Trong lý thuyết dao động mạng với gần đúng điều hoà, đối với thế năng
tương tác chúng ta đã bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai của độ dịch chuyển .
Lý thuyết này đã giải thích tốt về đóng góp của dao động mạng vào nhiệt dung chất rắn. Tuy nhiên lý thuyết điều hoà dẫn đến một số hệ quả như: Khơng có sự tương tác giữa các sóng đơn lẻ, khơng có sự dãn nở nhiệt. Thực tế cho thấy các hệ quả trên
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo
thành phần điều hoà , ta phải thêm vào thành phần phi điều hồ đó là sự đóng góp của các số hạng bậc cao hơn hai (ở đây ta xét đến bậc ba) của độ dịch
chuyển mạng trong thế năng tương tác U ở biểu thức (1.3.1). Lúc này ta có: (1.3.9)
Để tìm ta tiến hành lượng tử hoá các độ dịch chuyển tại số hạng với đạo hàm bậc ba ở vế phải biểu thức (1.3.1), theo dạng tương tự như ở biểu thức (1.3.8), ta nhận được:
(1.3.10)
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo
bậc một của lỷ thuyết nhiễu loạn, sẽ dẫn đến việc tính các yếu tố ma trận
. Ở đây ta lưu ý là các hàm sóng gần đúng điều hoà của hệ trong biểu diễn số hạt. Mặt khác, do các toán tử sinh huỷ hạt phonon có chứa số hạng
exp(± ), nên trong sẽ bao gồm các số hạng chứa các thừa số dạng
exp(± ± ). Do vậy, kết quả tính các yếu tố ma trận trên cho ta:
(1.3.11)
Do các > 0, khi khai triển biểu thức (1.3.10) ta nhận thấy các số hạng ứng
với thành phần có và theo điều kiện (1.3.11), sẽ triệt tiêu.
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo
sinh hai phonon . Quá trình này thoả mãn sự bảo tồn năng lượng:
(1.3.12)
Tương tự phân tích trên, các thành phần dạng mơ tả q trình sinh một phonon từ hai phonon khác. Về nguyên tắc, có thể xảy ra sự sinh n phonon từ sự huỷ n' phonon khác, điều này liên quan đến việc xét các thành phần bậc (n + nr) trong khai triển Taylor của thế năng tương tác hoặc các thành phần bậc cao của lý thuyết nhiễu loạn.