IV. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH.
5) Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu và thỏa mãn điều kiện về khoảng cách.
Bài 4.11. Cho hai đường thẳng d1, d2 và mặt cầu S O R ; . Viết phương trình đường thẳng
cắt đường thẳng d1 và tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng d2 và là lớn nhất.
Giải: Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và điểm O. Mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C).
Đường thẳng qua O nằm trong (P) vuông góc với d2 cắt d2 tại H và cắt (C) tại hai điểm A, B với O nằm giữa A và H.
Xét mp(Q) là tiếp diện của mặt cầu tại A, mp(Q) cắt d1 tại C. Ta có d,d2d M d , 2d A d , 2 AH
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d2 và là
lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng đi qua hai điểm A và C.
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
S : x y z 2x2y 6z 2 0
và đường thẳng d : x 1 y 2 z.
1 1 1
Viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng d và là lớn nhất.
Thay điều kiện khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta có bài toán:
Bài 4.12. Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu S O R ; và đường thẳng d. Viết phương trình đường thẳng cắt d, tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ A đến là lớn nhất.
Giải: Nối A với O cắt (S) tại hai điểm B và C (với B nằm giữa A và O). Đường thẳng
tiếp xúc với (S) tại M. Ta có d A( , ) AM AC OAR, d A( , ) OAR khi và chỉ khi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại C. Vậy đường thẳng đi qua C nằm trong mp(P) và cắt đường thẳng d
Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu 2 2 2
1 : 4 16
S x y z ,
2 2 2
2 : 4 36
S x y z và điểm A4;0;0. Đường thẳng di động nhưng luôn tiếp xúc với
1
( )S , đồng thời cắt S2 tại hai điểm B C, . Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là?
A. 24 5. B. 48. C. 7 2. D. 28 5. 1; 2;1 M N 5;7;3 P 3;4;3 Q 7;13;5 H O A d1 C d2 B