Để tính các cumulant, trước hết ta phải đi tìm giá trị trung bình Theo vật lý thống kê ta có:
(2.2.1)
Trong đó: là tổng thống kê; là ma trận mật độ thống kê với và là hằng số Boltzmann.
Đối với trường hợp không nhiễu loạn, ta có: và
Như vậy, nhiễu loạn do phi điều hòa sẽ dẫn tới giá trị của ma trận mật độ, trong đó . Từ biểu thức của ma trận mật độ, ta có:
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo (2.2.3) Theo (2.2.1) ta có: (2.2.4) (2.2.5) (2.2.6)
Trong đó là do tính trực giao của hàm sóng và từ (2.2.4) ta sẽ xác định
Để tính các cumulant ta sử dụng các trạng thái dao động tử điều hòa với các trị riêng , để tiện lợi ta đặt năng lượng điểm không bằng không. Như vậy
(2.2.7)
Trong đó: biến số nhiệt độ với là nhiệt độ Einstein. Tương tự ta nhận được:
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo
Dao động nguyên tử khi lượng tử hóa là phonon và phi điều hòa là kết quả tương tác phonon nên ta biểu diễn y qua các toán tử hủy phonon dưới dạng:
(2.2.9) mà (2.2.10) Khi đó ta có: (2.2.11 ) Từ (2.1.11) và (2.2.9) ta suy ra (2.2.12) Sử dụng (2.2.11), (2.2.12) và từ (2.2.8) ta thu được: (2.2.13)
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo (2.2.14) Để tính và từ (2.2.14) ta sử dụng (2.2.9) và (2.2.10) để tính các yếu tố ma trận (2.2.15) (2.2.16) (2.2.17) Từ (2.2.14) và (2.2.15) ta nhận được (2.2.18)
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo
Đặt và sử dụng (2.2.12) và (2.2.13) từ (2.2.18) ta rút ra
(2.2.19)
Thay (2.2.11) vào (2.2.19) và bỏ qua số hạng nhỏ a ta nhận được cumulant bậc một (2.2.20)
và cumulant bậc hai hay DWF
(2.2.21)
Trong đó và là các đóng góp điểm khơng vào và Ta có thể biểu diễn số nhiệt độ z qua dưới dạng
(2.2.22)
Sử dụng (2.2.12), (2.2.14), (2.2.16) và (2.2.17) đối với chuyển dịch đến các trạng thái và cũng như các đẳng thức
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo
(2.2.24)
Trong đó là đóng góp điểm khơng vào
Từ (2.2.13), (2.2.20), (2.2.21), (2.2.22) ta dẫn ra công thức đối với hệ số dãn nở nhiệt
(2.2.25)
và sau này nó trở thành giá trị const ở nhiệt độ cao (Bảng 2.2.2). Từ các kết quả trên ta dễ dàng nhận được các biểu thức sau:
(2.2.26)
Tiếp theo ta sử dụng các giới hạn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(2.2.27)
Để nhận được các công thức trên ở gần đúng nhiệt độ thấp và nhiệt độ cao mà chúng được ghi lại trong bảng (2.2.2), trong đó là đóng góp điểm khơng vào
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo Đại lƣợng (1+2z) (1+2z) (1+12z) z(lnz)2(1+2z) 3zln(
Như vậy ta có thể thấy với biểu thức (2.2.26) nhận giá trị cổ điển
đối với (2.2.28)
Nghĩa là đối với ta có thể áp dụng gần đúng cổ điển, cịn khi thì gần đúng cổ điển khơng cịn chính xác nữa và nó địi hỏi áp dụng lý thuyết lương tử. Đối với các hiệu ứng phi điều hoà là đáng kể, tuy nhiên, tại giá trị của hệ thức (2.2.26) đã tiến gần tới 1/2, còn với ta đã phải lưu ý các hiệu ứng phi điều hoà. Mặt khác, chỉ xuất hiện khi có hiệu ứng phi điều hồ, có nghĩa là hiệu ứng phi điều hồ xuất hiện ở nhiệt độ Ta nào đó mà đối với nó bắt đầu
Luận văn tốt nghiệp Học viên: Trần Thị Bích Thảo