CHƢƠNG 2 : KỸ THUẬT TẠO ẢNH SIÊU ÂM CẮT LỚP
4.2. Kỹ thuật lấy mẫu nén ngẫu nhiên
Kỹ thuật lấy mẫu nén [26] cho phép khơi phục chính xác tín hiệu ̅
ℝn từ một số lƣợng nhỏ các phép đo ngẫu nhiên ̅ ℝm
, m << n. Các phép đo ngẫu nhiên ̅ đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
̅ ̅ ̅, (4.1)
Trong đĩ ̅ là ma trận cĩ kích thƣớc m×n và đƣợc gọi là cơ sở lấy mẫu
(sampling basis). Các cột của ̅ cĩ phần tử bằng 1 ở các vị trí ngẫu nhiên; các phần tử ở các vị trí khác cĩ giá trị bằng 0. Cấu trúc này nghĩa là các phép đo đƣợc thực hiện một cách ngẫu nhiên.
Vấn đề cốt lõi của kỹ thuật lấy mẫu nén là chúng ta giả sử ̅ cĩ biểu diễn thƣa trong một cơ sở trực giao ̅, tức là:
̅ ̅ ̅, (4.2)
trong đĩ, ̅ chỉ cĩ s < m hệ số khác khơng. Chú ý rằng, giới hạn dƣới của m là s, mức độ thƣa của tín hiệu u. Thơng thƣờng, số phép đo yêu cầu m cao hơn s. Tín hiệu ̅ đƣợc gọi là thƣa. Lý thuyết lấy mẫu nén chỉ ra rằng, tính chất thƣa này cho phép khơi phục chính xác ̅ với một xác suất cao [25]. Đặc biệt, cơ sở lấy mẫu phải cĩ thuộc tính khơng liên kết với cơ sở mơ hình
̅ [23]. Thuộc tính này đƣợc đảm bảo bởi sự ngẫu nhiên của các thành phần
khác khơng trong ̅. Do đĩ, bài tốn cĩ thể đƣợc viết lại nhƣ sau:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅, (4.3)
trong đĩ ̅ là ma trận đủ hạng (full-rank matrix) cĩ kích thƣớc m×n (tức là m dịng của ̅ là độc lập tuyến tính). Bởi việc thiết lập này, bài tốn CS đi giải
(4.3) để tìm ̅, với ràng buộc là ̅ thƣa. Một khi ̅ đƣợc xác định, ta cĩ thể tính ̅ sử dụng cơng thức (4.2).
Với điều kiện ̅ thỏa mãn điều kiện RIP (Restricted Isometry Property) đƣợc đề xuất bởi Candes và cộng sự [25], bài tốn CS cĩ thể đƣợc giải quyết sử dụng phƣơng pháp ℓ0-minimization:
̂ ‖ ̅‖ với ̅ ̅ ̅, (4.4)
trong đĩ, chuẩn l0 đƣợc định nghĩa là ‖ ̅‖ | |
Ta cũng cĩ thể tìm đƣợc ̂ trong (4.3) bằng việc sử dụng bài tốn tối ƣu
l1 (l1-minimization problem) [24]:
̂ ‖ ̅‖ với ̅ ̅ ̅, (4.5)
trong đĩ, chuẩn l1 đƣợc định nghĩa là ‖ ̅‖ ∑ | |
Bài tốn mơ tả ở trên đã giả sử rằng chúng ta đƣợc cho trƣớc dạng chính xác tín hiệu khơi phục. Điều này hiếm gặp trong thực tế, bởi vì các phép đo thƣờng bị ảnh hƣởng bởi nhiễu. Để khơi phục tín hiệu khi các phép đo chứa nhiễu, chúng ta cĩ:
̅ ̅ ̅ ̅, (4.6)
trong đĩ, e đại diện cho nhiễu ‖ ̅‖ với là sai số ngƣỡng thềm nào đĩ. Bài tốn l1 cĩ nhiễu đƣợc biểu diễn nhƣ sau [24]:
̂ ‖ ̅‖ với ̅ ‖ ̅ ̅ ̅‖ . (4.7)