III. KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐIỂM THAY ĐỔI LẦN LƯỢT THUỘC HAI ĐƯỜNG HOẶC HAI MẶT CHO TRƯỚC.
5. Mặt phẳng với đường tròn
Bài 3.13. Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q), đường tròn (C) nằm trong mp(P) và không có điểm chung với mp(Q). Tìm vị trí điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến mp(Q) là lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Gọiđường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), là góc giữa hai mp(P) và (Q). Đường tròn (C) có tâm I bán kính r, đường thẳng qua I vuông góc với d cắt d tại K và cắt đường tròn tại hai điểm A, B với A nằm giữa I và K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d. Đặt hIK
Ta có d M Q ,( )MH.cos, h r MH h r h r .cosd M Q ,( ) h r .cos Vậy khoảng cách từ M đến mp(Q) là lớn nhất bằng h r .cos khi và chỉ khi M trùng B và khoảng cách từ M đến mp(Q) là nhỏ nhất bằng h r .cos khi và chỉ khi M trùng A.
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 3 0 và mặt cầu 2 2 2
( ) :S x1 y2 z3 11. Đường tròn (C) là giao của mặt cầu (S) với mp(Oxy). Tìm vị trí điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất, nhỏ nhất
HD giải: Đường tròn (C) có tâm E1; 2;0 , bán kính r 11 9 2. Phương trình đường thẳng d giao tuyến của mp(P) và mp(Oxy) là: 3
0 x t y t z
Gọi K là hình chiếu của E lên đường thẳng d ta có K3;0;0 , KE2 2 2r
Gọi A, B là giao điểm của KE với (C), trong đó A nằm giữa E và K A2; 1;0 , B 0; 3;0
Theo bài toán trên ta có khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với
0; 3;0