đi của chuỗi lợi suất chứng khốn
Chúng ta có hai cách để tiếp cận lý thuyết cực trị: Mơ hình hóa maximum của các khối (Phương pháp Block Maximum-BM) và Mơ hình hóa các giá trị vượt ngưỡng(Phương pháp Peaks over Threshold-POT).
Từ hình 2.5 bên trái, ta thấy các quan sát X2,X5,X7 và X11 biểu diễn cho các khối cực đại trong chu kỳ thời gian tương ứng với 3 quan sát trong mỗi chu kỳ. Hình vẽ bên phải các quan sát X1,X2,X7,X8,X9,X11 đều vượt ngưỡng u và kiến tạo nên các sự kiện cực trị.
Giả sử biến ngẫu nhiênX đặc trưng cho lợi suất của một tài sản, có phân phối
F. Khi đó lợi suất củanngày được mô tả bởi các biến ngẫu nhiênX1,X2, ...,Xn, trong đó Xi là lợi suất của ngày thứ inào đó. Nội dung của phương pháp BM là mơ hình hóa lợi suất lớn nhất của một tập hợp gồmn lợi suất trên.
Hình 2.5: Bên trái sơ đồ các khối cực đại và bên phải các giá trị vượt ngưỡngu
Theo kết quả của Fisher, Tippett (1928) và Gnedenko (1943), khi n đủ lớn thì phân phối chuẩn hóa của lợi suất lớn nhất của nngày
Mn =max(X1,X2, ...,Xn)
sẽ xấp xỉ với một trong các phân phối: Fréchet, Weibull hay Gumbel.
Tuy nhiên trong thực hành, phương pháp này gặp nhiều hạn chế khi số liệu không đủ lớn. Do vậy, chúng ta sẽ tiếp cận lý thuyết cực trị theo một cách khác hiệu quả hơn, cách tiếp cận thứ hai của lý thuyết này cho phép chúng ta mơ hình hóa mức lợi suất vượt một ngưỡngunào đó, đây chính là nội dung của phương pháp POT.
Xét biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối là F. Vấn đề đặt ra là với các giá trị xlớn hơn u, ta phải đi ước lượng hàm phân phối vượt ngưỡng F[u] như giới thiệu ở phần kiến thức trước.
Hình 2.6: Hàm phân phối F và phân phối điều kiện F[u]
Hàm phân phối vượt ngưỡng
ở đây ulà một ngưỡng cho trước,y=x−ulà giá trị vượt quá ngưỡngu và
xF =x∗ =sup(x : F(x) <1).
Hàm phân phối vượt ngưỡng
F[u](y) = F(u+y) 1−F(u) =
F(x)−F(u)
1−F(u) (2.20)
Theo kết quả của Pickands (1975), Balkema và Haan (1974) (xem [2]): Với một lớp khá rộng các hàm phân phối F (các phân phối này thường gặp khi nghiên cứu trong lĩnh vực tài chính, bảo hiểm,. . . ), khi ngưỡng u đủ lớn thì hàm phân phối vượt ngưỡngF[u](y) =P(X −u≤y|X >u) sẽ xấp xỉ phân phối
Gξ,σ(y), trong đó Gξ,σ(y) = 1−1+ ξ σ ·y −1 ξ nếu ξ 6=0 1−e−σy nếu ξ =0
Gξ,σ(y) được gọi là phân phối Pareto tổng quát (GPD). Nếu x=u+y thì GPD là một hàm số củaxnghĩa làGξ,σ =1−1+ξ·x−u
δ
−ξ1
Hình 2.7: Hàm phân phối Pareto Gξ,σ vớiσ =1
Tham số ξ đặc trưng cho đuôi của GPD gọi là chỉ số đi, từ hình vẽ ta thấy vớiξ >0 thì Gξ,σ(y) là phân phối có đi nặng, đây là đối tượng có liên quan nhiều tới mục tiêu quản lý rủi ro.
Các hàm rủi ro VaRq vàESq xét ở đây chủ yếu liên quan đến phần đuôi của phân phối xác suất, ở đây chúng ta sẽ sử dụng GPD để xấp xỉ phân phối vượt ngưỡng u, còn phần nhỏ hơn ngưỡng u thì chúng ta sử dụng phân phối thực nghiệm để ước lượng. Khi đó nếu giả sửNu là số quan sát vượt ngưỡng u, n là tổng số quan sát thì ta tìm cơng thức tính các độ đo rủi ro như sau: Từ
ESq=E(X|X >VaRq)
suy ra F(x) = (1−F(u))F[u](y) +F(u), thay F[u] bởi GPD và F(u) bởi giá trị ước lượng n−Nu n , ta có hàm phân phối: F(x) = Nu n ·h1−1+ξ δ(x−u) −ξ1i + 1−Nnu (2.21) Từ (2.17) với xác suất p ta tính được:
VaRp=u+ξ δ h n Nu·q−ξ −1i (2.22) Mức tổn thất kỳ vọng:
ESq=VaRq+E(X−VaRq|X >VaRq) (2.23) Mặt khác, hàm trung bình vượt ngưỡng của phân phối GPD với tham số
ξ <1 là:
e(z) =E(X−z|X >z) = δ+ξz
Từ định nghĩa của ESp, ta thayz=VaRq−uvào(2.24) có được ESq =VaRq+δ +ξ(VaRq−u) 1−ξ = VaRq 1−ξ + δ −ξu 1−ξ
Giá trị rủi ro:
VaRq =u+σ ξ h n Nu(1−q)−ξ −1 i (2.25) Mức tổn thất kỳ vọng: ESq= VaRq 1−ξ + σ−ξu 1−ξ (2.26)
Do đó để ước lượng giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng ESq, trước tiên chúng ta cần chọn một ngưỡngu, sau đó chúng ta đi ước lượng các tham số
ξ vàσ.
Trong phương pháp POT thì việc chọn một ngưỡngulà quan trọng, người ta có thể dựa trên một số cách khác nhau, nhưng thông thường dựa vào đặc điểm của hàm trung bình vượt ngưỡng của GPD. Với biến ngẫu nhiênX đặc trưng cho lợi suất của một tài sản, nếu phần lợi suất vượt ngưỡngX −ulà GPD với ξ <1
thì hàm trung bình vượt ngưỡng
e(u) =E(X −u|X >u) = σ+ξu
1−ξ , σ+ξu>0
Hơn nữa, ta có hàm trung bình vượt ngưỡng của một phân phối đi nặng (đi béo) nằm giữa hàm trung bình vượt ngưỡng hằng số của phân phối mũ (nếu X−u có phân phối mũ với tham số λ thì e(u) = λ−1) và hàm trung bình vượt ngưỡng có dạng tuyến tính (hệ số góc dương) của GPD.
2.7 Ứng dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB
2.7.1 Số liệu
Trong phần này, chúng ta áp dụng phương pháp POT để phân tích chuỗi lợi suất RACB=ln
Pt
Pt−1
đến 27-11-2011, các kết quả tính tốn được dựa trên phần mềm S-plus.
Hình 2.8: Đồ thị chuỗi lợi suất RACB của giá cổ phiếu ACB
Kiểm định tính phân phối chuẩn của RACB với S-plus, ta được kết quả sau:
Test for Normality: Jarque-Bera
Null Hypothesis: data is normally distributed
Test Statistics: RACB ; Test Stat 253.8864; p.value 0.00
Dist. under Null: chi-square with 2 degrees of freedom; Total Observ.: 725
Như vậy theo tiêu chuẩn Jarque-Bera với mức ý nghĩa 5% thì chuỗi lợi suất RACB khơng có phân phối chuẩn.
Hình 2.9: Đồ thị Q-Q
Dựa vào đồ thị Q-Q để xác định các giá trị lệch so với đường chuẩn khi ít biết về phân phối gốc của dữ liệu, từ đó chọn được dạng của đi phân phối. Dựa vào đây chúng ta thấy phân phối của RACB có đi nặng hơn so với phân phối chuẩn.
2.7.2 Ước lượng phân phối vượt ngưỡng
Chúng ta tập trung nghiên cứu phần lợi suất thua lỗ, hay chính là việc mơ tả đuôi trái của phân phối của chuỗi lợi suất nhưng để cho thuận lợi ta sẽ đi nghiên cứu đi phải của phân phối – RACB.
Ước lượng GPD có hai bước: Chọn ngưỡng uvà ước lượng các tham số của phân phối GPD.
2.7.2.1 Chọn ngưỡng u
a. Hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu
en(u) = n ∑ i=k (xni −u) n−k+1 , k=min{i|xni >u}, (u,en(u)); xn1 <u<xnn
Dựa vào đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu en(x), ta chọn u sao cho
en(x) tuyến tính khix>u.
Hình 2.10: Đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu
b. Dùng đồ thị Hill
Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên X1,X2, ...,Xn. Ký hiệuX(1) ≥X(2) ≥...≥X(n)
là các thống kê thứ tự được lập từ mẫu ngẫu nhiên trên. Với mỗi số nguyên dương
k, đồ thị Hill là tập hợp các điểm {(k,Hk,n−1)}, trong đó Hk,n = 1
k k ∑ i=1 ln X(i) X(k) . Hơn nữa, ta cóHk,n = 1 k k ∑ i=1 ln X(i) X(k)
sẽ hội tụ theo xác suất đếnξ khik→+∞.
Dựa vào đồ thị Hill, chúng ta sẽ chọn các giá trị k trong miền có chỉ số đi ξ
Hình 2.11: Đồ thị Hill
Dựa vào đồ thị Hill, ta chọn ngưỡngucao trong miền giá trị ổn định củaξ. Căn cứ vào đồ thị của hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu và đồ thị Hill, ta có thể chọn
u từ 0.025 đến 0.027. Chẳng hạn nếu chọn ngưỡng u= 0,025, bước tiếp theo
chúng ta đi ước lượng các tham số của GPD.
2.7.2.2 Ước lượng các tham số của GPD
Để ước lượng các tham số của GPD chúng ta có thể áp dụng một số phương pháp: ước lượng hợp lý cực đại, ước lượng Pickands, ước lượng Drees-Pickands, ước lượng Hill. . . ở đây chúng ta sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại. Giả sử ta có một mẫu cụ thể (x1,x2, ...,xn), với một ngưỡng u cao đã chọn, ký hiệux(1),x(2), ...,x(k) là các quan sát vượt ngưỡng u.
Ta đặt yi = x(i) −u, i = 1,2, ...,k, theo kết quả của định lý Haan thì với
ngưỡng u đủ lớn, ta có thể xem (y1,y2, ...,yk) là một mẫu độc lập nên từ GPD với các tham số chưa biết ξ vàσ =σ(u). Khi đó, ta có
• Log-hàm hợp lý trong trường hợp ξ khác 0
L(y1,y2, ...,yk,ξ,σ) =−k lnσ−ξ1 +1 k ∑ i=1 ln 1+ξ σyi
• Log-hàm hợp lý trong trường hợp ξ =0
L(y1,y2, ...,yk,σ) =−k logσ −σ1 ∑k
i=1 yi
Ta có ước lượng cho ξ vàσ như sau:
Generalized Pareto Distribution Fit –Total of 725 observations
Upper Tail Estimated with ml –Upper Threshold at 0.025 or 9.379%of the data ML estimation converged. Log-likelihood value: 216.6
Parameter Estimates, Standard Errors and t-ratios: Value Std.Error t value
xi 0.0578 0.1712 0.3379 sigma 0.0144 0.0030 4.7694.
Như vậy, nếu chọn ngưỡng u=0.025, thì chúng ta có 9.379% mức lợi suất vượt trên ngưỡng này. Sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại, chúng ta thu được các ước lượng của các tham số của GPD: ξˆ =0,0578, σˆ =0,0144.
Dưới đây ta có đồ thị hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng ( hình 2.12) và đồ thị đi của phân phối ước lượng (hình 2.13).
Hình 2.13: Đuôi của phân phối
2.7.3 Ước lượng giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng
ESq
2.7.3.1 Ước lượng điểm
Như vậy sau khi ước lượng được các tham số ξ, σ của GPD, thì chúng ta ước lượng được VaRq vàESq. Ta có kết quả ước lượng:
q quantile sfall
[1,]0.90 0.02408088 0.03927679
[2,]0.95 0.03420630 0.05002377
[3,]0.99 0.05934294 0.07670347
Dựa vào kết quả ước lượng ta thấy, chẳng hạn với độ tin cậy 95 %(q=0,95) chúng ta ước lượng được VaRq =0.03420630 và ESq =0.05002377. Như vậy
với độ tin cậy 95 %, phần mất đi có thể có của ngày tiếp theo đối với người sở
hữu một số cổ phiếu ACB có giá trị 10 triệu đồng là 342063 đồng và mức tổn thất kỳ vọng vượt trên giá trị VaRq là 500237.7 đồng.
2.7.3.2 Ước lượng khoảng
Chúng ta có thể tìm khoảng tin cậy đồng thời cho các tham sốξ và σ dựa trên thống kê: L(ξ,σ)−L(ξˆ,σˆ) : χ2(2), hơn nữa ta có thể tìm khoảng tin cậy
riêng cho từng tham số dựa trên thống kê2(L(ξˆ,σˆ)−L∗(ξ)):χ2(1), trong đó
L∗(ξ) =max
σ L(ξ,σ).
Hình 2.14: Đồ thị ước lượng khoảng choξ
Để tìm khoảng tin cậy cho VaRq, ta biếu diễn hàm phân phối của GPD như một hàm củaξ,VaRq: Gξ,VaRq(y) = 1−1+ n Nu(1−q)−ξ −1 VaRq−u ·y −ξ1 nếuξ 6=0 1−Nn u (1−q)e y VaRq−u nếuξ =0
Từ đây, chúng ta xác định được hàm mật độ xác suất và xây dựng được khoảng tin cậy cho VaRq. Vì khó tìm được dạng cụ thể của các khoảng tin cậy nên người ta thường dùng phương pháp mẫu lặp để tìm khoảng tin cậy cho các tham số nói trên.
Hình 2.15: Đồ thị khoảng tin cậy cho giá trị rủi ro VaRqvà mức tổn thất kỳ vọng
ESq ở mức q=0,99
Ta có thể đưa ra khoảng tin cậy 99 % của VaRq và ESq ở mức 0,99 tương ứng như sau:
VaRq Lower CI Estimate Upper CI
0.05215449 0.05934294 0.07237078
ESq Lower CI Estimate Upper CI
0.06425435 0.07670347 0.1280827
Theo kết quả ước lượng ở trên với độ tin cậy 99 %, thì phần mất đi ở mức
0,99 có thể có của ngày tiếp theo đối với người sở hữu một số cổ phiếu RACB có giá trị 10 triệu đồng là từ 521544,9 đồng đến 723707,8 đồng và mức tổn thất kỳ vọng vượt trên VaRq ở mức 0,99 là từ 642543,5 đồng đến 1280827 đồng.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này em đã trình bày những kết quả chính của lý thuyết cực trị và áp dụng lý thuyết này để đo lường rủi ro tài chính. Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1. Tổng quan về lý thuyết cực trị bao gồm các khái niệm và các định lý cơ bản trong lý thuyết cực trị .
2. Ứng dụng lý thuyết cực trị với phần mềmS−PLUS để đo lường rủi ro tài chính.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều cịn có những sai sót em rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
1. Acerbi, C., Nordio, C., Sirtori, C.(2001), Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management, AbaxBank – Working Paper.
2. Danielsson, J.&de Vries, C. (1997),Tail index and quantile estimation with wery high frequency data, Journal of Empirical Finance 4, 241-257.
3. Danniel De Waal (2004),Statistics of Extremes- Theory and Applications,
John Wiley&Sons, Ltd.
4. Feter F. Christoffersen (2003),Elements of Financial.Risk.Management.
5. Fotios C. Harmantzis, Linyan Miao, Yifan Chien,Empirical Study of Value- at-Risk and Expected Shortfall Models with Heavy Tails, Working Paper -
Financial Analytics Group, Stevens Institute of Technology, August 2005. 6. Hull, J. and A. White,Value at Risk When Daily Changes in Market Vari-
ables Are Not Normally Distributed, Journal of Derivatives, (1998) 5.
7. Koji Inui, Masaaki Kijima, On the significance of expected shortfall as a coherent risk measure, Journal of Banking& Finance 29 (2005) 853–864p 8. Longgin. M (2000),From value at risk to stress testing: The extreme value
9. Manfred Gilli, Evis Kellezi (2003),An Application of Extremme Value The- ory for Measuring Risk.
10. McNeil. A. (1998), Calculating Quantile Risk Measures for Financial Re- turn Series using Extreme Value Theory
11. McNeil. A. (1999),Extreme Value Theory for Risk Managers
12. Neftci, S.,Value at Risk Calculations, Extreme Events, and Tail Estimation,
The Journal of Derivatives, (2000)
13. Răudiger Frey, Alexander J. McNeil, VaR and expected shortfall in portfo- lios of dependent credit risks: Conceptual and practical insights, Journal of
Banking& Finance 26 (2002) 1317–1334p.
14. R.-D. Reiss & M. Thomas, Statistics Analysis of Extreme Values, with Ap- plications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields
15. Yasuhiro Yamai, Toshinao Yoshiba,Value-at-risk versus expected shortfall: A practical perspective, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 997 – 1015p.