Tự bồi dưỡng năng lực khai thác tiềm năng sách giáo khoa, phát triển và mở rộng kiến thức và kỹ năng chuẩn

- Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề

4. Một số cách thức tự bồi dưỡng năng lực tiếp cận lý thuyết hoạt động của giáo viên trong nghiên cứu và giảng dạy Toán

4.4. Tự bồi dưỡng năng lực khai thác tiềm năng sách giáo khoa, phát triển và mở rộng kiến thức và kỹ năng chuẩn

mở rộng kiến thức và kỹ năng chuẩn

Việc bồi dưỡng năng lực khai thác tiềm năng sách giáo khoa được cụ thể hóa qua việc khai thác các ứng dụng của các khái niệm, các định lý, mở rộng các dạng toán phổ thông nhờ vận dụng các phép biện chứng của tư duy toán học, đặc biệt chú trọng vận dụng mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, mối quan hệ nhân quả, quy luật lượng đổi – chất đổi, xem xét sự vật trong trạng thái vận động và phát triển.

Giáo viên cần tự bồi dưỡng khả năng lựa chọn các tình huống, các tri thức về các đối tượng, các quy luật, các phương pháp để học sinh tư duy, hình dung làm bộc lộ động cơ hoạt động – đối tượng mang tính nhu cầu. Biết điều khiển học sinh lựa chọn các hoạt động trí tuệ, hoạt động toán học, bằng con đường quy nạp, mô hình hóa để rút ra các tính chất chung, các quy luật, các phương pháp mới. Biết đánh giá các tri thức và hoạt động, các sản phẩm hoạt động của học sinh.

hợp sang hình toạ độ không gian, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập dựa vào các định hướng sau:

Định hướng 1: Hệ thống bài tập đảm bảo kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển được các kiến thức, kỹ năng cơ bản nhằm đạt mục tiêu dạy học.

Những kiến thức cơ bản phần mặt cầu trong SGK hình học 12 : Trong không gian cho mặt cầu S O R( ; ), điểm M , đường thẳng  và mặt phẳng ( )P .

1) Vị trí tương đối của mặt cầu (S) với điểm M .

– Nếu OM =R thì điểm M nằm trên mặt cầu ( )S . – Nếu OM R thì điểm M nằm trong mặt cầu ( )S . – Nếu OM Rthì điểm M nằm ngoài mặt cầu ( )S .

2) Vị trí tương đối của mặt cầu ( )S với đường thẳng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên  và d =OH là khoảng cách từ O đến 

– Nếu d R thì đường thẳng  không cắt mặt cầu ( )S .

– Nếu d =R thì đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu ( )S tại H và đường thẳng

 gọi là tiếp tuyến của mặt cầu ( )S .

– Nếu d R thì đường thẳng  cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A và B. Ta có H là trung điểm của AB và

2

2 2

4

AB

R =d + (1).

3) Vị trí tương đối của mặt cầu ( )S với mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và h=OH là khoảng cách từ O đến mp(P).

– Nếu hR thì mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu ( )S .

– Nếu h=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại H và mp(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu.

– Nếu hR thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn có tâm H và bán kính r = R2 −h2 (2).

Định hướng 2: Hệ thống bài tập đảm bảo tính hệ thống, kế thừa.

Trong đề tài hệ thống bài tập được phân chia theo từng nhóm dựa trên sự tương đồng về dạng bài tập như: Bài tập liên quan đến giao giữa đường thẳng với mặt cầu, giao giữa mặt phẳng với mặt cầu, tìm điểm thuộc mặt cầu…

Mặt khác các bài tập có sự kế thừa; có thể đó là sự mở rộng của một bài toán về đường tròn đã biết trong mặt phẳng; tổng quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá một bài toán; nâng dần mức độ khó khăn cho bài toán; thay đổi dự kiện, giả thiết kết luận của bài toán; là sự chuyển đổi bài toán tương ứng từ hình không gian tổng hợp sang toạ độ…

Định hướng 3: Hệ thống bài tập sao cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực toán học.

Số lượng bài tập trong đề tài phong phú, đa dạng áp dụng được cho nhiều đối tượng học sinh, phù hợp cho việc dạy học phân hoá, phát huy tối đa năng lực của học sinh.

Căn cứ vào giao giữa mặt cầu với đường thẳng và mặt phẳng ta xây dựng và phân loại thành các nhóm bài toán như sau:

Nhóm 1: Nhóm bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu.

Bài tập về đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt thì cốt lõi cần vận dụng, khai thác công thức cơ bản. Sau đây ta sẽ xây dựng và giải các bài toán về một, hai, ba đường thẳng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu và thoả mãn điều kiện cho trước.

Trong mặt phẳng ta có bài toán: Cho đường tròn ( )C có tâm O, bán kính R

và điểm M nằm trong ( )C sao cho OM = m R. Đường thẳng đi qua M cắt ( )C

tại hai điểm phân biệt A B, . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

AB.

Trong không gian liệu có bài toán tương ứng? Giáo viên vẽ hình, học sinh hình dung và thử phát biểu bài toán. Sau đó giáo viên nêu bài toán và yêu cầu học sinh giải.

Bài toán 1: Cho mặt cầu S(0;R) và điểm M nằm trong mặt cầu ( )S sao cho

OM = m R . Đường thẳng d đi qua M cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm A B, . a) Tính độ dài đoạn thẳng AB khi khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng

2

R

. b) Tính độ dài đoạn thẳng AB khi góc giữa hai đường thẳng AB và OM bằng 600. c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.

a) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 3 4 R AB= AH = R −OH = R − =R b) Ta có .sin 600 3 2 m OH =OM = , 2 2 2 2 AB= AH = R −OH 2 3 2 2 2 2 4 3 4 m R R m = − = − c) Ta có AB2R không đổi.

Suy ra độ dài AB lớn nhất bằng 2R khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua điểm M và tâm mặt cầu.

Mặt khác AB=2AH =2 R2 −OH2 2 R2 −OM2 =2 R2 −m2

Suy ra độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi Htrùng M .

Vậy AB nhỏ nhất bằng 2 R2 −m2 khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua M

và vuông góc với OM.

Nhóm 2: Nhóm bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài mặt cầu.

Bài toán đi qua một điểm nằm ngoài mặt cầu có hai dạng cơ bản là đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt và đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu. Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt ta đã nghiên cứu ở trên, trong phần này chủ yếu chỉ xét đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

Ta có bài toán: Đường thẳng đi qua điểm M nằm trong mặt cầu và cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A B, thì tích MA MB. không đổi. Vậy khi điểm M nằm ngoài mặt cầu thì kết quả đó có đúng nữa không?

Bài toán 2: Cho mặt cầu ( )S tâm O, bán kính R. Điểm M nằm ngoài mặt cầu ( )S sao cho OM = d R. Đường thẳng đi qua M cắt mặt cầu tại hai điểm A B, . a) Tính MA MB. theo R và d (Bài 5 trang 49 SGK hình học 12).

b) Tính độ dài đoạn AB biết MA= AB.

a) Gọi Hlà trung điểm của AB, giả sử A nằm giữa M và H. Ta có MA MB. =(MH −AH)(MH +BH) (= MH −AH)(MH +AH) 2 2 ( 2 2) ( 2 2) MH AH OM OH OA OH = − = − − − =OM2 −OA2 2 2 d R = − . Vậy MA MB. =d2 −R2

b) Ta có A là trung điểm của MB. Áp dụng kết quả câu a) ta được

2 2 2 2 2 . 2 2 d R MA MB= MA =d −R  AB=MA= −

Nhóm 3: Nhóm bài toán liên quan đến mặt phẳng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu.

Mặt phẳng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu luôn cắt mặt cầu theo một đường tròn. Bài tập về mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn thì cốt lõi cần vận dụng, khai thác công thức cơ bản.

Ta lần lượt xét các bài toán liên quan đến một mặt phẳng, hai mặt phẳng, ba mặt phẳng đi qua một điểm thoả mãn điều kiện cho trước.

Bài toán 3: Cho mặt cầu ( )S tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu ( )S sao cho OM = d R. Mặt phẳng ( )P đi qua M cắt ( )S theo một đường tròn ( )C . Tìm giá trị của diện tích đường tròn ( )C trong hai trường hợp sau:

a) Khoảng cách từ Ođến mp( )P bằng 2 R . b) Góc giữa OM và mp( )P bằng 600 . Lời giải:

Gọi H và rlà tâm và bán kính của đường tròn ( )C . a) Ta có 2 2 2 2 3 4 4 R R S r R   = =  − =  

Diện tích đường tròn ( )C là: 2 2 2 3 4 d S =r =R −   .

Nhóm 4: Nhóm bài toán liên quan đến mặt phẳng chứa một đường thẳng cắt mặt cầu.

Mặt phẳng chứa một đường thẳng cắt mặt cầu luôn cắt mặt cầu theo một đường tròn. Tương tự như các mục trên ta xét các bài toán liên quan đến một mặt phẳng, hai mặt phẳng đi qua một đường thẳng cắt mặt cầu thoả mãn điều kiện cho trước. Các bài tập được xây dựng tương tự như mặt phẳng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu.

Bài toán 4: Cho mặt cầu ( )S có tâm O, bán kính R và đường thẳng dcắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A và B(đường thẳng d không đi qua tâm mặt cầu). a) Xác định mặt phẳng ( )P chứa d và cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.

b) Xác định mặt phẳng ( )P chứa d và cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Mặt phẳng ( )P chứa d và cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi mặt phẳng ( )P đi qua tâm mặt cầu.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Ta có ( ,( ))

d O P OH

Mặt phẳng ( )P chứa d và cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi d O P( ,( ))lớn nhất.

Khi đó mặt phẳng ( )P đi qua H và vuông góc với OH.

Nhóm 5: Nhóm bài toán liên quan đến mặt phẳng đi qua một điểm hoặc một đường thẳng nằm ngoài mặt cầu.

Mặt phẳng đi qua một điểm nằm ngoài mặt cầu có hai dạng cơ bản là cắt mặt cầu và tiếp xúc với mặt cầu. Cắt mặt cầu ta đã nghiên cứu kỹ ở mục trước. Do đó phần này và chỉ xét mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Sau đây một số bài hình học tổng hợp.

Mặt phẳng chứa đường thẳng và cắt mặt cầu ta đã nghiên cứu ở mục trước. Sau đây ta chỉ mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Dễ thấy qua đường thẳng không cắt mặt cầu thì có đúng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.

Bài toán 5: Cho mặt cầu ( )S tâm O, bán kính R. Điểm M nằm ngoài mặt cầu ( )S sao cho OM =2R. Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cùng đi qua M vuông góc với nhau tiếp xúc với ( )S tại A và B. Tính thể tích của thể tích tứ diện MABO.

Ta có OA⊥( ),P OB⊥( )Q suy ra góc giữa mp( )P và mp( )Q là góc giữa hai đường thẳng OA và OB. Do ( )P ⊥( )Q OA⊥OB AB=R 2. 2 2 4 3 MA=MB= R −R =R . Gọi N là trung điểm của AB. Ta có

( ) ON AB AB OMN MN AB ⊥   ⊥  ⊥  , 2 2 2 AB R ON = = 2 2 2 2 2 10 3 4 2 R R MN = MA −NA = R − = 2 1 2 1 os sin . .sin 2 2 5 5 MNO R

c MNO= −  MNO= S = MN ON MNO=

2 3 1 1 2 . . 2. 3 3 2 6 MABO OMN R R V = AB S = R =

Bài toán 6: Cho mặt cầu ( )S có tâm O, bán kính R và đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( )S sao cho d O( ; ) = m R. Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cùng đi qua ∆, tiếp xúc với ( )S và tạo với nhau một góc φ. Tính cos.

Giả sử hai mặt phẳng ( )P và ( )Q lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại A và B. Mặt phẳng (OAB) cắt đường thẳng ∆ tại M .

Do OA⊥( ), P OB⊥( )Q nên ( ) , OA OAB MA MB OB ⊥    ⊥   ⊥  ⊥  ⊥  . Góc giữa ( )P và ( )Q là góc giữa MA và MB. Đặt OMA sin OA R OM m  =   = = 2 2 2 2 2 os os2 1 2sin m R c AMB c m   − = = − = Vậy 2 2 2 2 os os m R c c AMB m  = = − . 5. Thực nghiệm sư phạm 5.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của việc tiếp cận lý thuyết hoạt động trong dạy học Toán và quy trình rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh trong quá trình học phần hình học không gian ở trường THPT.