Đường thẳng song song và cách một đường thẳng cho trước một khoảng không đổi (đây chính là đường thẳng nằm trên mặt trụ)

IV. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH.

3) Đường thẳng song song và cách một đường thẳng cho trước một khoảng không đổi (đây chính là đường thẳng nằm trên mặt trụ)

(đây chính là đường thẳng nằm trên mặt trụ)

Bài 4.8. Cho hai điểm A và đường thẳng . Xác định vị trí của đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng bằng R sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải: Từ giả thiết suy ra đường thẳng d nằm trên mặt trụ (T) có trục là đường thẳng  và bán kính R.

Xét mặt phẳng qua A vuông góc với  cắt mặt trụ (T) theo một đường tròn (C) có tâm H, cắt đường thẳng d tại M Nối A với H cắt (C)tại hai điểm B, D với B nằm giữa A và H. Ta có d A d ,  AM mà AB AM  AD, do đó

( , )

AH  R d A d  AH R

Vậy khoảng cách từ điểm A đến d là nhỏ nhất bằng AHR

khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua B

và khoảng cách từ điểm A đến d là nhỏ nhất bằng AHR khi và chỉ khid đi qua D.

Bài minh họa (Đề thi THPT QG năm 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Nhận xét: Đây là bài toán dạng vận dụng trong đề thi THPT QG năm 2019. Tập hợp các đường thẳng d chính là mặt trụ có trục là đường Oz, bán kính bằng 3. Có thể thay câu hỏi khoảng cách từ A đến d lớn nhất bằng khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất.

Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (có một đường nằm trên mặt trụ) ta có:

Bài 4.9. Cho hai đường thẳng d và  chéo nhau và d( , ) d  h R. Xác định vị trí của đường thẳng d’ song song và cách đường thẳng  một khoảng bằng R sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ là lớn nhất, nhỏ nhất. 0; 4; 3 A   3;0; 3 P   M0;11; 3  N0;3; 5  Q0; 3; 5   A B H D M d B K P A H F I E

Giải: Gọi mặt phẳng (P) chứa d và song song với . Đường thẳng d’ song song và cách đường thẳng  một khoảng bằng R nên đường thẳng d’ nằm trên mặt trụ có trục là đường thẳng và bán kính R. Lấy điểm O thuộc , xét đường tròn (C)

có tâm O, bán kính R cắt đường thẳng d’ tại M.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với mp(P), cắt mp(P) tại H, cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho A nằm giữa O và H.

Ta có h R d A P( , ( ))d M P( , ( ))d B P , ( ) h R và d d d , 'd d ', ( )P d M P( , ( ))

Do đó h R d d d( , ') h R.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ là lớn nhất bằng hR khi và chỉ khi đường thẳng d’ đi qua B và song song với d; khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ là nhỏ nhất bằng h R khi và chỉ khi đường thẳng d’ đi qua A và song song với d.

Bài minh họa 1. Trong không gian , cho mặt phẳng   :x z  4 0 Xét đường thẳng d

thay đổi, song song với trục Oy và cách trục Oy một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách giữa d và mp() lớn nhất, viết phương trình đường thẳng d?

Bài minh họa 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 3 1

2 1 1

x y z

  

 và hai điểm 2; 2;1

A  , B0;1; 2. Gọi d là đường thẳng song song và cách  một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách giữa đường thẳng AB và d ngắn nhất thì đường thẳng d đi qua điểm nào?

A. 2; 2;1 B. 0; 2;0 C. 2;0;1 D. 0; 2;1

Giải: AB  2;3;1 , u 2; 1;1 Gọi mặt phẳng (P) chứa AB và song song với ,

 ,  4; 4; 4 4 1;1; 1

P

n  AB u     . Phương trình mp(P) là: x   y z 1 0. Lấy điểm M1;3; 1  ta có d, ( )P d M P , ( )2 3 Lấy điểm M1;3; 1  ta có d, ( )P d M P , ( )2 3

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P), ta có H1;1;1,

 

( , ) , ( ) ( , ( )) 3 2 3 3 3

d d AB d d P  d P    

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua trung điểm K của MH. Ta có K0; 2; 0. Phương trình đường d là: 2

2 1 1

x y z

 

 . Chọn B