vốn
2.5.1 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho danh mục tài sản đơn
Định nghĩa 2.5.1. Giá trị thua lỗ trong đầu tư vốn (CaR) là số vốn có thể đầu tư sao cho khả năng thua lỗ vượt qua một giới hạnLcho trước với một xác suất thấp.
CaRq= L
(1−exp(−F−1(q))) (2.17)
Định nghĩa 2.5.2. Nếu H là phân phối của các quan sát cực đại trên những khoảng thời gian liên tiếp khơng trùng nhau có cùng thời gian, mức lợi suất
Rkn =H−1 1−1 k (2.18) là mức kỳ vọng vượt quákchu kỳ có độ dài quan sát là n.
Như phần trước ta thấy VaRq là giới hạn l, sao choP(LT ≤l) =q, trong đó LT là biến lợi suất hoặc thua lỗ ở thời điểm T.
Ngược lại, cố định l và tìm CaR(T,q,l), là số vốn để đầu tư sao cho lượng
thua lỗLT không vượt qua giới hạn cho trướcl với xác suấtqcho trước. VaRq=
V0(1−exp(−FT−1(q))), thayV0=CaR(T,q,l) ta có :
P(LT ≤l) =P(CaR(T,q,l)(1−exp(∑ t≤T −Rt))≤l) =q Vì với ∀x>0đủ nhỏ thì ta có1−e−x ≈xvà từ (2.17) nê ta có CaR(T,q,l)≈ 1 FT−1(q)
2.5.2 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp cácdanh mục đầu tư danh mục đầu tư
Cho H0 là một chiến lược kinh doanh. Nó xác định tỷ lệ tài sản đơn khác nhau. Nhắc lạiVt,j=H0,jPt,j;Vt =∑
j
Vt,j tương ứng là giá của danh mục tài sản đơn và của danh mục đầu tư liên quan tớiH0.
Tìm hằng số bsao cho biến lợi nhuận hoặc thua lỗ LT trong chu kỳ thời gian từt =0 đếnt =T nằm trong chiến lược bH0 ban đầu, phương trình đầy đủ là :
P(LT ≤l) =P(b∑V0,j(1−exp(∑
t≤T
Rt,j))≤l) =q
Để có được điều này, ta chọn b = l
FT,H0−1 (q), với FT,H−1
0(q) là phân phối của
∑ j V0,j(1−exp( ∑ t≤T Rt,j)). Do đó, CaR(T,q,l) =bV0= lV0 FT,H0−1 (q) là rủi ro về đầu tư vốn với xác suấtq.