- Biến cố ngẫu nhiên:
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố. Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra khi thực hiện một phép thử.
Ví dụ: Một bà mẹ sinh con là một phép thử, còn việc sinh được con trai hay con gái là biến cố.
- Biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên X là một biến mà nó nhận giá trị này hay giá trị khác tùy thuộc vào những tình huống mà ta không đoán chắc được sao cho bất đẳng thức {X<x} xác định một biến cố ngẫu nhiên với mọi
x R1. Có hai loại biến ngẫu nhiên: biến ngẫu nhiên rời rạc; biến ngẫu nhiên liên tục.
Ví dụ biến ngẫu nhiên rời rạc: X chỉ số chấm ở mặt trên của con xúc xắc khi gieo một lần một con xúc xắc cần đối và đồng chất. X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Giá trị mà nó có thể nhận là 1, 2, ..., 6.
- Ví dụ biến ngẫu nhiên liên tục: Gọi X là chiều cao đo được của một người, khi đó, X là một biến ngẫu nhiên liên tục.
- Phân bố xác suất (Probability distribution):
Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực nào đó. Xét biến cố "Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x", ký hiệu (X < x). Hiển nhiên là x
thay đổi thì xác suất P{X < x} cũng thay đổi theo. Như vậy, xác suất này là một hàm số x.
Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ, ký hiệu:F x( ) P X{ x}.
Nếu X nhận giá trị liên tục X(a,b), F(x) có đạo hàm f(x)=F’(x) và có biểu diễn: ( )F x x f x dx( )
thì: f(x) được gọi là hàm mật độ (xác suất) của biến ngẫu nhiên X.
- Kỳ vọng (Expectation): Kỳ vọng E X( ) của biến ngẫu nhiên rời rạc
X {x1, x2, ..., xN} với pi = P{X=xi} được định nghĩa là:
1 1 ( ) { }. N N i i i i i i E X p x x P X x
Kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa là:
( ) ( )
E X xf x dx
, với f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X.
Ngoài ra, kỳ vọng của biến X cũng có thể được ký hiệu là X
- Phương sai (Variance): Phương sai của một biến ngẫu nhiên là một độ đo sự phân tán thống kê của biến đó. Phương sai của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là: Var(X) ≡ D(X) = E(X - E(X))2 = E(X2) – [E(X)]2
Phương sai của biến X cũng có thể được ký hiệu là 2
X
- Độ lệch tiêu chuẩn (Standard deviation): Độ lệch tiêu chuẩn X của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là căn bậc hai của phương sai.
2 [ ( )]2
( )
X E X E X
Độ lệch tiêu chuẩn đo độ phân tán thống kê của biến ngẫu nhiên quanh giá trị kỳ vọng. Độ lệch tiêu chuẩn là một số không âm và có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên.
- Sai số tiêu chuẩn (Standard error): Sai số tiêu chuẩn của một ước lượng được xem như là độ lệch tiêu chuẩn của ước lượng đó, còn sai số tiêu chuẩn của một mẫu có kích thước n được định nghĩa là độ lệch tiêu chuẩn của mẫu chia cho n.
- Tương quan (correlation): là thước đo mối quan hệ giữa hai hay nhiều biến ngẫu nhiên. Giả sử X, Y là 2 biến ngẫu nhiên với các giá trị kỳ vọng là X và
Y
, độ lệch tiêu chuẩn là X và Y. Khi đó, hệ số tương quan X Y, giữa hai biến X và Y được tính theo công thức:
, (( )( )) cov( , ) X Y X Y X Y X Y E X Y X Y
- Phân bố chuẩn (normal distribution): Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn (μ, σ2) với các tham số là μ R1, σ>0 nếu X
có hàm mật độ xác suất sau: 2 2 1 ( - ) ( ) exp 2 2 x f x
Hình 2.1: Ví dụ đồ thị của phân bố chuẩn (0, 1)