Chương 2 : CÁC THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH
2.2. THUẬT TOÁN BALANCED TRUNCATION TRONG GIẢM BẬC MÔ
MÔ HÌNH
2.2.1. Đưa về hệ tương đương cân bằng
Giả sử hệ tuyến tính có thời gian bất biến ( , , , )A B C D là ổn định tiệm cận và biểu diễn dưới dạng tối thiểu.
Thuật toán 2.2.1.Đưavề hệ tương đương cân bằng Đầu vào: Hệ gốc( , , , )A B C D
Bước 1: Tính toán Gramian điều khiển được P và Gramian quan sát được Q
bằng việc giải hai phương trình Lyapunov sau đây
* * 0
AP P A BB+ + = , (2.13)
* * 0
A Q QA C C+ + = . (2.14)
Bước 2: Tính toán thừa số Cholesky R từ phép phân tích Cholesky *
P R R= , với R là ma trận tam giác trên.
Bước 3: Phân tích SVD của RQR* = ΣU U2 *, trong đó U là ma trận unita và 1 2
( , ,..., )n
diag σ σ σ
Σ = , với σ1 ≥σ2 ≥ ≥... σn là các giá trị suy biến Hankel của hệ.
Bước 4: Tính T R U= * Σ−1/ 2. (2.15)
Bước 5: Tính (A B C Dbal, bal, bal, bal) (= T AT T B CT D−1 , −1 , , ) . (2.16)
Đầu ra: Tathu được hệ tương đương(A B Cbal, bal, bal,Dbal). (2.17) Các tính chất của hệ tương đương (A B Cbal, bal, bal,Dbal) sẽ được trình bày chi tiết trong mục 2.2.2 tiếp theo.
2.2.2. Các tính chất của hệ tương đương cân bằng
Bổ đề 2.2.2. Hệ tương đương cân bằng (A B Cbal, bal, bal,Dbal) thu được từ Thuật toán 2.2.1 có các tính chất sau đây:
2. Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q bằng nhau và có dạng đường chéo, cụ thể:
P Q= = Σ, (2.18)
Định nghĩa 2.2.3. Hệ (A B Cbal, bal, bal,Dbal) thỏa mãn các tính chất (i), (ii) của Bổ đề 2.2.2 được gọi là hệ tương đương cân bằng.
2.2.3. Rút gọn hệ tương đương cân bằng bằng phương pháp chặtThuật toán 2.2.4.Rút gọn hệ tương đương cân bằng Thuật toán 2.2.4.Rút gọn hệ tương đương cân bằng
Đầu vào: Hệ tương đương cân bằng (A B Cbal, bal, bal,Dbal)thu được từ Thuật toán 2.2.1.
Bước 1: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r n< và σr >σr+1.
Bước 2: Biểu diễn của ma trận (A B Cbal, bal, bal,Dbal) dưới dạng khối như sau:
[ ] 1 11 12 1 2 21 22 2 ; ;
bal bal bal
B A A A B C C C A A B = = = , (2.19)
trong đó A11 có số chiều là r r× , B1 có số chiều là r m× , C1 có số chiều là
p r× .
Đầu ra: Tathu được hệ rút gọn( , , , )A B C D11 1 1 . (2.20) Các tính chất của hệ rút gọn ( , , , )A B C D11 1 1 sẽ được trình bày trong mục 2.2.4.
2.2.4. Các tính chất của hệ rút gọn
Định lý 2.2.5. Hệ rút gọn ( , , , )A B C D11 1 1 thu được từ Thuật toán 2.2.4. có các
tính chất sau:
(i). Ma trận A11 là ma trận ổn định.
(ii). Gramian điều khiển Pˆ và Gramian quan sát Qˆ của hệ rút gọn 11 1 1 ( , , , )A B C D có tính chất sau: 1 1 2 ˆ ˆ : ( , ,..., ) r P Q= = Σ =diag σ σ σ , (2.21)
Nhận xét 2.2.6. Tính chất (ii) trong Định lý 2.2.5 có nghĩa là hệ rút gọn 11 1 1
( , , , )A B C D có các giá trị suy biến Hankel là σ σ1, ,...,2 σr. Như vậy, hệ rút gọn 11 1 1
( , , , )A B C D giữ lại r giá trị suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu.
2.2.5. Đánh giá sai số của hệ rút gọn
Định lý 2.2.7. Hệ rút gọn ( , , , )A B C D11 1 1 thu được từ Thuật toán 2.2.4. có đánh giá sai số như sau:
1 1 2 ( ) ( ) H 2( r r n) G s G s ∞ + + − ≤ σ + σ + + σ (2.22) trong đó 1 1 1 1 11 1 ( ) : ( ) , ( ) : ( ) , G s = D C sI A B G s+ − − = D C sI A+ − − B và σr+1,σr+2,...,σn là
các giá trị suy biến Hankel bị lược bỏ.
2.2.6. Ưu nhược điểm của Thuật toán 2.2.4
Ưu điểm:
1. Bảo toàn các giá trị suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu.
2. Sai số có thể được tiên liệu trước do chỉ phụ thuộc vào các giá trị suy biến Hankel.
Nhược điểm:
1. Thời gian tính toán lâu do có sử dụng phân tích SVD. Hơn nữa, do Thuật toán phải tính ma trận nghịch đảo nên có thể chạy không ổn định hơn;
2. Thuật toán không cho ta thông tin về các điểm cực của hệ rút gọn
11 1 1