Chương 2 : CÁC THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH
2.4.1.Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thá iA có dạng tam giác trên
2.4. THUẬT TOÁN MỚI TRONG GIẢM BẬC MÔ HÌNH
2.4.1.Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thá iA có dạng tam giác trên
giác trên
Giả sử hệ tuyến tính có thời gian bất biến ( , , , )A B C D là ổn định tiệm cận và biểu diễn dưới dạng tối thiểu.
Thuật toán 2.4.1. Đưa về hệ tương đương với ma trận trạng thái A có dạng tam giác trên
Đầu vào: Hệ gốc( , , , )A B C D .
Bước 1: Tính toán Gramian quan sát được từ phương trình Lyapunov
* * 0
A Q Q A C C+ + = . (2.29)
Bước 2: Tính toán thừa số Cholesky R từ phép phân tích Cholesky Q R R= * , với R là ma trận tam giác trên.
Bước 3: Phân tích Schur của ma trận RAR−1: RAR −1= ∆U U*, trong đó U là ma trận unita và ∆ là ma trận tam giác trên.
Bước 4: Tính T R U= −1 . (2.30)
Bước 5: Tính ( , , , ) (A B C D = T AT T B CT D−1 , −1 , , ). (2.31)
Đầu ra: Tathu được hệ tương đương( , , , )A B C D . (2.32) Các tính chất của Thuật toán 2.4.1 sẽ được trình bày trong mục 2.4.2
2.4.2. Các tính chất của hệ tương đương với ma trận trạng thái A có tam giác trên
Bổ đề 2.4.2. Hệ tương đương với ma trận trạng thái A có tam giác trên
( , , , )A B C D thu được từ thuật toán trên có các tính chất sau đây:
(i). Ma trận A là ma trận có dạng tam giác trên.
(ii). Gramian quan sát Q là ma trận đơn vị, tức là Q I= . (iii). Gramian điều khiển được P có thể phân tích như sau:
* 2
W W
trong đó W là ma trận unita và 2 2 1
( ,..., )n
diag
Σ = σ σ là ma trận đường chéo với các giá trị trên đường chéo là giá trị suy biến Hankel của hệ.
Chứng minh:
1. Trước tiên chúng ta kiểm tra A là ma trận có dạng tam giác trên. Thật vậy:
1 * 1 * *
( ) ( )
A T AT= − = U R A R U− =U U U U∆ = ∆ Do đó A có dạng tam giác trên.
2. Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng Gramian quan sát Q là ma trận đơn vị: * ( * *) ( 1 ) ( * *)( * )( 1 ) *
Q T QT= = U R Q R U− − = U R− R R R U− =U U I= 3. Gramian điều khiển được P được tính theo công thức sau:
1 * ( * ) ( * *) * * (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
P T PT= − − = U R P R U− − =U RPR U−
Phân tích giá trị suy biến của RPR−* như sau: RPR−* =V* 2ΣV, trong đó V là ma trận unita. Khi đó, P có thể viết lại như sau:
* * 2 * 2
W W
P U V= ΣVU = Σ
trong đó W=UV là ma trận unita.
Định nghĩa 2.4.3. Hệ (A B C D, , , ) thỏa mãn các tính chất (i), (ii) của Bổ đề 2.4.2 được gọi là hệ tương đương tam giác trên.