Thiết kế tình huống dạy học định lý

CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG CNTT TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

2.3. Thiết kế tình huống dạy học định lý

Vị trí và yêu cầu của dạy học định lý hình học ở bậc THCS là cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cơ bản của môn hình học, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.

47

- Học sinh nắm được các định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lý vào hoạt động giải bài tập cũng như các ứng dụng khác.

- Làm cho học sinh thấy được sự chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác ( tuy nhiên phải phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh THCS), phát triển năng lực chứng minh toán học,...

Dạy học định lý, tính chất hình học bao gồm các bước:

- Tiếp cận định lý: Trên màn hình GSP giáo viên vẽ hình và thực hiện các thao tác đo độ dài, đo góc,… bằng menu “phép đo” để học sinh quan sát.

- Hình thành định lý: Học sinh thực hiện hoạt động so sánh hoặc tính toán, suy đoán, suy diễn tìm ra tích chất của điểm, góc, cạnh, đường chéo, … Học sinh phát hiện được nội dung của định lý.

- Củng cố định lý: Giáo viên tiếp tục cho hình vẽ di động, mặc dù vậy nhưng hình vẽ vẫn giữ được tính chất đặc trưng của nó, điều này làm cho học sinh có niềm tin vào sự đúng đắn của định lý.

- Vận dụng định lý: Khi đã nắm chắc được định lý học sinh có thể vận dụng định lý để giải bài tập và giải quyết những vấn đề của thực tiễn.

Nhưng dạy học chứng minh định lý trước hết cần cho học sinh thấy rằng: Những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là một hoặc vài hình vẽ mà thôi. Vấn đề đặt ra là tính chân thực của mệnh đề tổng quát không thể thử trực tiếp trên vô số trường hợp như các khoa học thực nghiệm khác, vì vậy ta cần chứng minh nó bằng suy luận lập luận toán học logic.

Do đó sử dụng phần mềm GSP chỉ là giúp học sinh tiếp cận và hình thành định lý, chứ không thể thay thế cho việc chứng minh định lý. Tuy vậy nhưng khi sử dụng GSP vào dạy tính chất của các hình tôi thấy thật thú vị, nhất là học sinh có nhiều hứng thú trong học tập, các em tập trung quan sát sự di chuyển của các hình vẽ để phát hiện ra tính chất của các đối tượng hình học một cách chủ động, tinh tường và đầy sáng tạo, tự các em rút ra tính chất hoặc định lý bằng nhìn thấy trên hình vẽ, chứ không phải chỉ nhìn sách giáo khoa trả lời như trước đây.

48

Ví dụ 2.5: ( Tính chất trang 82-SGK hình học 7 tập 1) Dạy học tính chất của hai góc đối đỉnh.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP ta vẽ hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại O tạo thành 4 góc là

1, 2, 3, 4

O O O O . Thực hiện phép đo góc O1, O3 ta được hai góc có số đo bằng nhau.

Hình 2.9

- Bước 2: Hình thành định lý

Học sinh quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

+) So sánh số đo của hai góc O O1, 3.

+) Tính số đo hai góc O O2, 4. So sánh số đo hai góc này.

Nhận thấy O1 O3 và O2 O4.

Từ đó học sinh dự đoán số đo của hai góc đối đỉnh để dần hình thành định lý.

Giáo viên phân tích hình vẽ và đưa ra định lý về tính chất của hai góc đối đỉnh là: Hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau.

49 - Bước 3: Củng cố định lý.

Giáo viên di chuyển đường thẳng để học sinh quan sát. Thấy số đo góc thay đổi nhưng hai góc đối đỉnh vẫn luôn bằng nhau. Từ đó khẳng định tính đúng của định lý.

Hình 2.10

- Bước 4: Vận dụng định lý

Học sinh tiếp thu và ghi nhớ định lý để áp dụng vào để tính các góc còn lại của bài toán sau:

Hình 2.11

Ví dụ 2.6: ( Định lý trang 106 – SGK tập 1) Dạy học định lý tổng ba góc của một tam giác.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý.

Trên màn hình GSP giáo viên vẽ tam giác ABC. Sau đó thực hiện phép đo các góc

, ,

50

Hình 2.12

Bước 2: Hình thành định lý.

•) Học sinh quan sát hình vẽ và kết quả đo ba góc của tam giác.

•) Yêu cầu học sinh tính tổng ba góc của tam giác sau khi đã biết số đo ba góc đó. Thấy tổng ba góc của ABC bằng 180 .

•) Rút ra định lý: Tổng ba góc của một tam giác bằng 180

- Bước 3: Củng cố định lý

Di chuyển một đỉnh bất kì của tam giác, rồi lại thực hiện phép đo để có số đo ba góc của tam giác. Thấy tổng số đo ba góc luôn bằng 180 .

Hình 2.13

- Bước 4: Vận dụng định lý.

Học sinh tiếp thu và ghi nhớ định lý để áp dụng vào giải bài tập có liên quan đến tổng số đo ba góc của tam giác. Chẳng hạn: Tính số đo của góc C trong ABC

51

Ví dụ 2.7: ( Định lí 1 trang 126 – SGK tập 1) Dạy học tính chất của tam giác cân.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP, giáo viên vẽ tam giác ABC cân tại A. Thực hiện phép đo góc B và góc C như sau:

+) Chọn lần lượt 3 điểm A, B, C. Trong mục Measure chọn Angle ta được số đo của góc B.

+) Chọn lần lượt 3 điểm A, C, B. Trong mục Measure chọn Angle ta được số đo của góc C.

Hình 2.16

- Bước 2: Hình thành định lý

Học sinh quan sát hình vẽ và nhận xét số đo góc B C, .

Nhận thấy BC

Từ đó đưa ra định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. - Bước 3: Củng cố định lý.

+) Trên màn hình GSP giáo viên dựng thêm một tam giác cân là A B C' ' ' cân tại A, thực hiện thao tác đo hai góc B C', '.

52

Hình 2.17

Từ đó khẳng định thêm tính đúng cho định lý 1.

+) Trên màn hình GSP giáo viên vẽ tam giác ABC có BC, thực hiện thao tác đo hai cạnh AB AC, . Thấy ABAC suy ra tam giác ABC cũng là tam giác cân.

Hình 2.18

Ta có hệ quả: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân.

- Bước 4: Vận dụng định lý

Học sinh tiếp thu và ghi nhớ định lý, rồi vận dụng vào để giải bài tập sau:

a) Cho ABC cân tại A, có A80 . Tính số đo góc B C, ?

53

b) Cho ABC cân tại A, có B50 . Tính số đo góc A C, ?

Hình 2.20

Ví dụ 2.8: (Định lý trang 130 – SGK hình học 7 tập 1) Dạy học định lý Pi-ta-go. Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP, giáo viên vẽ tam giác ABC vuông tại A. Thực hiện phép đo để đo độ dài các cạnh AB, BC, AC như sau:

+) Chọn cạnh AB. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài cạnh AB. +) Chọn cạnh BC. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài cạnh BC. +) Chọn cạnh AC. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài cạnh AC.

Hình 2.21

54 Yêu cầu học sinh tính 2

BC và AB2  AC2. Nhận thấy BC2  AB2 AC2

Từ đó đưa ra định lý: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

- Bước 3: Củng cố định lý

Di chuyển một đỉnh C của tam giác ABC, làm độ dài các cạnh thay đổi. Nhưng ta vẫn luôn có 2 2 2

BC  AB  AC .

Hình 2.22

- Bước 4: Vận dụng định lý

Học sinh vận dụng định lý vào để giải các bài toán trong tam giác vuông. Yêu cầu học sinh thực hiên các ví dụ sau:

a) Cho ABC, có AB6cm AC, 8cm BC, 10cm. Tam giác ABC có là tam giác vuông không, nếu có thì vuông tại định nào.

b) Cho ABC vuông tại A, có AB6cm BC, 10cm. Tính độ dài cạnh AC ?

Ví dụ 2.9: ( Định lý 1 trang 54 – SGK hình học 7 tập 2) Dạy học quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP, giáo viên vẽ tam giác ABC có cạnh AC > AB. Thực hiện phép đo góc B và góc C như sau:

55

+) Chọn lần lượt 3 điểm A, C, B. Trong mục Measure chọn Anggle, ta được số đo góc C.

- Bước 2: Hình thành định lý

Yêu cầu học sinh quan sát và so sánh số đo góc B và góc C, thấy B C. Mà góc B đối diện với cạnh AC, góc C đối diện với cạnh AB.

Hình 2.23

Từ đó suy ra nội dung định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

- Bước 3: Củng cố định lý

Giáo viên thực hiên di chuyển một đỉnh bất kì của tam giác làm độ dài các cạnh thay đổi và độ lớn các góc đối diện cũng thay đổi theo. Nhưng vẫn đúng với nội dung định lý. Từ đó khẳng định thêm tính đúng cho định lý.

- Bước 4: Vận dụng định lý

Học sinh tiếp thu và ghi nhớ định lý để giải các bài toán so sánh độ lớn của các góc khi biết độ dài các cạnh đối diện của chúng.

Yêu cầu học sinh thực hiện bài tập sau:

56

Hình 2.24

b) Cho ABC có BC. So sánh số đo hai cạnh AB AC, ?

Hình 2.25

Ví dụ 2.10: (Định lý 1 trang 61 – SGK hình học 7 tập 2) Dạy học bất đẳng thức trong tam giác.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP, giáo viên vẽ tam giác ABC bất kì. Thực hiện phép đo tính độ dài các cạnh AB, BC, AC.

+) Chọn cạnh AB. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài cạnh AB. +) Chọn cạnh BC. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài cạnh BC. +) Chọn cạnh AC. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài cạnh AC.

57

Hình 2.26

- Bước 2: Hình thành định lý.

+) Khi có độ dài các cạnh của tam giác. Yêu cầu học sinh so sánh:

ABAC và BC AB BC và AC ACBC và AB Thấy AB AC BC AB BC AC AC BC AB      

Từ đó rút ra định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

+) Tương tự, yêu cầu học sinh so sánh:

ACBC và AB

ACAB và BC

BCAB và AC Thấy

58 AC BC AB AC AB BC BC AB AC      

Từ đó rút ra hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

- Bước 3 : Củng cố định lý

Giáo viên thực hiên di chuyển một đỉnh bất kì của tam giác làm độ dài các cạnh bị thay đổi nhưng bất đẳng thức vẫn đúng.

Từ đó rút ra nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

- Bước 4: Vận dụng định lý

Học sinh ghi nhớ và tiếp thu kiến thức để vận dụng giải các bài tập.

Yêu cầu học sinh thực hiện ví dụ sau: Cho ba độ dài 2cm cm,4 ,8cm. Hỏi ba độ dài này có là độ dài ba cạnh của một tam giác không?

Ví dụ 2.11: ( Định lý trang 66 – SGK hình học 7 tập 2) Dạy học tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP, giáo viên vẽ tam giác ABC.

+) Dựng trung điểm các cạnh của tam giác:

• Chọn cạnh BC. Trong mục Construct chọn Midpoint, ta được trung điểm D của cạnh BC.

• Chọn cạnh AC. Trong mục Construct chọn Midpoint, ta được trung điểm E của cạnh AC.

• Chọn cạnh AB. Trong mục Construct chọn Midpoint, ta được trung điểm F của đoạn AB.

59

• Dựng đoạn thẳng AD, ta được đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. • Dựng đoạn thẳng BE, ta được đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B. • Dựng đoạn thẳng CF, ta được đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C. +) Dựng giao điểm của các đường trung tuyến:

• Chọn hai đoạn thẳng AD và BE. Trong mục Construct chọn Intersection, ta được giao diểm của hai đường thẳng, gọi giao điểm đó là G.

• Chọn hai đoạn thẳng AD và CF. Trong mục Construct chọn Intersection, ta được giao điểm của hai đoạn thẳng đó cũng chính là điểm G.

Hình 2.27

- Thực hiện phép đo để đo độ dài các đường trung tuyến và khoảng cách từ trọng tâm G tới các đỉnh của tam giác như sau:

+ Đo độ dài các đường trung tuyến:

• Chọn đoạn thẳng AD. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài đoạn AD. • Chọn đoạn thẳng BE. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài đoạn BE. • Chọn đoạn thẳng CF. Trong mục Measure chọn Length, ta được độ dài đoạn CF. + Đo khoảng cách từ trọng tâm G tới các đỉnh của tam giác:

• Chọn 2 điểm A và G. Trong mục Measure chọn Distance, ta được khoảng cách từ G đến đỉnh A ( hay độ dài đoạn AG ).

60

• Chọn 2 điểm B và G. Trong mục Measure chọn Distance, ta được khoảng cách từ G đến đỉnh B ( hay độ dài đoạn BG ).

• Chọn 2 điểm C và G. Trong mục Measure chọn Distance, ta được khoảng cách từ G đến C ( hay độ dài đoạn CG ).

- Bước 2: Hình thành định lý

Di chuyển một đỉnh bất kì của tam giác, ta thấy ba đường trung tuyến vẫn giao nhau tại một điểm.

Hình 2.28

Từ đó rút ra: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một đỉểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

Yêu cầu học sinh tính các tỉ số GA, GB, GC

DA EB FC Nhận thấy 2 3 GA GB GC DA  EB  FC 

Từ đó rút ra: Trọng tâm G cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến

đi qua đỉnh ấy.

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách

mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

61 - Bước 3: Củng cố định lý

Giáo viên thực hiện di chuyển một đỉnh bất kỳ của tam giác làm các đường trung tuyến thay đổi nhưng vẫn đi qua 1 điểm và vẫn đúng với nội dung định lý. Khẳng định thêm tính đúng cho định lý.

- Bước 4: Vận dụng định lý

Học sinh tiếp thu và ghi nhớ định lý để vận dụng vào giải bài tập liên quan đến đường trung tuyến.

Ví dụ 2.12: ( Định lý 1 trang 68 – SGK hình hoc 7 tập 2) Dạy học tính chất tia phân giác của một góc.

Hướng dẫn

- Bước 1: Tiếp cận định lý

Trên màn hình GSP, giáo viên vẽ góc xOy. Dựng tia phân giác của góc và tính khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác đến hai đường thẳng Ox, Oy.

+ Dựng tia phân giác của góc xOy:

• Chọn lần lượt một điểm trên Ox, diểm O và một điểm trên Oy.

• Trong mục Construct chọn Angle Bisector, ta được tia phân giác của góc xOy. • Chọn một điểm M bất kì trên tia phân giác.

+) Dựng đường vuông góc từ M lên Ox, Oy:

• Chọn điểm M và tia Ox. Trong mục Construct chọn Perpendicular Line, ta được đường thẳng a qua M và vuông góc với Ox.

• Chọn điểm M và tia Oy. Trong mục Construct chọn Perpendicular Line, ta được đường thẳng b qua M và vuông góc với Oy.

+ Tính khoảng cách từ M đến Ox, Oy.

• Chọn đường thẳng a và tia Ox. Trong mục Construct chọn Intersection, ta được giao