1.1.5. Logic mệnh đề và logic khả năng
Logic được xem như là một nhánh của triết học. Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã được nghiên cứu trong toán học và luật. Gần đây nhất logic được ứng dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo. Là một ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lập luận, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của suy diễn và qua sự nghiên cứu lập luận trong ngôn ngữ tự nhiên. Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi từ các lập luận ngụy biện và nghịch lý, đến những lập luận chuyên gia như lập luận xác suất và lập luận liên quan đến quan hệ nhân quả.
1.1.5.1. Quan hệ thứ tự
Cho một tập không rỗng 𝑋, quan hệ ≽ là quan hệ nhị phân trên tập 𝑋.
Định nghĩa 1.2. Cho 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝑋, quan hệ ≽ có thể có các tính chất sau: - Phản xạ(Reflexivity): α ≽ 𝛼;
7 - Không phản xạ (Irreflexivity):α ⋡ 𝛼; - Đối xứng (Symmetry): nếu 𝛼 ≽ 𝛽 thì 𝛽 ≽ 𝛼;
- Không đối xứng (Antisymmetry): nếu 𝛼 ≽ 𝛽 thì 𝛽 ⋡ 𝛼;
- Bắc cầu(Transitivity): nếu α ≽ 𝛽 và β ≽ 𝛾 thì α ≽ 𝛾; - Toàn phần(Totallity):𝛼 ≽ 𝛽 hoặc 𝛽 ≽ 𝛼.
Khi đó:
- Quan hệ ≽ là quan hệ thứ tự một phần chặt (strict partial order) nếu nó có các tính chất không phản xạ và bắc cầu.
- Quan hệ ≽ là quan hệ bán thứ tự (preorder) nếu nó có các tính phản xạ và bắc cầu.
- Quan hệ ≽ là quan hệ bán thứ tự toàn phần (total preorder) nếu nó là quan hệ bán thứ tự và có tính toàn phần.
- Quan hệ ≽ là quan hệ thứ tự một phần (partial order) nếu nó là quan hệ bán thứ tự và có tính chất không đối xứng.
- Quan hệ ≽ là quan hệ thứ tự toàn phần (total order) nếu nó là quan hệ thứ tự một phần và có tính chất toàn phần (hay quan hệ bán thứ tự toàn phần và có tính chất không đối xứng).
8