9. Cấu trúc của khoá luận
2.3. Xây dựng CĐHH trong dạy học bồi dưỡng HSG toán lớp
2.3.1. Hệ thống một số kiến thức cơ bản
* Góc nhọn, góc tù, góc bẹt
Mối quan hệ giữa các góc không vuông với góc vuông.
* Góc nhọn: * Góc tù: * Góc bẹt: Góc nhọn nhỏ hơn góc vuông Góc tù lớn hơn góc vuông Góc bẹt bằng 2 lần góc vuông
* Giới thiệu hai đường thẳng vuông góc với nhau, song song vớinhau.
Việc hình thành biểu tượng về hai đường thẳng vuông góc với nhau qua việc kéo dài hai cạnh kề của một hình chữ nhật như sau:
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau tạo ra 4 góc vuông có chung một đỉnh.
Việc hình thành 2 đường thẳng song song với nhau qua việc kéo dài 2 cạnh đối nhau của một hình chữ nhật như sau:
- Hai đường thẳng song song
với nhau thì không bao giờ cắt nhau
* Hình vuông:
- Hình vuông có 4 góc vuông và 4 cạnh dài bằng nhau. - Chu vi hình vuông: P = a x 4
- Diện tích hình vuông: S = a x a (a là độ dài cạnh hình vuông)
A B
C D
-41- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A
* Hình chữ nhật:
- Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cặp cạnh dài bằng nhau. - Chu vi: P = (a + b) x 2
- Diện tích: S = a x b (a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng)
- Hai hình chữ nhật có diện tích bằng nhau và chiều dài hình chữ nhật này gấp 2 lần chiều dài hình chữ nhật kia thì chiều rộng hình chữ nhật này kém hai lần chiều rộng hình chữ nhật kia.
* Hình bình hành.
- Hình bình hành được giới thiệu là một hình có hại cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Đoạn thẳng giữa 2 đáy của hình bình hành vuông góc với 2 đáy được gọi là đường cao, độ dài của đường cao gọi là chiều cao.
- Chu vi: P = (a + b) x 2
- Diện tích: S = a x h (a là độ dài đáy, h là chiều cao).
* Hình thoi.
- Hình thoi được hình thành dựa trên mô hình hình vuông bị xô lệch. Như vậy, hình thoi được hiểu là hình có hai cặp cạnh đối diện song song và bốn cạnh bằng nhau.
- Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thẳng.
- Chu vi: P = a x 4
- Diện tích: S = ( m x n) : 2 (m,n là độ dài 2 đường chéo)
* Hình tam giác. Diện tích hình tam giác.
Ở lớp 5 HS nhận dạng hình tam giác đầy đủ hơn với những đặc điểm về đường cao của nó, hình tam giác có ba cạnh, ba góc, ba đỉnh, hình tam giác có ba góc nhọn, hình tam giác có một góc tù và hai góc nhọn, hình tam giác có hai
góc nhọn và một góc vuông…
-42- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A + Ba cạnh là: cạnh AB, cạnh AC, cạnh BC + Ba đỉnh là: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C + Ba góc là: Góc đỉnh A, cạnh AB và AC (gọi tắt là góc A) Góc đỉnh B, cạnh BA và BC (gọi tắt là góc B) Góc đỉnh C, cạnh CB và CA (gọi tắt là góc C)
+ BC là đáy, AH là đường cao tương ứng với đáy BC, độ dài AH là chiều cao. - Chu vi của hình tam giác bằng tổng độ dài các cạnh của hình đó.
- Diện tích hình tam giác
+ Dựa vào cách cắt ghép trên (qua hình vẽ) để tìm ra cách tính diện tích hình tam giác (lấy độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2).
Bằng công thức: S =
(S: là diện tích, a: là độ dài, h: là chiều cao)
A2. Hình thang. Diện tích hình thang
Ở lớp 5, để hình thành bước đầu khái niệm hình thang, GV thường liên hệ với “hình ảnh” có trong thực tế như cái thang.
Đối với HS lớp 5, hình thang được biết đến như là một hình tứ giác có dạng đặc biệt: hai cạnh đối diện song song, cạnh dài gọi là đáy lớn, cạnh ngắn gọi là đáy nhỏ. Đoạn thẳng giữa hai đáy và vuông góc với hai đáy được gọi là đường cao của hình thang, vẽ được đường cao của hình thang
trong hai trường hợp:
A B H C A C B 1 A C H B 2 A B C 1 2 D A B C A D B C H a x h 2
-43- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A
- Diện tích hình thang
Trong Toán 5, quy tắc tính diện tích hình thang được xây dựng từ diện tích hình tam giác.
- Cắt ghép hình thang thành hình tam giác như sau:
Bằng công thức: S =
(S là diện tích; a, b là độ dài hai đáy; h là chiều cao)
* Hình tròn, đường tròn. Chu vi và diện tích hình tròn
Lớp 5 HS được giới thiệu đồng thời cả về “Hình tròn”, “Đường tròn” nhưng vẫn chỉ ở mức “giới thiệu” thông qua hình ảnh trực quan như mặt trăng rằm, mặt chiếc mâm. Đầu chỉ của compa vạch trên tờ giấy một “Đường tròn”, cắt tờ giấy theo đường tròn ta được “Hình tròn”.
- Đường tròn là đường bao quanh hình tròn.
- Tâm là điểm chính giữa hình tròn cách đều các điểm trên đường tròn. - Bán kính là đoạn thẳng nối tâm với một điểm trên đường tròn.
- Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm nối 2 điểm trên đường tròn.
- Độ dài của một đường tròn gọi là chu vi của hình tròn đó. Muốn tính chu vi của hình tròn ta lấy đường kính nhân với số 3,14
C = d x 3,14
(C là chu vi hình tròn; d là đường kính hình tròn) Hoặc
Muốn tính chu vi của hình tròn ta lấy hai lần bán kính nhân với số 3,14 C = r x 2 x 3,14 1 A D H C(B) K(A) A M 2 A B D C 1 2 (a + b) x h 2
-44- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A (C là chu vi hình tròn; r là bán kính hình tròn).
- Muốn tính diện tích của hình tròn ta lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với 3,14.
S = r x r x 3,14
(S là diện tích hình tròn; r là bán kính hình tròn).
* Hình hộp chữ nhật
- Từ hình ảnh bao diêm, viên gạch khái quát thành hình hộp chữ nhật.
- Trong Toán 5, HS nhận biết hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 2 mặt đáy và 4 mặt bên. Và đặc biệt, HS gắn liền với những hiểu biết về “hình khai triển của hình này”.
- Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước: chiều dài, chiều rộng và chiều cao
- Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật.
- Muốn tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ta lấy chu vi mặt đáy nhân với chiều cao (cùng đơn vị đo).
- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy.
- Muốn tính thể tích của hình hộp chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng rồi nhân với chiều cao (cùng đơn vị đo).
* Hình lập phương
- Từ hình ảnh “con xúc xắc” khái quát thành hình lập phương. - Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.
6 1 2 6 3 1 4 3 5 6 2 5 4 6 3 5 2 4 1
-45- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A - Hình khai triển của hình lập phương.
- Hình lập phương có 8 đỉnh và 12 mặt.
-Muốn tính diện tích của hình lập phương ta lấy cạnh nhân cạnh rồi nhân với cạnh.
- Hình lập phương có cạnh là a, thì thể tích: V = a x a x a
* Giới thiệu hình trụ:
Hình trụ có 2 mặt đáy là hai hình tròn bằng nhau và một mặt xung quanh
Ví dụ: Hộp sữa, hộp chè…
* Giới thiệu hình cầu:
Ví dụ: Quả bóng đá, trái đất, quả địa cầu…
2.3.2. Phân dạng bài toán và tìm hiểu cách giải
2.3.2.1. Các bài toán về đếm hình
Bài toán 1: Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy 6 điểm. nối đỉnh A với các điểm vừa chọn. Hỏi có bao nhiêu hình tam giác trên hình vẽ?
Lời giải Cách 1: 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 C A B D E C A B D K I H C A B D E G
-46- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A Nhận xét:
- Khi lấy 1 điểm thì tạo thành 2 tam giác đơn và có 3 hình tam giác trên hình vẽ là: ABD: ADC và ABC. Ta có: 1 + 2 = 3 (hình).
- Khi lấy 2 điểm thì tạo thành 3 hình tam giác đơn và có 6 hình tam giác trên hình vẽ là: ABD, ADC, AEC, ADE, ABE và ABC. Ta có: 1 + 2 +3=6 (hình)
- Vậy khi lấy 6 điểm ta được 7 hình tam giác đơn và số hình tam giác trên hình vẽ là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 (hình).
Cách 2:
Ta nhận xét:
- Có 7 tam giác chung cạnh AB là: ABD, ABE, ABG, ABH, ABI, ABK, ABC
- Có 6 tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADG, ADH, ADI, ADK, ADC. - Có 5 tam giác chung cạnh AE là: AEG, AEH, AEI, AEK, AEC.
- Có 4 tam giác chung cạnh AG là: AGH, AGI, AGK, AGC. - Có 3 tam giác chung cạnh AH là: AHI, AHK, AHC.
- Có 2 tam giác chung cạnh AI là: AIK, AIC. - Có 1 tam giác cạnh AK là AKC.
(các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa)
Vậy số hình tam giác trên hình vẽ là: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 (hình).
Cách 3:
Ta nhận xét: Khi nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh BC với đỉnh A ta được 1 tam giác. Vậy đếm số tam giác trên hình vẽ sẽ bằng số đoạn thẳng đếm được trên cạnh BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 8 điểm B, D, E, G, H, I, K, C. Số đoạn thẳng đếm được là n = 8 x (8-1) : 2 = 28 (đoạn thẳng) Vậy số tam giác trên hình vẽ là 28 hình.
-47- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A
Lời giải
Nhận xét: Nhìn hình vẽ ta nhận thấy - Có 9 hình chữ nhật đơn.
- Có 6 hình chữ nhật được tạo thành từ 2 hình chữ nhật đơn kề nhau. - Có 3 hình chữ nhật được tạo thành từ 3 hình chữ nhật đơn kề nhau. - Có 1 hình chữ nhật được tạo thành từ 4 hình chữ nhật dơn kề nhau. - Có 1 hình chữ nhật được tạo thành từ 5 hình chữ nhật đơn kề nhau. - Có 1 hình chữ nhật được tạo thành từ 7 hình chữ nhật đơn kề nhau. - Có 1 hình chữ nhật được tạo thành từ 9 hình chữ nhật đơn kề nhau.
Vậy số hình chữ nhật có trong hình vẽ là: 9 + 6 + 3 +1 + 1 + 1 + 1 = 22 (hình) Đáp số: 22 hình chữ nhật.
2.3.2.2. Các bài toán về chu vi và diện tích các hình. a) Các bài toán về chu vi
Bài toán 1 : Một hình chữ nhật có điều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu chiều
dài thêm 2m và rộng thêm 10m thì được một hình vuông. Hãy tính chu vi hình vuông đó. Lời giải Ta có sơ đồ sau : Chiều rộng hình chữ nhật : Chiều dài hình chữ nhật : Cạnh hình vuông : Chiều rộng hình chữ nhật là : (10 - 2) : 2 = 4 (m) Cạnh hình vuông là : 4 +10 = 14 (m) Chu vi hình vuông là : 14 x 4 = 56 (m) Đáp số : 56m.
Bài toán 2: Một hình chữ nhật có chu vi 280 cm. Nếu bớt đi chiều dài của nó thì ta được một hình chữ nhật mới có chu vi là 248cm. Tính kích thước hình chữ
10m
-48- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A nhật ban đầu.
Lời giải
Nửa chu vi hình chữ nhật cũ là: 280 : 2 = 140 (m) Nửa chu vi hình chữ nhật mới là: 248 : 2 = 124 (m)
Nửa chu vi hình chữ nhật mới kém nửa chu vi hình chữ nhật cũ vì chiều dài giảm đi 1/5 chiều dài của nó.
Vậy chiều dài ban đầu là: (140 – 124) x 5 = 80 (m). Chiều rộng ban đầu là: 140 – 80 = 60 (m).
Đáp số: Chiều dài ban đầu 80m Chiều rộng ban đầu 60m
b) Các bài toán về diện tích
Bài toán 1: Biết cạnh của mỗi ô vuông trong hình đều bằng 1 cm. Hãy tính: a) Tổng diện tích tất cả các hình vuông trong đó
b) Tổng diện tích tất cả các hình chữ nhật trong đó Lời giải a) Trên hình vẽ có: -12 hình vuông cạnh 1cm . -6 hình vuông cạnh 2cm. -2 hình vuông cạnh 3cm.
Vậy tổng diện tích tất cả các hình vuông là: 1 x 4 x 12 + 2 x 4 x 6 + 3 x 4 x 2 = 120 (cm2) b) Trên hình vẽ có:
- 17 hình chữ nhật có chiều rộng 1cm và chiều dài 2cm. - 10 hình chữ nhật có chiều rộng 1cm và chiều dài 3cm. - 3 hình chữ nhật có chiều rộng 1cm và chiều dài 4cm. - 7 hình chữ nhật có chiều rộng 2cm và chiều dài 3cm. - 2 hình chữ nhật có chiều rộng 2cm và chiều dài 4cm - 1 hình chữ nhật có chiều rộng 3cm và chiều dài 4cm. Vậy tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật là:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-49- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A (1 + 2) x 2 x 17 + (1 + 3) x 2 x 10 + (1 + 4) x 2 x 3 +
(2 + 3) x 2 x 7 + (2 + 4) x 2 x 2 + (3 + 4) x 2 + 120 = 440 (cm2). Đáp số: a) 120cm2
b) 440cm2
Bài toán 2: Tính diện tích hình vuông ABCD, biết diện tích hình tròn là 12,56cm2
Lời giải Gọi bán kính của hình tròn là R ta có: R x R x 3,14 = 12,56 Suy ra: R x R = 12,56 : 3,14 R x R = 4 Mặt khác R chính là cạnh hình vuông AEOI Vậy SAEOI = R X R = 4 cm2 Do đó SABCD = SAEOI x 4 = 4 x 4 = 16 cm2
c) Các bài toán phối hợp giữa chu vi và diện tích
Bài toán 1: Người ta mở rộng một cái ao hình vuông để được một cái ao hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Sau khi mở rộng, diện tích ao mới tăng them 600m2 và diện tích ao mới gấp 4 lần diện tích ao cũ. Hỏi phải dùng bao nhiêu chiếc cọc để đủ rào xung quanh ao mới? Biết rằng cọc nọ cách cọc kia 1m và ở một góc ao người ta để lối lên xuống rộng 2m.
Lời giải D C B A O A E I D C O R B Ao cũ 600m2
-50- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A Ta có sơ đồ sau:
Diện tích ao cũ: Diện tích ao mới:
Diện tích ao mới là: 600 : (4 – 1) x 4 = 800 (m2)
Ta chia ao mới thành 2 hình vuông bằng nhau như hình vẽ. Diện tích của mỗi hình vuông là: 800 : 2 = 400 (m2)
Cạnh của mỗi hình vuông hay chiều rộng của ao mới là 20m vì: 20 x 20 = 400. Chiều dài của ao mới là: 20 x 2 = 40 (m)
Chu vi ao mới là: (20 + 40) x 2 = 120 (m)
Số cọc cần để rào xung quanh ao là: 120 : 1 – 3 = 117 (chiếc) Đáp số: 117 chiếc cọc.
Bài toán 2: Một hình tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi, cạnh hình này dài hơn cạnh hình kia 3m. Hãy tính chu vi hình tam giác đều và diện tích hình vuông đó?
Lời giải
Hai hình tam giác đều và hình vuông có cùng chu vi, tức là 3 lần cạnh tam giác bằng 4 lần cạnh hình vuông. Do đó, cạnh tam giác đều lớn hơn cạnh hình vuông là 3m
Ta có sơ đồ:
Chu vi hình vuông:
3 3 3 Chu vi tam giác đều:
Nhìn sơ đồ ta thấy cạnh hình vuông là: 3 + 3 + 3 = 9 (m)
Do đó chu vi hình vuông cũng như chu vi hình tam giác đều là: 9 x 4 = 36 (m)
Diện tích hình vuông là:9 x 9 = 81 (m2) 600m2
-51- Phan Thị Hường – K7 ĐHSP Tiểu học A Đáp số: 81m2
d) Bài toán giải bằng phương pháp diện tích Những kiến thức cần ghi nhớ:
Phương pháp diện tích dùng để giải bài toán về tính diện tích bằng cách vận dụng các tính chất của diện tích:
-Nếu một hình được phân ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích của các hình nhỏ bằng diện tích hình ban đầu.
-Nếu ghép các hình nhỏ để được một hình lớn thì diện tích các hình lớn bằng tổng diện tích các hình nhỏ.
-Hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và cùng số đo chiều cao thì có diện tích bằng nhau.
-Nếu số đo cạnh đáy không đổi thì số đo diện tích và số đo chiều cao là 2 đại lượng tỉ lệ thuận.
-Nếu số đo chiều cao không đổi thì số đo cạnh đáy và số đo diện tích là 2 đại lượng tỉ lệ thuận.
-Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo cạnh đáy và số đo chiều cao là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.