Các bài toán phânđoạn (phân vùng) của xửlýảnh thường sửdụng phương pháp tập mức. Mô hình toán học của vấnđề phânđoạn trong lĩnh vực nàyđược giới thiệu bởi Mumford và Shah [59]. Với mỗi bức ảnh cho trước, họ phân bức ảnh thành các vùng xấp xỉnhau vềcườngđộsáng bởi việc tối thiểu hóa hàm sau:
(5.2)
Trongđó L(C) biểu thị độdài của C là biên củađối tượng hay vùng được trích chọn.λ > 0 và µ > 0 là các tham số. Thông thường, tại biên C, cườngđộ củaảnh u0
thayđổi một cáchđột ngột. Thành phầnđầu tiên của công thức chỉra chiều dài của C càng ngắn càng tốt (Hình5.8),điều nàyđóng vai trò quan trọng trong việc giảm nhiễu. Ảnh dưới, bên phải là biên của đối tượng khi F(u,C) tối thiểu. Thành phần thứ hai khớpảnh u với u0lại với nhau. Thành phần cuối cùng cho phép các vùng trừcác cạnh được trơn nhẵn. Thành phần này cũng giúp giảm nhiễu.
Với dữliệu sọquét ba chiều, ta dùng một lưới hình hộp chữnhật bao quanh các lát cắt được xếp chồng lên nhau. Khi phânđoạn dữliệu u0thành hai vùng: vùng thuộc đối tượng và vùng không thuộcđối tượng công thức5.2 được cụthể hóa thành công thức sau:
(5.3) Trongđó µ >= 0, v >= 0,λ1,λ2>= 0, c1và c2là trung bình giá trịcườngđộsáng trong
và ngoài biên C của đối tượng. Thành phần thứ nhất của vế phải dùng để loại bỏ nhiễu, thành phần thứhai và ba dùng tìm ra biên C tiến tới gần bềmặt đối tượng. Đểtriển khai, thay thếbềmặt C với hàm Lipschitzφ. Công thức5.3trởthành:
Trong đó
Φi,j,klà giá trịcủaφtạiđiểm i,j,k.Đểtối thiểu hóa hàm F ta dùng thuật
toán Tối_Thiểu_Hàm_F [59] sau:
(5.4)
Thuật toán 5.2 Tối_Thiểu_Hàm_F Đầu vào:Ảnh cần phânđoạn.
Đầu ra: Hàm F,ảnhđược phânđoạn với các giá trị 1 và -1
1. Khởi tạo toàn bộdữliệu.φ= 1 cho toàn bộkhối hộp chữnhật vàφ=−1 bên ngoài khối lập phương.
2. Gọi x là giá trịcủađiểm hiện tại. c1và c2là trung bình của cácđiểm cóφ= 1 vàφ=−1 tươngứng. Gọi m và n lần lượt là số điểm choφ= 1 vàφ=−1.
Chúng ta thayđổi hàm năng lượng nhưsau
- Khi .
nếu∆F12< 0đổiφ(x) từ1 thành−1. Nếu∆F12> 0 giữnguyênφ(x)
- Khi nếu∆F21< 0
đổiφ(x) từ −1 thành 1. Nếu∆F21> 0 giữnguyênφ(x)
Sau khi phânđoạnảnh ba chiều trực tiếp bằng phương pháp tập mức chúng ta có ảnh nhịphân biểu diễn điểmảnh trongđối tượng có giá trị −1 và điểmảnh ngoàiđối tượng có giá trị1.
Với phương pháp tập mức thời gian tính toán là O(N), trong đó N là kích cỡ dữ liệu quét.
Hình 5.8: Biên củađối tượngứng với F(u,C) khác nhau.5.2.2 Trích chọnđiểm góc.