. Chứng minh tương tự Định lý 2.1.4 ta có cấu xạ GL(V) → GL(V).x là tách. Vậy áp dụng Định lý 2.2.1 ta có kết luận của Hệ quả.
Hệ quả 2.2.3. (xem [17, Prop. 1.11])Cho M ≤Glà một cặp reductive, (m1, . . . , mn) ∈
Mn, H = ⟨m1, m2, . . . , mn⟩ ≤ G là một nhóm con tách được. Ta xét tác động liên hợp đồng thời (multi-conjugate) của nhóm G lên Gn. Thế thì
G⋅ (m1, . . . , mn) ∩Mn
chỉ chứa hữu hạn quỹ đạo của M.
Chứng minh. Ta cóH= ⟨m1, m2, . . . , mn⟩ ≤Glà một nhóm con tách được nghĩa là cấu xạ quỹ đạo
GÐ→G.(m1, m2, . . . , mn)
là cấu xạ tách. Vậy áp dụng Định lý 2.2.1, giao G⋅ (m1, . . . , mn) ∩Mn chỉ chứa hữu hạn quỹ đạo củaM.
Gần đây hơn, câu hỏi khi M = ⟨m1, . . . , mn⟩khơng tách trong G đã được tìm hiểu và sau đây là một số kết quả.
Ví dụ 2.2.4. (xem [1, Eg. 7.15]) Cho G là nhóm đơn kiểu G2 xác định trên một trườngk khơng hồn thiện đặc số 2. Khi đó tồn tại một nhóm con reductive M của G
vàm1, m2∈M sao choG.(m1, m2) ∩M2 là hợp của một số vô hạn các lớp liên hợp của
M.
Định lý 2.2.5. (xem [17, Theorem 1.12]) Cho G là một nhóm đơn dạng E7 xác định trên trường khơng hồn thiện đặc số2và M là một nhóm con liên thơng reductive dạng
A7. Khi đó tồn tại số tự nhiênn và bộm= (m1, . . . , mn) ∈Mn sao cho G.m∩Mn chứa vô hạn lớp liên hợp của M và (G, M) là một cặp reductive.
Tuy nhiên nếu chỉ xét tác động liên hợp đơn thì ta có khẳng định sau đây của R. Guralnick, mà chứng minh có sử dụng kết quả của G. Lusztig (xem Định lý 2.3.8).
Định lý 2.2.6. (xem [5, Theorem 3.6]) Cho G là một nhóm đại số, H là một nhóm con reductive của G, và cho x∈G là một phần tử. Khi đó tập G.x∩H chỉ gồm một số hữu hạn quỹ đạo của H.
Chứng minh các kết quả này là phức tạp nằm ngồi khn khổ của luận văn, nên tác giả bỏ qua chứng minh.
2.3 Cặp reductive và lớp liên hợp các phần tử lũy
đơn
Từ các phân tích nêu trên ta thấy điều kiện về cặp reductive là một điều kiện căn bản, cần được tìm hiểu kỹ lưỡng. Mục này dành cho việc tìm hiểu kỹ hơn về các cặp reductive. Trước hết ta bắt đầu bằng định nghĩa.
Định nghĩa 2.3.1. Cho H≤G là một nhóm đại số con. Khi đó ta nói(H, G)là một cặp reductive nếu đại số Lie con h của g có một phần bù trực tiếp m:
g=h⊕m, (2.3)
làAd(H)-ổn định.
Nhận xét sau đây cho thấy điều kiện cho trong cặp reductive có thể thỏa mãn thơng qua tính chất khơng suy biến của dạng vết.
Mệnh đề 2.3.2. Cho G≤GLnlà một nhóm con củaGLn. Nếu dạng vếtTr∶gln×gln→
K cho bởiTr(A, B) =Tr(AB)khơng suy biến trêng, thì(G,GLn)là một cặp reductive. Chứng minh. Vì dạng vết hạn chế trên g khơng suy biến, nên ta chọn m là phần bù trực giao của dạng vết nói trên, nghĩa là:
m= {Y ∈gln∣Tr(XY) =0 với mọiX ∈g}.
Thế thìm làAd(G)-ổn định.Thật vậy, từ dãy đẳng thức
Tr(Ad(g)(X)Ad(g)(Y)) =Tr(gXg−1gY g−1) =Tr(gXY g−1) =Tr(XY),
ta có Tr làAd-bất biến. Do đó, nếuTr(XY) =0 với mọiX ∈g, thì
Tr(Ad(g)(X)Ad(g)(Y)) =0 với mọig ∈G.
Mặt khác Ad(g) ∶g → g là một tự đẳng cấu, nên Ad(g)(Y) ∈ m. Do đó m là Ad-ổn
định và suy ra (G≤GLn) là một cặp reductive.
Mệnh đề 2.3.3. (xem [16, Prop. 1]) Cho G là một nhóm reductive. Trong những trường hợp sau đây tồn tại một nhóm G′ đẳng giống với G và có một biểu diễn trung