Dạy học khám phá định lý

Phần III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.2. Tổ chức dạy học khám phá một số tình huống dạy học chủ đề Phƣơng

2.2.2. Dạy học khám phá định lý

Theo Nguyễn Bá Kim [22-tr31]: “ Trong việc dạy học những định lí toán học, ngƣời ta phân biệt hai con đƣờng: con đƣờng có khâu suy đoán và con đƣờng suy diễn. Hai con đƣờng này đƣợc minh họa bằng sơ đồ dƣới đây.

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đƣờng đó là ở chỗ: theo con đƣờng có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trƣớc việc chứng minh định lí, còn ở con đƣờng suy diễn thì hai việc này nhaajplaji thành một bƣớc.

Dƣới đây là sẽ đi sâu vào từng con dƣờng.

Việc dạy học định lí theo con đƣờng có khâu suy đoán thƣờng diễn ra nhƣ sau:

(i) Gợi đông cơ học tập định lí xuất phát từ một nhƣ cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.

(ii) Sự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phƣơng pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngƣợc vấn đề, tƣơng tự hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trƣờng hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,…

(iii) Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý,việc gợi động cơ chứng

minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phƣơng pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận lôgic thƣờng dùng , những điều này sẽ đƣợc trình bày chi tiết trong mục 2.4

Tùy theo yếu cầu chƣơng trình, trong những trƣờng hợp nhất định, việc chứng minh một số định lí có thể không dặt ra cho chƣơng trình phổ thông.

(iv) Vận dụng định lí vừa tìm đƣợc để giải quyết, khép kín vận đề đặt ra khi

gợi động cơ.

(v) Củng cố định lí, trình bày chung cho cả hai con đƣờng trong mục 2.3

điểm sau đay:

• Khuyến khích tìm tòi, dự đoán phát hiện vấn đềtrƣớc khi giải quyết vấn đề, khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát truyển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn.

• Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phần biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh.

• Khuyến khích phát truyển năng lực trí tuệ chung nhƣ phân tích,tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,…

Con đƣờng này thƣờng đƣợn sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu đƣợc và có thể tự mình thực hiện đƣợc tới mức độ nhất định. Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao gờ cũng đƣợc thảo mãn. Vì vậy, còn phải sử dụng cả con đƣờng thứ hai dƣới đây khi cần thiết.

Con đường suy diễn

Việc dạy học định lí theo con đƣờng suy diễn thƣờng diễn ra nhƣ sau:

(i) Gợi động cơ học tập định lí nhƣ ở con đƣờng thứ nhất.

(ii) Xuất phát từ những tri thức toán học đã biệt, dùng suy diễn lôgic

dẫn tới định lí. (iii) Phát biểu định lí.

(iv) Vận dụng định lí, giống nhƣ ở con đƣờng có khâu suy đoán.

(v) Củng cố định lí

Những hoạt động củng cố định lí

Việc dạy học một định lí chƣa kết thúc ngaykhi phát biểu và chứng minh xong định lí; bƣớc tƣờng đƣợc thực hiện bằng các hoạt động sau:

• Nhật dạng và thể hiện định lí. • Hoạt động ngôn ngữ;

•Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa định lí.”

Dạy học định lý theo định hướng khám phá

Trong các con đƣờng dạy học định lý nêu trên, thì con đƣờng có khâu suy đoán là phù hợp với phƣơng pháp dạ học khám phá.

dương khác 1 và b, c là các số dương, ta có loga bc log b log ca  a

Hình thành định lý bằng dạy học khám phá thông qua các hoạt động sau đây:

Hoạt động 1: Gợi động cơ tiếp cận định lý

Giáo viên đƣa ra bài toán gợi mở vấn đề dẫn đến định lý nhƣ sau:

Bài toán: Hãy tính và so sánh log 8.162  và log 8 log 162  2

Học sinh tính toán và nhận thấy log 8.162 log 1282 7 và

log 8 log 162  2   3 4 7 từ đó học sinh sẽ suy ra log 8.162 log 8 log 162  2

Hoạt động 2: Quan sát, làm bộc lộ quy luật của đối tượng

Giáo viên tiếp tục mời từng nhóm đƣa thêm các ví dụ tƣơng tự. Từ đó học sinh nhận thấy rằng dù thay đổi cơ số hay thay đổi hai thừa số của phần biểu thức sau dấu logarit thì logarit của một tích hai số bằng tổng các logarit của từng thừa số trong tích.

Tiếp đó giáo viên yêu cầu học sinh tiếp tục đƣa ra một ví dụ nhƣ trên nhƣng trong biểu thức sau dấu logarit sẽ là tích của ba hay nhiều thừa số. Từ đó học sinh sẽ nhận ra nội dung của định lý này.

Hoạt động 3: Dự đoán, phát biểu định lý và thể chế hóa kiến thức

Học sinh sẽ dự đoán định lý nhƣ sau: Định lý: log bca log b log ca  a (với a là số dương khác 1 và b, c là các số dương)

Giáo viên đặt câu hỏi: Điều kiện của các số a, b, c trong bài toán để làm gì?

Khi đó học sinh trả lời: Điều kiện sẽ làm cho logarit có nghĩa.

Tiếp theo ta đi chứng minh định lý trên. Giáo viên sẽ gợi ý việc ta sẽ sử dụng tính chất của lũy thừa cơ số a để chứng minh và mời học sinh lên bảng chứng minh nhƣ sau:

  loga bc log b log ca a  log ba log ca

a a a

log bc log b log c a a  bca .a bcbc (luôn

đúng)

Cuối cùng giáo viên sẽ chính xác hóa định lý và cho học sinh tổng quát hóa định lý trên với n số.

Để củng cố và vận dụng định lý trên giáo viên có nhiều dạng bài tập để đƣa ra, trong luận văn này chúng tôi chỉ đƣa ra các dạng bài về giải phƣơng trình, cụ thể nhƣ sau

Giáo viên cho học sinh tìm hiểu bài toán: Giải phương trình

 

2 2

log x log x 1 1

Giáo viên đặt câu hỏi: Dựa vào công thức vừa học em hãy biến đổi biểu thức vế trái?

Học sinh trả lời:      2 

2 2 2 2

log x log x 1 log x x 1 log x x

Từ đó giáo viên mời học sinh lên bảng hoàn thiện bài toán:

 

2 2

log x log x 1 1 điều kiện x 0 x 1 x 1 0



     



Phương trình log x log2  2x 1   1 log2x x 1  1

 2  2 1 2 2 log x x 1 x x 2 x 2 (tm) x x 2 0 x 1 (ktm)                 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2

Ví du 2.4: Dạy học định lý về công thức đổi cơ số: Định lý: Với a, b là hai số dương

khác 1 và c là số dương, ta có log b.log ca b log ca

Dạy học định lý trên theo định hƣớng khám phá qua các hoạt động dƣới đây:

Hoạt động 1: Gợi động cơ tiếp cận định lý

Giáo viên đƣa ra bài toán gợi mở vấn đề dẫn đến định lý nhƣ sau:

Bài toán: Hãy tính và so sánh log 8.log 642 8 và log 642

Học sinh tính toán và nhận thấy log 8.log 642 8 3.26 và log 642 6 từ đó học sinh sẽ suy ra log 8.log 642 8 log 642

Hoạt động 2: Quan sát, làm bộc lộ quy luật của đối tượng

Giáo viên tiếp tục mời từng nhóm đƣa thêm các ví dụ tƣơng tự. Từ đó học sinh nhận thấy rằng dù thay đổi cơ số hay thay đổi số lấy logarit thì ta vẫn luôn có

a b a

Hoạt động 3: Dự đoán, phát biểu định lý và thể chế hóa kiến thức

HS sẽ dự đoán định lý nhƣ sau: Định lý: Với a, b là hai số dương khác 1 và c là số dương, ta có log b.log ca b log ca

Giáo viên đặt câu hỏi: Điều kiện của các số a, b, c trong bài toán để làm gì?

Khi đó học sinh trả lời: Điều kiện sẽ làm cho logarit có nghĩa.

Tiếp theo ta đi chứng minh định lý trên. Giáo viên sẽ gợi ý việc ta sẽ sử dụng

đặc điểm sau của lũy thừa để chứng minh đó là log cb

cb . Giáo viên mời học sinh

lên bảng chứng minh nhƣ sau:  log cb 

a a b a a b

log clog b log c.log clog c.log c

Cuối cùng giáo viên sẽ chính xác hóa lại nội dung định lý và nhận xét thêm

do 0 b 1 nên log ba 0. Từ đó công thức đƣợc biến đổi thành a

b a log c log c log b 

Giáo viên có thể để ngỏ cho học sinh về nhà tìm hiểu xem công thức

a b a

log b.log clog c có thể phát triển thành tích của nhiều phép toán logarit không?

Hoạt động 4: Củng cố và vận dụng định lý

Trong phần củng cố và vận dụng định lý, giáo viên có thể đƣa ra nhiều tình huống gợi mở nhƣ sau:

Tình huống 1: Từ công thức trên nếu cho c = a các em sẽ thu đƣợc công thức mới nào không?

Học sinh sẽ thử và có câu trả lời: a

b

a a

log a 1

log a

log b log b

  hay log b.log aa b 1

Tình huống 2: Nếu n

ba với n0 thì ta sẽ thu đƣợc công thức nào?

Học sinh sẽ tìm ra công thức: n a a a n a a log c log c 1 log c log c log a n n   

Sau đó giáo viên sẽ cho học sinh làm thêm một số bài tập để vận dụng các công thức trên

Bài toán: Giải phương trình  2 

2 1

2 1

log log x x 1

x   

Giáo viên sẽ gởi mở cho học sinh nhƣ sau: Các em hãy cho biết 1

x viết dưới dạng lũy thừa như thế nào? Qua đó các em hãy vận dụng công thức vừa học để biến

đổi vế trái của phương trình sao cho 2 vế có cùng cơ số? Học sinh trả lời:   1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1

x log log x 1 log x log x log x

x x 

 

      

Từ đó ohojc sinh sẽ tìm ra cách giải của bài toán. Giáo viên mời một học sinh lên bảng và các học sinh còn lại giải trong vở sau đó trao đổi kết quả với nhau.