2 Một số phiên bản của tính chất hữu hạn quỹ đạo
2.2 Định lý hữu hạn của Slodowy
Định lý 2.2.1. (xem [12, Theorem 1, p. 333]) Cho (G, H) là một cặp reductive và
C =G.x⊆Gn là một lớp G-liên hợp đồng thời của một phần tử x∈Hn. Giả sử ánh xạ quỹ đạo tương ứng
η∶GÐ→ C
g↦g.x,
là tách được. Thế thì C ∩Hn chỉ chứa một số hữu hạn lớp H-liên hợp và mỗi lớp đó
đều là mở.
Chứng minh. Với một điểm tùy ý y∶= (y1, . . . , yn) ∈ C ∩Hn, ta ký hiệu
T(y) ∶=Ty(C) ∩Ty(Hn) =Ty(C) ∩hn⊇Ty(C ∩Hn).
Ta chỉ ra với Z∶=H.y là quỹ đạo đi quay, ta cóTy(Z) =T(y). (Do đó, H.y mở trong
G.x∩Hn và kéo theoG.x∩Hn bao gồm chỉ một số hữu hạn H-quỹ đạo do tính chất
Noether củaG.x∩Hn.)
Thật vậy, ta chỉ ra bao hàm thức:
Ty(H.y) ⊆T(y) ⊆Deη(h) ⊆Ty(H.y).
Bao hàm thức T(y) ⊆Deη(h):
Đặt Y ∶= (Y1, . . . , Yn) ∈T(y). Vì ánh xạ quỹ đạo η∶G↠ C ∶=G.y là tách được, nên vi phân của nó
là tồn ánh. Do đó, tồn tại X∈g sao cho:
Deη(X) =Y .
Xét phân tích X=X0+X1∈g=h⊕m. Vì(G, H)là một cặp reductive, nên ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ Deη(h) ⊆hn, Deη(m) ⊆mn. Do đó Deη(X0) =Y0∈hn, Deη(X1) =Y1∈mn.
Mặt khác, vì Y =Y0+Y1 ∈hn, nên Y1 =0, và do đó Y =Y0 ∈Deη(h). Từ đó suy ra
T(y) ⊆Deη(h).
Bao hàm thức Deη(h) ⊆Ty(Z): Từ ánh xạ quỹ đạoη∶H→H.y=Z, ta có bao hàm thức Deη(h) ⊆Ty(Z).
Thế thì Ty(Z) =T(y) và kéo theo H.y là mở trong G.x∩Hn. Vì thế G.x∩Hn chỉ chứa một số hữu hạn các quỹ đạo của H do tính chất Noether củaG.x∩Hn.
Hệ quả 2.2.2. (xem [12, p. 334]) Cho (GL(V) =G, H) là một cặp reductive. Khi đó giao GL(V).x∩Hn của bất kỳ lớp GL(V)-liên hợp đồng thời trong GL(V)n với Hn
bằng rỗng hoặc phân tích được thành hợp rời của hữu hạn lớp liên hợp đồng thời của
H.
Chứng minh. Chứng minh tương tự Định lý 2.1.4 ta có cấu xạ GL(V) → GL(V).x là tách. Vậy áp dụng Định lý 2.2.1 ta có kết luận của Hệ quả.
Hệ quả 2.2.3. (xem [17, Prop. 1.11])Cho M ≤Glà một cặp reductive, (m1, . . . , mn) ∈
Mn, H = ⟨m1, m2, . . . , mn⟩ ≤ G là một nhóm con tách được. Ta xét tác động liên hợp đồng thời (multi-conjugate) của nhóm G lên Gn. Thế thì
G⋅ (m1, . . . , mn) ∩Mn
chỉ chứa hữu hạn quỹ đạo của M.
Chứng minh. Ta cóH= ⟨m1, m2, . . . , mn⟩ ≤Glà một nhóm con tách được nghĩa là cấu xạ quỹ đạo
GÐ→G.(m1, m2, . . . , mn)
là cấu xạ tách. Vậy áp dụng Định lý 2.2.1, giao G⋅ (m1, . . . , mn) ∩Mn chỉ chứa hữu hạn quỹ đạo củaM.
Gần đây hơn, câu hỏi khi M = ⟨m1, . . . , mn⟩không tách trong G đã được tìm hiểu và sau đây là một số kết quả.
Ví dụ 2.2.4. (xem [1, Eg. 7.15]) Cho G là nhóm đơn kiểu G2 xác định trên một trườngk khơng hồn thiện đặc số 2. Khi đó tồn tại một nhóm con reductive M của G
vàm1, m2∈M sao choG.(m1, m2) ∩M2 là hợp của một số vô hạn các lớp liên hợp của
M.
Định lý 2.2.5. (xem [17, Theorem 1.12]) Cho G là một nhóm đơn dạng E7 xác định trên trường khơng hồn thiện đặc số2và M là một nhóm con liên thơng reductive dạng
A7. Khi đó tồn tại số tự nhiênn và bộm= (m1, . . . , mn) ∈Mn sao cho G.m∩Mn chứa vô hạn lớp liên hợp của M và (G, M) là một cặp reductive.
Tuy nhiên nếu chỉ xét tác động liên hợp đơn thì ta có khẳng định sau đây của R. Guralnick, mà chứng minh có sử dụng kết quả của G. Lusztig (xem Định lý 2.3.8).
Định lý 2.2.6. (xem [5, Theorem 3.6]) Cho G là một nhóm đại số, H là một nhóm con reductive của G, và cho x∈G là một phần tử. Khi đó tập G.x∩H chỉ gồm một số hữu hạn quỹ đạo của H.
Chứng minh các kết quả này là phức tạp nằm ngồi khn khổ của luận văn, nên tác giả bỏ qua chứng minh.