Có nhiều dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách. Trong pham vi đề tài chỉ xét các bài toán về cực trị. Ta lần lượt xét mặt phẳng đi qua một điểm, chứa một đường thẳng thỏa mãn điều kiện về khoảng cách.
1) Mặt phẳng đi qua một điểm thỏa mãn điều kiện về khoảng cách.
Bài 5.1. Cho hai điểm phân biệt A và B. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến mp(P) là lớn nhất.
Giải: Ta có d B P ,( ) AB không đổi, suy ra khoảng cách từ B đến mp(P) lớn nhất khi và chỉ khi mp(P) đi qua A và vuông góc với AB (nhận AB làm vec tơ pháp tuyến)
Bài minh họa . Trong không gian Oxyz, và hai điểm A1; 2;1, B0;1; 2. Mặt phẳng (P) đi qua B cách A một khoảng lớn nhất có phương trình là:
A. x y z 2 0. B. x y z 1 0. C. x2y z 4 0. D. x y z 3 0.
Bài 5.1 cơ bản về cực trị khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bằng cách tương tự hóa ta mở rộng cho tổng khoảng cách từ nhiều điểm đến một mặt phẳng.
Bài 5.2. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mp(P) là lớn nhất.
Biết mp(P) không cắt đoạn BC.
Giải: Gọi M là trung điểm BC, áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang ta có: d B P ,( ) d C P,( )2d M P ,( ).
Suy ra tổng khoảng cách từ B và C đến mp(P) lớn nhất khi và chỉ khi mp(P) đi qua A và vuông góc với AM (nhận AM làm vec tơ pháp tuyến)
Bài 5.3. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M sao cho ba điểm A, B, C cùng phía với mp(P) và tổng khoảng cách từ ba điểm A, B, C đến mp(P) là lớn nhất.
Giải: Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B và C lên mp(P). Gọi G và H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A’B’C’.
Gọi i là vectơ đơn vị cùng hướng với AA', ta có
' ' ' 3 '. '. '. 3 . ' ' ' 3 AA BB CC GH AA i BB i CC i GH i AA BB CC GH hay d A P ,( ) d B P,( ) d C P,( )3d G P ,( ).
Vậy tổng khoảng cách từ ba điểm A, B và C đến mp(P) lớn nhất khi và chỉ khi mp(P) đi qua M và vuông góc với MG (nhận MG làm vectơ pháp tuyến)
IA A C B A' B' C' J G H H B C P K N M A
Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;1), (3; 2;0), (1; 2; 2)B C . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mp(P) lớn nhất biết rằng không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mp(P)?
A. B. C. D. .
Tổng quát áp dụng kết quả bài 5.2 và 5.3 ta suy ra được bài 5.4:
Bài 5.4. Cho n điểm phân biệt A A1, 2,...,An và điểm M. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M sao cho tổng khoảng cách từ n điểmA A1, 2,...,An và đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, biết n điểm A A1, 2,...,An nằm cùng phía với mp(P).
Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A2; 0;1, B3;1;5, C1; 2; 0, D4; 2;1
. Gọi là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng là lớn nhất. Giả sử phương trình
có dạng: 2xmynz p 0. Khi đó, T m n p bằng:
A. 9. B. 6. C. 8. D. 7.
2) Mặt phẳng chứa một đường thẳng thỏa mãn điều kiện về khoảng cách.
Bài 5.5. Cho điểm phân biệt A và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất.
Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Ta có d A P ,( ) AH không đổi. Vậy khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất khi và chỉ khi mp(P) đi qua H và vuông góc với AH ( nhận AH làm vectơ pháp tuyến
Bài minh họa 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:
. Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Khi đó (P) có một véctơ pháp tuyến là
A. B. C. D.
Bài minh họa 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A2;1;3 và mặt phẳng
P :x my 2m1z m 2 0, m là tham số thực. Gọi H a b c ; ; là hình chiếu vuông góc của điểm A trên P . Khi khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất, tính a b .
A. 2. B. 1
2. C. 3
2. D. 0.
Bài minh họa 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; 6), (0;1; 0) B và mặt cầu
2 2 2
( ) : (S x1) (y2) (z 3) 25. Mặt phẳng ( ) :P axbycz 2 0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c.
A. T 3 B. T 5 C. T 2 D. T 4
Bài 5.6. Cho điểm A và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A song song với d sao cho khoảng cách giữa d và mp(P) là lớn nhất.
2; 0; 3 .G F3; 0; 2 . 1;3;1 .E H0;3;1 G F3; 0; 2 . 1;3;1 .E H0;3;1 3 1 2 1 1 x y z 4 5 13 ( ; ; ) n n( ; ;4 5 13 ) n( ;4 5 13; ) n ( 4 5 13; ; )
HD : Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với d, suy ra mp(P) chứa . Đây là nội dung bài 5.5
Bài minh họa. Trong không gian , cho điểm , đường thẳng . Biết mp có phương trình đi qua , song song với và khoảng cách từ tới mp lớn nhất. Biết là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Bài minh họa. Trong không gian , cho điểm A0;1; 2, mp :x y z 4 0 và mặt cầu
2 2 2
: 3 1 2 16
S x y z . Gọi P là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với và đồng thời P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của P và trục x Ox' là A. 1; 0; 0 2 M . B. 1; 0; 0 3 M . C. M1;0;0. D. 1; 0; 0 3 M .
Thay khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng nhiều điểm đến mặt phẳng ta có:
Bài 5.7. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, biết mp(P) không cắt đoạn AB.
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3), B(2;1;1) và đường thẳng d: . Lập phương trình mặt phằng (P) chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm A, B đến (P) là lớn nhất. Biết A, B cùng phía với mp(P).
Bài 5.8. Cho ba điểm phân biệt A, B, C và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ A, B và C đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, biết ba điểm A, B, C nằm cùng phía với mp(P).
Tổng quát áp dụng kết quả bài 5.7 và 5.8 ta suy ra được bài 5.9:
Bài 5.9. Trong không gian, cho n điểm phân biệt A A1, 2,...,An và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ n điểmA A1, 2,...,An và đến mp(P) là lớn nhất, biết n điểmA A1, 2,...,An nằm cùng phía với mp(P).
Bài minh họa: Cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4).
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox sao cho tổng khoảng cách từ bốn điểm A, B, C, D đến mp(P) là lớn nhất.
b) Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm C, D đến mp(P) là lớn nhất.
c) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?
A. 1 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. Có vô số mặt phẳng. Oxyz A(2; 2;0) : 1 2 Oxyz A(2; 2;0) : 1 2 1 3 1 x y z ( )P axby cz d 0 A ( )P a b, a b c d 3 0 1 1 Oxyz 3 1 2 1 1 x y z
Bài 5.10. Cho điểm A, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P). Mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng ∆. Lập phương trình mp sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm B. Ta có d A P ,( )d A , AB.
Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là lớn nhất bằng AB khi và chỉ đường thẳng ∆ đi qua B nằm trong mp(P) và vuông góc với AB (u AB n, Pn u u, d).
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là lớn nhất bằng AB khi và chỉ mp chứa đường thẳng d và hình chiếu của điểm A lên mp(P)
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x2y z 6 0 và đường thẳng d :x 1 y 1 z 2.
1 1 2
Lập phương trình mp chứa đường thẳng d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến ∆ là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 5.11. Trong không gian, cho mặt cầu (S) và điểm A nằm ngoài (S). Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất.
Giải: Nối A với O cắt (S) tại hai điểm E, F trong đó F nằm giữa O và A. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm H. Ta có d A P ,( )AH AE không đổi.
Vậy khoảng cách từ A đến mp(P) lớn nhất bằng AE khi và chỉ khi mp(P) đi qua E và vuông góc với AE.
Các bài minh họa
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
: 4 2 4 9
S x y z . Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S . Khi khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp P đạt giá trị lớn nhất. tiếp xúc với mặt cầu S . Khi khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp P đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng(P).
Câu 2. (Đề thi thử lần 2 của sở GD Nghệ An năm 2021):
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng 2 2 2
: 2 4 1 2 3 1 1 0
P m m x m m y m zm và mặt
cầu 2 2 2
: 3 2 1 75
S x y z . Điểm A là thuộc mặt cầu S . Khi khoảng cách từ A
đến mặt phẳng P đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là giao tuyến của P và S có thể tích bằng bao nhiêu?
A. 128 3. B. 75 3. C. 32 3. D. 64 3.
Câu 3. Trong không gian Oxyz, Cho điểm và mặt cầu có phương trình và điểm . Viết phương trình mp đi qua tiếp xúc với sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Giả sử là một vectơ pháp tuyến của . Lúc đó A. B. C. D. (0;8; 2) A ( )S 2 2 2 ( ) : (S x5) (y3) (z 7) 72 B(9; 7; 23) ( )P A ( )S B ( )P n(1; ; )m n ( )P . 2. m n m n. 2. m n. 4. m n. 4.