Khảo sát một mô hình của động học xe theo phương dọc, thể hiện trong hình 1. Khối lượng của xe là m, xe chịu tác động của một lực kéo Fk. Lực Fk đại diện cho lực tạo ra tại tiếp tuyến đường và lốp. Trong mô hình, khảo sát lực này trực tiếp từ mô men của động cơ và của các hệ thống truyền động, lốp xe. Các lực cản do ma sát lăn và gió kéo, lực cản trọng trường tác động theo hướng ngược lại chuyển động của xe.
Hình 3.11 Mô hình động học ô tô theo phương dọc
Từ mô hình động học ô tô theo phương dọc (hình 3.11), bằng phương pháp tổng hợp lực và áp dụng định luật Newton 2 ta có hệ phương trình sau:
𝑚𝑣̇ + 𝐹𝑏 + 𝐹𝑘 (3.1) y = v
Trong đó: m : Là khối lượng của xe (kg), 𝐹𝑏 : Tổng lực cản tác động vào xe (N.s/m), 𝐹𝑘 : lực kéo của xe (N)
v : Là vận tốc của xe (m/s)
Lực kéo của xe 𝐹𝑘 được sinh ra từ động cơ gắn trên xe mà ở đó mô men xoắn tỷ lệ thuận với tỷ lệ phun nhiên liệu hay vị trí của bướm ga (tín hiệu điều khiển 0 u 1 ). Mô men xoắn là một hàm phi tuyến theo tốc độ động cơ, đưa ra bởi đường cong mô men:
𝜔 = 𝑛 𝑟𝑣 = 𝛼𝑛𝑣 (3.2) T(𝜔) = 𝑇𝑚 (1 − 𝛽 ( 𝜔 𝜔𝑚 − 1)2) (3.3) 𝐹𝑘 = 𝑛𝑢 𝑟 T(𝜔) = 𝛼𝑛uT(𝛼𝑛𝑣) (3.4) Trong đó: 𝑇𝑚 là mô men xoắn cực đại của động cơ
𝛼𝑛 là hàm tỷ số truyền của bánh răng là tốc độ của động cơ
𝜔𝑚 là tốc độ mà ở đó mô men xoắn đạt cực đại n là tỷ số truyền của bánh răng
r là bán kính bánh xe
v là vận tốc của xe là hệ số,
u là tín hiệu điều khiển ( 0 u 1 ).
Tổng lực cản tác động vào hệ xe bao gồm: 𝐹𝑔 là lực cản do trọng trường, 𝐹𝑟 là lực cản do ma sát lăn của bánh xe, 𝐹𝑎 lực cản của không khí
Fb = Fg + Fr + Fa = mgsinθ + mgCr + 1
Trong đó: m là khối lượng của xe 𝑔 là gia tốc trọng trường 𝐶𝑟 là hệ số cản lăn
𝐶𝑣 là hệ số cản của không khí theo phương dọc A là tiết diện mặt cản trước của xe
v là vận tốc của xe
là góc nghiên của đường là mật dộ không khí.
Mô hình trạng thái của động học ô tô theo phương dọc
Hệ thống có phần năng lượng duy nhất là động năng của xe, do đó vận tốc
v là biến trạng thái duy nhất. Từ (3.1) ta có phương trình trạng thái của hệ động học ô tô theo phương dọc là:
𝑥̇ = [𝑣̇] = [−𝐹𝑏
𝑚 ] [𝑣] + [1
𝑚] [𝐹𝑘] (3.6) 𝑦 = [1][𝑣]
Từ (3.2) ta có các ma trận hệ thống của mô hình trạng thái: A = [−𝑏
𝑚]; B = [1
𝑚]; C = [1]; D = 0
Hàm truyền của động học ô tô theo phương dọc:
Sử dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình vi phân (3.1), bỏ qua có điều kiện ban đầu, chúng ta tìm được hàm truyền của đối tượng như sau:
P(s) = 𝑉(𝑠)
𝑈(𝑠) = 1
𝑚𝑠 + 𝐹𝑏 (3.7)