Ta nhận xét thấy rằng trong trường hợp L=4.63m thì thuật tốn LQR có thể làm chỉ tiêu đánh giá lớn hơn cả trường hợp khơng điều khiển. Đó là do thuật toán LQR khơng thực sự tối ưu khi có kích động ngồi.
2.3.2. Khả năng khuyếch đại thời gian trễ
Thuật toán LQR là một thuật toán phản hồi trạng thái. Trong trường hợp lý tưởng, điều khiển mang tính tức thời, thời gian trễ bằng 0 thì thuật tốn LQR đảm bảo chắc
chắn sẽ tăng được độ ổn định của hệ được điều khiển. Tuy nhiên, trên thực tế, thời gian trễ ln tồn tại mặc dù có thể có giá trị nhỏ. Việc tăng độ lớn các thành phần của ma trận phản hồi có thể khiến cho thời gian trễ này bị khuyếch đại và ảnh hưởng đến độ ổn định của hệ được điều khiển. Giả sử ta xét một hệ được điều khiển bằng thuật toán phản hồi LQR, gọi thời gian trễ của lực điều khiển là u, phương
trình chuyển động của hệ khi xuất hiện thời gian trễ là:
u
x t Ax t Bu t Hf t Ax t BGx t Hf t (2.39) Gọi là giá trị riêng của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ (2.39), là
nghiệm của phương trình đặc trưng siêu việt
det u 0
n
A BGe I (2.40)
trong đó det là ký hiệu định thức, In là ma trận đơn vị cũng cỡ với ma trận hệ thống
A. Phương trình siêu việt (2.40) có vơ hạn nghiệm . Để nghiên cứu sự ổn định, thơng thường người ta có thể khai triển hàm e mũ theo một chuỗi nào đó và chỉ giữ lại một số số hạng để giải. Trong trường hợp khai triển Taylor của hàm e mũ, ta có:
2 3 det ... 0 2 6 u u u n A BG BG I (2.41) Khi thời gian trễ u=0 thì chính là giá trị riêng của ma trận A-BG. Phụ lục C đã
chứng tỏ rằng phần thực của trị riêng của ma trận A-BG ln âm. Điều đó có nghĩa là khi khơng có thời gian trễ thì hệ ổn định dưới tác dụng của điều khiển LQR. Tuy nhiên, khi có sự tồn tại của thời gian trễ u thì việc tăng độ lớn các thành phần của ma trận phản hồi G sẽ dẫn tới sự khuyếch đại thời gian trễ u, ảnh hưởng tới tính
chất ổn định của các nghiệm của phương trình đặc trưng. Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình (2.41) thực sự là một bài toán phức tạp và vượt quá khả năng giải quyết của luận án. Ở đây, ta chỉ nhấn mạnh tới khả năng khuyếch đại thời gian trễ.
Ví dụ 2.2: Điều khiển chuyển động của máy bay
Để minh hoạ cho sự ảnh hưởng của thời gian trễ đến thuật toán LQR, ta xét bài toán điều khiển chuyển động thẳng đứng của máy bay. Bài toán này xuất hiện trong các
hệ thống điều khiển bay tự động [Nelson 1998]. Trên Hình 2.4, chuyển động thẳng đứng của máy bay được đặc trưng bởi các đại lượng sau: vận tốc vx dọc theo trục
của máy bay, vận tốc vz vng góc với máy bay, góc nâng , vận tốc góc nâng
d/dt. Chuyển động này được điều khiển bởi các đại lượng gồm lực đẩy động cơ T
và góc lệch của bánh lái độ cao (elevator).