CHƢƠNG 2 : KỸ THUẬT TẠO ẢNH SIÊU ÂM CẮT LỚP
4.4. Phƣơng pháp lặp vi phân Born kết hợp với kỹ thuật lấy mẫu nén giả ngẫu
đầu Một sự thay đổi nhỏ của sẽ gây ra sự thay đổi lớn trong khoảng thời gian tƣơng đối ngắn. Thơng tin chi tiết về việc xây dựng ̅ từ cĩ thể tham khảo từ cơng trình [39]. Cuối cùng, ta sử dụng các giải thuật xấp xỉ thƣa để khơi phục ảnh.
4.4. Phƣơng pháp lặp vi phân Born kết hợp với kỹ thuật lấy mẫu nén giả ngẫu nhiên ngẫu nhiên
Giả sử rằng, chúng ta cĩ Nt×Nr đầu dị, trong đĩ Nt là số máy phát và Nr
là số máy thu (do đĩ, chúng ta cĩ Nt×Nr phép đo). Chúng ta cần khơi phục hàm mục tiêu lý tƣởng, nĩ đƣợc chia thành N điểm ảnh theo chiều dọc và chiều ngang, tức là N2 biến.
Nếu Nt×Nr lớn hơn N2, số phƣơng trình sẽ lớn hơn số biến. Đây là bài tốn “over-determinded problem và nghiên cứu sinh gọi đây là trƣờng hợp thu thập lƣợng thơng tin tán xạ lớn. Ở cấu hình này, lƣợng thơng tin tán xạ xung quanh đối tƣợng lớn, từ đây chúng ta cĩ thể tính tốn và khơi phục dễ dàng hàm mục tiêu lý tƣởng. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp này, chúng ta cần một lƣợng lớn số máy phát và máy thu; điều này sẽ làm cho hệ thống đo phức tạp hơn nhiều về mặt thiết lập cấu hình đo và cần nhiều thời gian để xử lý thơng tin và khơi phục ảnh. Do đĩ, cấu hình này ít đƣợc sử dụng trong thực tế.
Nếu Nt×Nr xấp xỉ hoặc bằng N2, tức là số phƣơng trình bằng số biến, chúng ta cĩ thể tính tốn và khơi phục hàm mục tiêu dễ dàng, và nghiên cứu sinh gọi đây là trƣờng hợp thu thập lƣợng thơng tin tán xạ trung bình. Tuy nhiên, trong thực tế, chúng ta cần khơi phục ảnh chất lƣợng cao, nghĩa là N2
lớn. Do đĩ, trong tình huống này, chúng ta vẫn cần một lƣợng khá lớn đầu dị để cĩ đủ phép đo nhằm khơi phục ảnh chính xác.
Nếu Nt×Nr nhỏ hơn N2, tức là số phƣơng trình nhỏ hơn số biến, đây là bài tốn “under-determinded problem . Về nguyên lý, khi số phƣơng trình nhỏ hơn số biến, chúng ta khơng thể cĩ đƣợc lời giải chính xác; chúng ta cần sử dụng các phƣơng pháp xấp xỉ. Khi Nt×Nr nhỏ hơn nhiều so với N2, nghiên cứu sinh gọi đây là trƣờng hợp thu thập lƣợng thơng tin ít. Nghiên cứu sinh gọi tỷ số giữa Nt×Nr và N2 là tỷ số nén r trong đĩ:
(4.10) Rõ ràng là trong bài tốn thu thập lƣợng thơng tin tán xạ nhỏ, chúng ta cĩ r < 1. Khi r nhỏ, hệ đo sẽ đơn giản và dữ liệu thu thập đƣợc cĩ kích thƣớc nhỏ; do đĩ, việc thiết lập hệ thống và tính tốn sẽ ít phức tạp. Vì vậy, nghiên
cứu sinh tập trung nghiên cứu trƣờng hợp giá trị r nhỏ nhất mà vẫn đảm bảo
chất lƣợng khơi phục ảnh cĩ thể chấp nhận đƣợc. Với giá trị này, hệ thống tạo ảnh của nghiên cứu sinh là đơn giản nhất.
Trong luận án này, nhƣ đƣợc biểu diễn trong Hình 4.6, nghiên cứu sinh đề xuất sử dụng cấu hình đo với vị trí của các máy thu đƣợc thiết lập theo kiểu lấy mẫu thiếu giả ngẫu nhiên và số máy thu nhỏ hơn so với cấu hình đo truyền thống. Bởi vậy, ta cĩ thể giảm thiểu số phép đo, và do đĩ, giảm thiểu độ phức tạp tính tốn. Tuy nhiên, cấu hình đo đề xuất vẫn duy trì đƣợc chất lƣợng khơi phục ảnh so với cấu hình đo truyền thống. Chú ý rằng, vị trí của các máy phát vẫn đƣợc bố trí ở các khoảng cách đều nhau nhƣ trong cấu hình đo truyền thống.
Quy trình thực thi của phƣơng pháp truyền thống đƣợc thể hiện ở Hình 4.1. Đầu vào ở đây là hàm mục tiêu lý tƣởng và đầu ra là hàm mục tiêu khơi phục. Trong phƣơng pháp này, ta sử dụng cấu hình đo cĩ các vị trí máy phát và máy thu đƣợc bố trí cách đều nhau, và sau đĩ, hàm mục tiêu lý tƣởng đƣợc
khơi phục sử dụng chuẩn tắc Tikhonov. Trong phƣơng pháp lặp vi phân Born, hàm Green đƣợc update trong từng vịng lặp, bởi vậy, ƣu điểm của phƣơng pháp này là cĩ tốc độ hội tụ nhanh hơn phƣơng pháp lặp Born. Nhƣng, nhƣợc điểm của nĩ là bị ảnh hƣởng nhiều bởi nhiễu.
Hình 4.1. Quy trình thực thi của phƣơng pháp truyền thống
Hình 4.2. Quy trình thực thi của phƣơng pháp đề xuất
Quy trình thực thi của phƣơng pháp đề xuất đƣợc thể hiện ở Hình 4.2. Trong phƣơng pháp này, ta sử dụng cấu hình đo cĩ các vị trí máy phát đƣợc bố trí cách đều nhau và các vị trí máy thu đƣợc bố trí theo kiểu DCS (Deterministic Compressed Sensing). Sau đĩ, hàm mục tiêu lý tƣởng đƣợc khơi phục sử dụng kỹ thuật xấp xỉ thƣa, chẳng hạn nhƣ l1 optimization hay greedy algorithms. Ƣu điểm của phƣơng pháp này là cĩ tốc độ hội tụ nhanh, ít bị ảnh hƣởng bởi nhiễu, nhƣng thời gian tạo ảnh kéo dài. Việc khơi phục chính xác tín hiệu của kỹ thuật CS đƣợc đảm bảo nếu miền thƣa khơng liên quan đến miền lấy mẫu [17], [18]. Trong cơng trình [88], các tác giả đã so sánh tính hiệu quả của các phƣơng pháp khơi phục tín hiệu thƣa, cụ thể là l1-
LSP, MOSEK, PDCO-CHOL, PDCO-LSQR, -MAGIC, HOMOTOPY, và
MOSEK. Các kết quả đã chỉ ra rằng, phƣơng pháp l1-LSP thực hiện tốt hơn
các phƣơng pháp khác bởi việc khơi phục nhanh và độ phức tạp tính tốn thấp. Hơn nữa, phƣơng pháp này cũng hoạt động hiệu quả trong bài tốn “large dense problems . Dựa vào các kết quả trên, phƣơng pháp DBIM cĩ thể đƣợc ứng dụng khơng chỉ để phát hiện các đối tƣợng nhỏ (nhƣ ung thƣ vú), mà cịn ứng dụng trong các bài tốn khác quy mơ lớn hơn. Do đĩ, trong luận án này, nghiên cứu sinh sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất dựa chuẩn tắc l1 (l1-LSP) [88] để khơi phục hàm mục tiêu lý tƣởng.
Phƣơng pháp l1-LSP giải quyết các vấn đề bình phƣơng nhỏ nhất dựa vào chuẩn tắc l1 sử dụng phƣơng pháp “truncated Newton interior-point method và đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
‖ ̅ ̅ ̅‖ ‖ ̅‖ , (4.11)
trong đĩ ̅ là ma trận dữ liệu ở dạng dày đặc hoặc thƣa cĩ n cột và m dịng; ̅ là véctơ cĩ chiều dài n; ̅ là véctơ cĩ chiều dài m. Trong phƣơng pháp DCS- DBIM, ̅, ̅, ̅ tƣơng ứng là ̅̅̅̅, ̅, ̅ . Chú ý rằng, kích thƣớc của ̅̅̅̅
phụ thuộc vào số máy phát ( ), số máy thu ( ) và số biến ( ). Do đĩ, nĩ
sẽ thay đổi trong các kịch bản khác nhau. Trong phƣơng pháp DCS-DBIM, chuẩn tắc l1 đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
̅
̅ ‖ ̅ ̅̅̅̅ ̅‖ ‖ ̅‖ (4.12)
trong đĩ là tham số chuẩn tắc trong bài tốn l1. Việc lựa chọn tham số chuẩn tắc rất quan trọng. Nĩ cĩ ảnh hƣởng lớn đến chất lƣợng khơi phục ảnh. Khi lớn, thì ảnh khơi phục đƣợc trở nên thơ. Và khi nhỏ, thì độ phức tạp tính tốn sẽ cao. Chú ý rằng, ma trận giải ngƣợc ̅̅̅̅ bị thay đổi ở mỗi vịng lặp. Trong thực tế, ở phƣơng pháp DBIM, hàm Green đƣợc cập nhật ở mỗi vịng
lặp; do đĩ, các ma trận ̅ và ̅ cũng bị thay đổi, làm cho ̅̅̅̅ cũng bị thay đổi ở mỗi vịng lặp. Trong phƣơng pháp đề xuất này, tham số chuẩn tắc cũng thay đổi ở mỗi vịng lặp. Nĩ đƣợc lựa chọn nhƣ là một hàm của sai số thuận (forward error). Trong quá trình tính tốn, thƣơng số Rayleigh đƣợc lặp một cách đệ quy; ta cĩ thể ƣớc tính giá trị σ0 (giá trị kỳ dị đầu tiên của ma trận giải ngƣợc ̅̅̅̅); sau đĩ, đƣợc lựa chọn nhƣ trong cơng trình [82]. Trong kịch bản mơ phỏng này, giá trị ở vịng lặp đầu tiên đƣợc tính tốn là 10-15
.
Quy trình của phƣơng pháp DCS-DBIM đƣợc trình bày trong Giải thuật 4.1.
Giải thuật 4.1. Phƣơng pháp DBIM kết hợp kỹ thuật lấy mẫu nén giả ngẫu nhiên (DCS-DBIM)
Thiết lập cấu hình đo cĩ các vị trí máy phát đƣợc bố trí cách đều nhau và các vị trí máy thu đƣợc bố trí kiểu DCS
Chọn các giá trị khởi tạo: ̅ = ̅ và sử dụng (2.13)
For , do 1. Tính tốn ̅ và ̅ 2. Tính tốn ̅ ̅ tƣơng ứng với ̅ sử dụng (2.6, 2.7) 3. Tính tốn ̅ sử dụng (2.9) 4. Tính tốn ̅ sử dụng chuẩn tắc l1-LSP (4.12) 5. Tính tốn ̅ ̅ ̅ End For 4.5. Mơ phỏng số
Tần số sĩng tới, f = 1MHz, đƣợc lựa chọn tham khảo từ kết quả thực nghiệm trƣớc [81]. Chúng ta biết rằng, tốc độ hội tụ của phƣơng pháp DCS- DBIM phụ thuộc vào sai số khơi phục cho phép. Nếu sai số lớn, tốc độ hội tụ
sẽ nhanh; nĩ sẽ làm chậm quá trình khơi phục ảnh khi sai số nhỏ đi. Trong bất kỳ trƣờng hợp nào, sau một vài vịng lặp, lỗi chuẩn hĩa sẽ đạt đến một mức thềm. Nếu chúng ta muốn làm giảm giá trị thềm này, sự biến dạng cho phép của ảnh khơi phục trong giải thuật l1 phải giảm đi. Điều này sẽ làm cho quy trình tính tốn phức tạp hơn và kết quả là thời gian tạo ảnh sẽ kéo dài.
Tốc độ lan truyền thực của sĩng siêu âm trong mơi trƣờng vú phụ nữ nằm trong khoảng từ 1350 m/s đến 1600 m/s (trong mơi trƣờng nền khoảng 1484 m/s) [40], tức là, độ chệnh lệch tốc độ truyền âm trong vú phụ nữ nằm trong khoảng từ 0% đến 15.6%. Do đĩ, trong luận án này, nghiên cứu sinh lựa chọn độ chênh lệch tốc độ truyền âm 5% là hợp lý.
Hạn chế chủ yếu của phƣơng pháp DBIM là vấn đề phân kỳ sẽ xảy ra khi
độ lệch pha , trong đĩ ( ) [57]. Do đĩ, tần số sĩng
tới phải thỏa mãn .
Dựa trên các phân tích trên, trong kịch bản mơ phỏng, nghiên cứu sinh
lựa chọn các tham số mơ phỏng nhƣ sau: Tần số f = 1 MHz; Tổng số vịng lặp
Nsum = 8; N = 21 (tức là, số biến bằng N2 = 21×21 = 441); Đƣờng kính đối tƣợng = 7.3 mm; Sự thay đổi tốc độ truyền âm 5%; Tỷ số tín hiệu trên nhiễu SNR = 20 dB; Khoảng cách từ máy phát, máy thu đến tâm đối tƣợng là 100 mm. Chƣơng trình mơ phỏng số đƣợc sử dụng là Matlab chạy trên máy PC cĩ cấu hình là Bộ xử lý Intel core i3 và RAM 2 GB.
Dựa vào các yếu tố đánh giá về ƣu nhƣợc điểm giữa hai mơ hình nhƣ chất lƣợng tạo ảnh, hiệu suất tạo ảnh, tốc độ hội tụ, thời gian tạo ảnh, nhiễu, nên trong phần phân tích kết quả mơ phỏng, nghiên cứu sinh đã bám sát vào các yếu tố trên để bình luận, làm rõ kết quả nghiên cứu.
4.5.1. Đánh giá hiệu suất của phƣơng pháp DCS-DBIM và DBIM
Trong hệ thống tạo ảnh siêu âm cắt lớp, thì hiệu suất là một thƣớc đo về kỳ vọng của ngƣời đánh giá về ma trận ảnh dữ liệu đầu ra so với ma trận ảnh dữ liệu đầu vào trong hệ thống tạo ảnh. Cơng thức tính hiệu suất khơi phục của hệ thống tạo ảnh đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
[ ∑ ∑| ̂ | | | ] (4.13)
trong đĩ ̂ lần lƣợt là giá trị độ lớn của điểm ảnh ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận dữ liệu ảnh gốc và ảnh khơi phục đƣợc cĩ kích thƣớc là .
Hình 4.3 biểu thị hàm mục tiêu lý tƣởng nhƣ đƣợc mơ tả trong
phƣơng trình (2.5). Đối tƣợng đƣợc đặt tại tâm vùng chia lƣới với các trục X
và Y đƣợc chia theo các điểm ảnh. Hình 4.4 biểu diễn cấu hình đo truyền thống gồm vị trí các máy phát và máy thu đƣợc bố trí cách đều nhau trong trƣờng hợp Nt = Nr = 22. Hình 4.5 biểu diễn biểu đồ vị trị các máy thu bố trí cách đều nhau xung quanh vịng trịn trên hệ đo trong trƣờng hợp Nr = 22. Hình 4.6 biểu thị cấu hình đo đề xuất gồm vị trí các máy phát đƣợc bố trí cách đều nhau và vị trí các máy thu đƣợc bố trí theo phƣơng pháp lấy mẫu nén giả ngẫu nhiên (DCS) trong trƣờng hợp Nt = Nr = 16.
Để định lƣợng đƣợc tính hiệu quả của phƣơng pháp đề xuất, nghiên cứu sinh thu thập hàm mục tiêu lý tƣởng thơng qua các vịng lặp. Sau đĩ, sai số ở ảnh khơi phục đƣợc xác định và so sánh với ảnh gốc ở từng vịng lặp. Giả sử rằng ̅ là ảnh gốc cĩ kích thƣớc V×W (tức là hàm mục tiêu lý tƣởng) và ̅̂ là ảnh khơi phục. Lỗi chuẩn hĩa đƣợc tính tốn sử dụng cơng thức (3.3).
Hình 4.3. Hàm mục tiêu lý tƣởng (N = 21)
Hình 4.4. Cấu hình đo truyền thống: Vị trí các máy phát và máy thu đƣợc bố trí cách đều nhau (Nt = Nr = 20, = 0.826) Số điểm ảnh So á đ ie åm a ûnh 5 10 15 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Trục x (m) Tr ục y (m ) Máy thu Máy phát Đối tượng
Hình 4.5. Biểu đồ vị trí các máy thu bố trí cách đều nhau xung quanh vịng trịn (Nr = 20)
Hình 4.6. Cấu hình đo đề xuất: Vị trí các máy phát đƣợc bố trí cách đều nhau và máy thu đƣợc bố trí kiểu DCS (Nt = Nr = 16, = 0.581)
0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Trục x (m) Tr ục y (m ) Máy thu Máy phát Đối tượng
Hình 4.7. Biểu đồ vị trí các máy thu bố trí kiểu DCS xung quanh vịng trịn (Nr = 16)
Bảng 4.1 biểu thị lỗi chuẩn hĩa và thời gian tạo ảnh của phƣơng pháp
DBIM và DCS-DBIM qua các vịng lặp với số máy phát (Nt) và máy thu (Nr)
khác nhau. Từ các kết quả mơ phỏng này, chúng ta cĩ thể quan sát rằng, sau
Nsum vịng lặp, trong một số trƣờng hợp, thời gian tạo ảnh của phƣơng pháp DCS-DBIM khá lớn hơn so với phƣơng pháp DBIM. Cái giá phải trả cho việc thực thi dễ dàng và phần cứng ít phức tạp hơn của giải pháp mới DCS-DBIM chính là thời gian tạo ảnh dài so với kỹ thuật truyền thống; tuy nhiên, trong tạo ảnh siêu âm, kỹ thuật xử lý hàng loạt (batch processing) sẽ chỉ kéo dài vài phút, do đĩ, thời gian tạo ảnh kéo dài của phƣơng pháp DCS-DBIM ảnh hƣởng khơng đáng kể so với tính hiệu quả của phƣơng pháp này trong thực tế.
Với lỗi chuẩn hĩa sau Nsum vịng lặp, chất lƣợng khơi phục ảnh của
phƣơng pháp DCS-DBIM kém hơn phƣơng pháp DBIM khi và tốt
hơn đáng kể so với phƣơng pháp truyền thống khi . Trong trƣờng hợp , mặc dù chất lƣợng khơi phục ảnh khơng tốt bằng phƣơng pháp truyền thống, nhƣng nĩ vẫn khơi phục thành cơng hàm mục tiêu lý tƣởng khi
0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
rất nhỏ (trong trƣờng hợp = 0.082 và 0.145). Trong khi đĩ, phƣơng pháp truyền thống khơng thể khơi phục đƣợc hàm mục tiêu lý tƣởng (tức là NaN trong Bảng 4.1). Trong trƣờng hợp , chất lƣợng khơi phục của phƣơng pháp đề xuất tốt hơn nhiều so với phƣơng pháp truyền thống. Nghiên cứu sinh tập trung xem xét trƣờng hợp khả dụng trong thực tế mà nĩ cho hiệu suất tốt nhất với một lƣợng nhỏ phép đo. Do đĩ, nghiên cứu sinh quan tâm đến trƣờng hợp (tức là 324 phép đo). Trong trƣờng hợp này, phƣơng pháp đề xuất cho hiệu suất tốt hơn nhiều so với phƣơng pháp truyền thống nhƣ đƣợc thể hiện trong Hình 4.8.
Hình 4.8. So sánh hiệu suất khơi phục thành cơng của phƣơng pháp truyền thống và phƣơng pháp đề xuất
1 2 3 4 5 6 7 8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Số vòng lặp H ie äu s ua át k ho âi p hu ïc t ha ønh c ôn g
DBIM với 324 phép đo DCS-DBIM với 324 phép đo
Hình 4.9 trình bày lỗi chuẩn hĩa theo vịng lặp sử dụng phƣơng pháp DCS-DBIM (trong trƣờng hợp Nt = Nr = 16, tức là số phép đo = 16×16 = 256) so với phƣơng pháp DBIM truyền thống (trong trƣờng hợp Nt = Nr = 22, tức là số phép đo = 22×22 = 484). Mặc dù số phép đo của phƣơng pháp DCS- DBIM xấp xỉ bằng một nửa số phép đo đƣợc sử dụng trong phƣơng pháp DBIM, cả hai phƣơng pháp đều cho chất lƣợng khơi phục ảnh tƣơng đƣơng sau bƣớc lặp thứ 6. Với cùng lỗi chuẩn hĩa, trong phƣơng pháp DCS-DBIM, nghiên cứu sinh chỉ cần 3 vịng lặp; trong khi đĩ, trong phƣơng pháp DBIM,