CHƢƠNG 2 : KỸ THUẬT TẠO ẢNH SIÊU ÂM CẮT LỚP
2.2. Phƣơng pháp lặp vi phân Born –DBIM
Hình 2.1 minh họa việc thiết lập các máy phát và máy thu xung quanh đối tƣợng. Tín hiệu áp suất đƣợc phát ra từ máy phát sẽ lan truyền, tán xạ và đo đƣợc bởi các máy thu. Dữ liệu đo đƣợc sẽ đƣợc đƣa đến phƣơng pháp DBIM để ƣớc tính sự thay đổi tốc độ truyền âm. Sự thay đổi tốc độ âm sẽ đƣợc sử dụng để phát hiện bất kỳ mơ nào nếu chúng tồn tại.
Hình 2.1. Cấu hình đo hệ thống tạo ảnh siêu âm cắt lớp
đƣợc nhúng vào mơi trƣờng này. Mục đích của phƣơng pháp DBIM là phát hiện các u là trong giai đoạn đầu phát triển. Do đĩ, sự thay đổi tốc độ truyền âm so với mơi trƣờng nền thƣờng rất nhỏ (trong kịch bản mơ phỏng, Δc đƣợc lựa chọn chỉ khoảng vài phần trăm).
Phƣơng pháp DBIM đƣợc ứng dụng rộng rãi cho việc phát hiện các u lạ trong vú phụ nữ, do đĩ, ngƣời ta bố trí cấu hình đo DBIM trịn, bao quanh đối tƣợng (trong kịch bản, đối tƣợng đặt tại tâm của hệ đo). Về nguyên lý, các máy phát, máy thu cĩ thể đƣợc bố trí phân bố đều, ngẫu nhiên, hoặc giả ngẫu nhiên trên cấu hình đo. Số lƣợng máy phát, máy thu tùy thuộc vào kịch bản, phù hợp với yêu cầu thực tế. Nếu chọn số máy phát, máy thu nhiều, hệ đo sẽ phức tạp hơn, nên số lƣợng tính tốn lớn và yêu cầu bộ nhớ để lƣu trữ và xử lý thơng tin lớn và ngƣợc lại. Vị trí máy phát, máy thu cĩ thể khác nhau hoặc trùng nhau. Tuy nhiên, với cơng nghệ đầu dị siêu âm hiện nay, một đầu dị cĩ thể vừa làm nhiệm vụ phát và thu tín hiệu siêu âm, nên vị trí các máy phát, máy thu cĩ thể trùng nhau.
Giả sử cĩ Nt máy phát và Nr máy thu. Nt máy phát đƣợc bố trí xung quanh vật thể, tức là ở các gĩc khác nhau quanh vật thể để quá trình phát-thu cĩ thể thu đƣợc thơng tin đầy đủ về vật thể. Quy trình phát, thu tín hiệu siêu âm đƣợc thực hiện nhƣ sau: Ban đầu, máy phát thứ nhất phát tín hiệu siêu âm (các máy phát cịn lại khơng hoạt động), tất cả máy thu (Nr) sẽ thu tín hiệu tán xạ siêu âm. Từ đĩ, ta đƣợc một tập giá trị đo ở vị trí thứ nhất của máy phát (tức là Nr phép đo). Tiếp theo, máy phát thứ hai bắt đầu hoạt động, và tất cả máy thu cũng thu đƣợc tín hiệu tán xạ ở vị trí thứ hai của máy phát, ta thu đƣợc tập giá trị đo thứ 2 (tức là 2×Nr phép đo). Quá trình cứ tiếp diễn nhƣ vậy cho đến máy phát cuối cùng (Nt). Nhƣ vậy, kết thúc quá trình đo, ta thu đƣợc Nt tập giá trị đo (tức là Nt × Nr phép đo). Cuối cùng, kết hợp Nt tập giá trị đo
đối tƣợng. Bởi vậy, theo quy trình phát thu sĩng siêu âm nhƣ trên, tại mỗi thời điểm xác định, chỉ cĩ một máy phát hoạt động, điều này tƣơng ứng với việc sử dụng đơn đầu dị trong việc phát sĩng siêu âm.
Hàm Bessel thƣờng đƣợc sử dụng trong mơ phỏng nhƣ là tín hiệu phát của máy phát tới các máy thu (gọi là sĩng tới, cĩ tần số f, bƣớc sĩng đƣợc tính theo cơng thức , trong đĩ là tốc độ truyền âm trong mơi trƣờng nền) [49]. Khi sĩng tới lan truyền trong mơi trƣờng: a) Nếu mơi trƣờng đồng nhất thì tín hiệu thu đƣợc ở máy thu chính là áp suất sĩng tới; b) Nếu mơi trƣờng khơng đồng nhất (cĩ chứa u lạ), khi sĩng tới gặp đối tƣợng, cĩ thể xảy ra các trƣờng hợp sau đây: Khi kích thƣớc đối tƣợng lớn hơn nhiều so với bƣớc sĩng của sĩng tới, thì tín hiệu siêu âm sẽ bị phản xạ; Khi kích thƣớc đối tƣợng nhỏ hơn hoặc bằng bƣớc sĩng tới, thì tín hiệu siêu âm sẽ bị tán xạ theo mọi hƣớng xung quanh đối tƣợng. Chú ý rằng, tần số siêu âm ứng dụng trong chẩn đốn lâm sàng nằm trong dải từ 20 KHz đến 12 MHz, nếu lấy tốc độ truyền âm trong mơi trƣờng nền là 1484 m/s, thì bƣớc sĩng khoảng từ 6.2 µm đến 74.2 mm.
Số sĩng trong mơi trƣờng nền và đối tƣợng tƣơng ứng là k0 và k(r). Phƣơng trình sĩng của hệ cĩ thể đƣợc biểu diễn bởi [54]:
⃗ ⃗ ⃗ (2.1)
trong đĩ ⃗ , ⃗ và p( ⃗) lần lƣợt là tín hiệu sĩng tán xạ, tín hiệu sĩng tới, tín hiệu sĩng tổng. Chú ý rằng, tín hiệu thu đƣợc ở máy thu chính là tín hiệu sĩng tổng, nĩ bằng tổng của tín hiệu sĩng tới và tín hiệu sĩng tán xạ. Cĩ thể thấy rằng, dữ liệu mà chúng ta biết đƣợc chính là tín hiệu sĩng tổng và sĩng tới. Tuy nhiên, điều mà chúng ta quan tâm là việc khơi phục đối tƣợng chƣa biết từ các dữ liệu đã cĩ. Đây chính là bài tốn ngƣợc. Theo cơng
trình [15], phƣơng trình vi phân của sĩng lan truyền trong mơi trƣờng khơng đồng nhất cĩ dạng
( ) (2.2)
Ta biết rằng, hàm Green là một giải pháp hữu hiệu trong việc giải phƣơng trình vi phân khơng đồng nhất. Do đĩ, trong cơng trình này, hàm Green đƣợc sử dụng để tìm ra mối quan hệ giữa tín hiệu sĩng tán xạ và đối tƣợng dựa vào tín hiệu sĩng tới và sĩng tổng đã biết. Mối quan hệ giữa chúng là phi tuyến.
Phƣơng trình (2.1) cĩ thể đƣợc viết lại chi tiết sử dụng hàm Green G0(·) [54]
⃗ ⃗ ∬ ⃗ ⃗⃗⃗ ( | ⃗ ⃗⃗⃗|) ⃗⃗⃗ (2.3)
Khi mơi trƣờng nền đồng nhất, G0 là hàm Hankel loại 1 bậc 0. ( | ⃗ ⃗⃗⃗|) ( | ⃗ ⃗⃗⃗|)
√ | ⃗ ⃗⃗⃗|
| ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗|
(2.4)
trong phƣơng trình (2.3) là hàm mục tiêu lý tƣởng cần đƣợc ƣớc tính. Nĩ cĩ thể đƣợc tính tốn nhƣ sau [54]:
{ ( )
(2.5)
trong đĩ là bán kính đối tƣợng khơng đồng nhất. Phƣơng trình (2.5) chỉ ra rằng, hàm mục tiêu lý tƣởng phụ thuộc vào tần số của sĩng tới ( ) và sự chênh lệch tốc độ sĩng của mơi trƣờng nền (c0) và hàm mục tiêu lý tƣởng (c). Để tính tốn chi tiết từng điểm ảnh bên trong vùng quan tâm, phƣơng
trình (2.3) cần đƣợc rời rạc hĩa bằng việc sử dụng phƣơng pháp moment (MoM). Phƣơng pháp này sử dụng hàm sinc cơ bản và hàm delta, để giải quyết vấn đề này.
Trƣớc hết, trƣờng áp suất tổng trong vùng chia lƣới (N×N điểm) cĩ thể
đƣợc biểu diễn bởi [54]:
̅ ( ̅ ̅ ̅ ) ̅ (2.6)
trong đĩ ̅ là ma trận cĩ các hệ số là hàm Green biểu thị sự tƣơng tác giữa các điểm ảnh, ̅ là ma trận đơn vị, và là tốn tử chéo hĩa. Tín hiệu áp suất tán xạ (cĩ kích thƣớc NtNr×1 bởi vì áp suất tán xạ biểu thị tín hiệu thu đƣợc nên đại lƣợng này phụ thuộc vào số phép đo NtNr) đƣợc biểu diễn bởi [54]:
̅ ̅ ̅ ̅ , (2.7)
trong đĩ ̅ là ma trận cĩ các hệ số là hàm Green biểu thị sự tƣơng tác của tất cả các điểm ảnh đến máy thu. Các thành phần của ma trận ̅ và ̅ đƣợc tính tốn nhƣ sau:
⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (2.8)
trong đĩ bmn( ⃗ là các hàm cơ bản (hàm sinc cơ bản và hàm delta) [54].
Chúng ta phải xác định hai tham số ̅ và ̅ trong phƣơng trình (2.6) và
(2.7). Để tìm ra đƣợc mối quan hệ tuyến tính giữa độ chênh lệch áp suất tán xạ và độ chênh lệch tốc độ truyền sĩng, ta sử dụng phƣơng pháp xấp xỉ Born. Mấu chốt của phƣơng pháp này là giả sử tín hiệu tán xạ rất nhỏ so với tín hiệu sĩng tới. Điều này hồn tồn phù hợp với yêu cầu thực tế cần phát hiện các u lạ trong giai đoạn đầu phát triển. Do đĩ, nghiên cứu sinh xem xét khơi phục các đối tƣợng cĩ sự thay đổi tốc độ truyền âm rất nhỏ, tức là tín hiệu tán xạ rất nhỏ. Bằng việc viết lại các phƣơng trình trên, ta cĩ [77]:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅, (2.9) trong đĩ ̅ ̅ ̅ . Với một máy phát và một máy thu, chúng ta hình thành đƣợc một ma trận ̅̅̅và một đại lƣợng véctơ ̅ . Hàm mục tiêu ̅ cĩ biến, tƣơng ứng với số điểm ảnh trong vùng quan tâm. Nĩ cĩ thể đƣợc ƣớc tính bởi:
̅ ̅ ̅ , (2.10)
trong đĩ và là hai điểm thời gian rời rạc liên tiếp. ̅ cĩ thể đƣợc tính tốn sử dụng chuẩn tắc Tikhonov [31]:
̅
̅ ‖ ̅ ̅̅̅̅ ̅‖ ‖ ̅‖ (2.11)
trong đĩ là hệ số chuẩn hĩa cần đƣợc lựa chọn cẩn thận bởi vì nĩ ảnh hƣởng lớn đến sự ổn định của hệ thống. ̅ là sự sai khác giữa tín hiệu tán xạ ƣớc tính và tín hiệu tán xạ đo đƣợc cĩ kích thƣớc ( ; kết quả phép đo đƣợc thiết lập thành ma trận ̅ gồm ( ) thành phần, với: ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ [ ̅ ̅ ̅ ] (2.12)
trong đĩ ̅ và ̅ lần lƣợt là ̅ và ̅ tƣơng ứng với áp suất sĩng tới thứ i, với i [0, Nt-1].
Chi phí tính tốn và yêu cầu bộ nhớ của phƣơng pháp Tikhonov là
O(NtNrN2). Yêu cầu bộ nhớ trở nên quá lớn ngay cả với bài tốn cĩ kích thƣớc nhỏ. Bởi vậy các giải pháp làm giảm khối lƣợng tính tốn và tăng tốc độ tính tốn là rất cần thiết cho phƣơng pháp DBIM.
Giải thuật 2.1. Phƣơng pháp lặp vi phân Born - DBIM
Thiết lập cấu hình đo cĩ các vị trí máy phát và máy thu đƣợc bố trí cách đều nhau
Chọn các giá trị ban đầu: ̅ = ̅ và sử dụng (2.13)
For , do 1. Tính tốn ̅ và ̅ 2. Tính tốn ̅ ̅ tƣơng ứng với ̅ sử dụng (2.6, 2.7) 3. Tính tốn ̅ sử dụng (2.9) 4. Tính tốn ̅ sử dụng chuẩn tắc Tikhonov (2.11) 5. Tính tốn ̅ ̅ ̅ End For
Trong đĩ là tổng số vịng lặp trong phƣơng pháp lặp vi phân Born. Đối với : (a) Để đơn giản, ta cĩ thể cố định giá trị , bằng cách này ta cĩ thể tính tốn đƣợc lỗi chuẩn hĩa qua từng vịng lặp và quan sát
tốc độ hội tụ của ảnh khơi phục đƣợc. Tuy nhiên, nếu chọn quá nhỏ thì
ta khơng biết đƣợc hiệu suất khơi phục ảnh tốt nhất của giải thuật, và nếu chọn quá lớn thì cĩ thể làm kéo dài thời gian tạo ảnh vì cĩ thể hiệu suất khơi phục tốt nhất của giải thuật đã đạt đƣợc ở một vịng lặp trƣớc đĩ, và các vịng lặp tiếp theo khơng làm cải thiện đƣợc đáng kể chất lƣợng tạo ảnh; (b) Ta cĩ thể đặt một sai số ngƣỡng thềm, khi giải thuật đạt đến sai số ngƣỡng thềm đĩ thì sẽ kết thúc vịng lặp. Tuy nhiên, nếu ta chọn sai số ngƣỡng thềm quá nhỏ thì cĩ thể giải thuật sẽ tốn rất nhiều thời gian hoặc sẽ khơng thể đạt đƣợc đến sai số ngƣỡng thềm đĩ để kết thúc vịng lặp.
Trong kỹ thuật siêu âm cắt lớp, nghiên cứu sinh xem xét các lát cắt 2D của đối tƣợng cần khơi phục nên nghiên cứu sinh sử dụng hàm bessel trong hệ
tọa độ trụ. Hàm Bessel trong hệ tọa độ trụ cũng đƣợc nghiên cứu trong một số cơng trình trƣớc đây trong lĩnh vực siêu âm cắt lớp [92], [93], [95]. Bởi vậy, tín hiệu sĩng tới đƣợc sử dụng là chùm Bessel bậc 0:
| | ∑ ( | |) (2.13)
Trong đĩ là hàm Bessel bậc 0, và | | là khoảng cách từ máy phát
đến điểm ảnh thứ k trong vùng quan tâm và Γ(•) là hàm gamma.
Mơ hình phƣơng pháp lặp vi phân Born đƣợc trình bày tĩm tắt nhƣ trong Hình 2.2.
Hình 2.2. Mơ hình phương pháp lặp vi phân Born (DBIM).
Sử dụng hàm Green tìm phƣơng trình liên tục tính 𝑝𝑠𝑐
Rời rạc phƣơng trình sĩng, sử dụng phƣơng pháp moment (MoM)
Tính đƣợc áp suất tại các điểm bên trong và bên ngồi (tán xạ)
đối tƣợng là 𝑝, 𝑝𝑠𝑐
Tính ma trận B, C
Sử dụng phƣơng pháp xấp xỉ Born để tìm mối quan hệ tuyến
tính giữa 𝛥𝑝𝑠𝑐 và 𝛥𝑂̅
Sử dụng phƣơng pháp Tikhonov để tìm 𝛥𝑂̅
Sử dụng phƣơng pháp lặp để tìm đối tƣợng 𝑂̅
Phƣơng trình sĩng trong mơi trƣờng khơng đồng nhất chứa đối