Các quy tắc, tính chất toán học cơ bản trong chƣơng trình môn toán ở lớp 4 nói chung, chủ đề số học nói riêng là căn cứ của các phép suy luận logic. Đặc biệt là suy luận qui nạp không hoàn toàn, suy luận tƣơng tự, phép đảo ngƣợc có vai trò quan trọng trong dạy học hình thành kiến thức mới ở tiểu học.
Có thể nói trong việc hình thành kiến thức mới phép qui nạp không hoàn toàn đƣợc sử dụng thƣờng xuyên dựa trên một số ví dụ cụ thể để rút ra kết luận khái quát. Do đặc điểm tƣ duy của học sinh tiểu học, tính trừu tƣợng của toán học thì đây phƣơng pháp có tác dụng tích cực giúp ngƣời học tiếp thu kiến thức chủ động, tích cực tránh đƣợc sự " ép mớm" kiến thức, dẫn học sinh đến gần với chân lý khoa học hơn. Điều đó giúp ngƣời học nắm vững các qui tắc, tính chất của các phép toán vững vàng hơn.
Do đó để rèn luyện cho học sinh tƣ duy logic thì việc đầu tiên giáo viên cần sử dụng phép suy luận có lý trong hình thành các qui tắc các tính chất toán học trong chƣơng trình toán tiểu học, giúp học sinh nắm chắc các khái niệm, quy tắc, tính chất cơ bản trong quá trình dạy học tiểu học. Đây là biện pháp đầu tiên mà giáo viên cần phải tác động vào học sinh với những cách thức, phƣơng pháp phù hợp.
Ví dụ 2.1. Vận dụng phƣơng pháp quy nạp khi dạy bài: Qui tắc cộng hai
phân số cùng mẫu?
Trình tự dạy bài cộng hai phân số cùng mẫu: Từ ví dụ cụ thể rút ra kết luận chung (qui nạp). Sau đó áp dụng két luận chung vừa có vào các trƣờng hợp cụ thể để giải bài tập (suy diễn).
* Bƣớc qui nạp: Giáo viên hƣớng dẫn học sinh giải bài toán: Có một băng giấy, bạn Nam tô màu 3
8băng giấy, sau đó bạn nam tô màu tiếp 2 8băng giấy. Hỏi bạn nam đã tô màu bao nhiêu phần của băng giấy?
Từ đó dẫn đến phải thực hiện phép tính: 3 2
88= 3 2 5
8 8
Từ đây cho học sinh nhận xét và rút ra qui tắc chung thực hiện phép cộng hai phân số cùng mẫu: muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ 2.2. Để hình thành dấu hiệu chia hết cho 9. Giáo viên nêu các ví
dụ cụ thể, học sinh quan sát 72 : 9 = 8 Ta có: 7 + 2 = 9, 9 : 9 = 1. 657 : 9 = 73 Ta có: 6 + 5 + 7 = 18, 18 : 9 = 2 182 : 9 = 20 (dƣ 2 ) Ta có : 1 + 8 + 2 = 11, 11 : 9 = 1 ( dƣ 2 )
451 : 9 = 50 ( dƣ 1 ) Ta có: 4 + 5 + 1 = 10 10 : 9 = 1 ( dƣ 1)
Từ quan sát, phân tích nôi dung các ví dụ đó, học sinh phát hiện ra cái chung: số 72, 657 đều có tổng các chữ số chia hết cho 9, các số này chia hết cho 9. số 182, 451 có tổng các chữ số không chia hết cho 9, các số này không chia hết cho 9.
Từ đó giáo viên hƣớng dẫn học sinh rút ra kết luận khái quát: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9.
Với kết quả này đã ngầm rèn luyện cho học sinh phép suy luận qui nạp và cũng ngầm thể hiện công thức logic sau: p q q p.
Đối với phép tương tự: Nó cũng đƣợc sử dụng thƣờng xuyên trong dạy
học mạch số học ở tiểu học nói chung, dạy học số học ở lớp 4 nói riêng.
Ví dụ 2.3.
- Từ quy tắc cộng các số có hai chữ số, dùng phép tƣơng tự ta xây dựng quy tắc cộng các số có ba. bốn, có nhiều chữ số
- Từ quy tắc so sánh các số có bốn chữ số, dùng phép tƣơng tự ta xây dựng quy tắc so sánh các số có nhiều chữ số.
Phép tƣơng tự thuộc về suy luận có lý, mặc dù kết luận của phép tƣơng tự không chắc chắn đúng, song nếu giáo viên biết khéo léo vận dụng đúng lúc, đúng chỗ thì phép tƣơng tự là một trợ thủ đắc lực cho giáo viên trong dạy học toán ở tiểu học.
Ví dụ 2.4. Học sinh biết đối với phép cộng thì: Muốn tìm số hạng chƣa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết. Vì các số hạng là thành phần của phép cộng, còn tổng là kết quả của phép cộng, còn trong phép nhân thì các thừa số là thành phần, tích là kết quả nên từ qui tắc trên ta có thể hƣớng dẫn
các em dùng phép tƣơng tự rút ra qui tắc sau: Muốn tìm thừa số chƣa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
Ví dụ 2.5.
a.Ta đã biết: “Khi nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên (khác 0) thì phân số đó không thay đổi”. Tƣơng tự ta có thể rút ra: Khi chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số (khác 0) thì phân số đó không thay đổi.
b. Từ quy tắc nhân nhẩm một số với 11: “Muốn nhân một số với 11, ta nhân số đó với 10 rồi cộng với chính số đó”, ta có thể dùng phép tƣơng tự để nêu ra một loạt các quy tắc nhƣ sau:
- Muốn nhân một số với 21, ta nhân số đó với 20 rồi cộng với chính số đó. - Muốn nhân một số với 51, ta nhân số đó với 50 rồi cộng với chính số đó. - Muốn nhân một số với 9, ta nhân số đó với 10 rồi trừ đi chính số đó.
Với phép đảo ngược: Phép đảo ngƣợc cũng có tác dụng lớn trong quá trình nghiên cứu toán học giống nhƣ phép tƣơng tự.
Trong giảng dạy môn toán ở tiểu học, phép đảo ngƣợc có vai trò quan trọng trong rèn luyện tƣ duy lôgic cho học sinh, nó thƣờng dùng khi: Giảng dạy về mối quan hệ thuận, nghịch giữa các phép tính, hình thành các công thức ngƣợc trong hình học, giảng dạy các bài toán có mối quan hệ thuận, nghịch, hệ thống hóa các mối quan hệ giữa các kiến thức trong lúc ôn tập. Để ràn luyện phép đảo ngƣợc, ta thƣờng rèn luyện cho học sinh biết từ các kiến thức đã có rút ra kiến thức mới thông qua ví dụ cụ thể, hoặc từ những bài toán đã có tìm các bài toán ngƣợc với bài toán đó. Sau đó cho học sinh giải các bài toán.
Ví dụ 2.6.
a. Xét suy luận:
Có tiền đề là: Số tự nhiên a có tận cùng là 0. Có kết luận là: Số tự nhiên a chia hết cho 10. Đảo ngƣợc suy luận này, ta có suy luận:
Có tiền đề là: Số tự nhiên a chia hết cho 10.
Có kết luận là: Số tự nhiên a có tận cùng là 0.
b. Để thử lại phép cộng: 31587 + 4932 = 36519, ta dùng phép tính ngƣợc của phép cộng là phép trừ để tính ngƣợc lại: 36519 – 4932 = 31587 ( đúng ) hoặc 36519 – 31587 = 4932 ( đúng ).
Cũng có thể coi việc thử lại đáp số các bài toán tƣơng đƣơng với việc thử lại các phép tính bởi vì mỗi bài toán đơn đều giải bằng một phép tính.
Ví dụ 2.7. Từ bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu hai số, ta có thể
xây dựng bài toán ngƣợc: Biết tổng hai số và một trong hai số , tìm số còn lại.
Bài toán ngƣợc của bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số là bài toán. Biết tổng hoặc tỉ số của hai số và một trong hai số tìm số còn lại.
2.3.2. Thường xuyên vận dụng các kiến thức đã biết, qui tắc, tính chất toán học đã học vào gi i các bài tập
Môn toán là một trong những môn học có tính hệ thống chặt chẽ. Dạy học
đảm bảo tính hệ thống sẽ góp phần giúp HS nắm chắc kiến thức, kỹ năng các quy tắc, tính chất đã biết làm luận cứ của các suy luận logic của môn học, muốn vậy phải:
Xác định rõ vị trí từng bài học ở từng chƣơng mục, ở từng lớp và trong toàn bộ chƣơng trình. Thƣờng xuyên quan tâm đến việc hệ thống hoá kiến thức từng bài học, từng phần, từng chƣơng, từng năm học, từng giai đoạn học tập, trên cơ sở đó mà lựa chọn phƣơng pháp dạy học thích hợp.
Sự vững chắc của kiến thức và kỹ năng của môn toán nói chung, các kiến thức, kĩ năng số học, nói riêng các qui tắc, tính chất cũng đòi hỏi phải củng cố, ôn tập, thực hành luyện tập thƣờng xuyên. Chính vì vậy để rén luyện tƣ duy logic cho ngƣời học đói hỏi giáo viên phải thƣờng xuyên yêu cầu học sinh sử dụng các quy tắc, tính chất đã biết làm luận cứ của các suy luận logic trong suốt quá trình dạy chủ đề số học đây là yêu cầu đặt ra mọi nơi,
mọi lúc khi dạy học kiến thức mới đặc biệt là trong luyện tập giải toán và ôn tập, kiểm tra. Đây cũng chính là sử dụng suy diễn trong quá trình dạy học toán ở tiểu học, bởi ở tiểu học suy diễn đƣợc hiểu là đi từ cái chung đến cái riêng, cái khái quát đến cái cụ thể.
Ví dụ 2.8. Sau khi có dấu hiệu chia hết cho 9. Cho học sinh luyện tập
vận dụng giải các bài tập thể hiện qua các bài: - Trong các số sau, số nào chia hết cho 9? 99, 1999, 108, 5643, 29 385
- Viết hai số có ba chữ số và chia hết cho 9 ?
Việc tìm đƣợc các số chia hết cho 9, không chia hết cho 9, viết đƣợc các số chia hết cho 9 chính là rèn luyện phƣơng pháp suy diễn.
Ví dụ 2.9. Khi dạy xong dấu hiệu chia hết cho 4: Mọi số có 2 chữ số
tận cùng tạo thành số chia hét cho 4 đều chia hết cho 4. Cho học sinh vận dụng dấu hiệu vào tìm xem số 7624 có chia hết cho 4 hay không. Giáo viên chỉ cần xét 2 chữ số tận cùng của số 7624 tạo thành số 24 chia hét cho 4. Nên số 224 chia hết cho 4. Việc làm này chính là rèn luyện cho học sinh phƣơng pháp suy luận suy diễn.
Bởi bản chất của phép suy luận này nhƣ sau:
Tiên đề A1 :Với mọi x N, nếu x có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hét cho 4 thì x chia hết cho 4 . Ta ký hiệu
Hàm mệnh đề x có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hét cho 4 bởi P(x). Hàm mệnh đề x chia hết cho 4 bởi Q(x).
Tiên đề A1 có dạng một mệnh đề phổ dụng : x (P(x) Q(x)) Tiên đề A2 có dạng P(7624 )
Kết luận B có dạng Q(7624) . Rõ ràng trong suy luận trên ta đã vận dụng quy tắc suy luận:
) ( ) ( ), ( ) ( ( a Q a P x Q x p X x ( X là tập số tự nhiên, a là số tự nhiên) Ví dụ 2.10.
Tìm 𝑥 biết: 𝑥 : 3
2 5 7
Ở đây, ta suy diễn nhƣ sau:
Ta đã biết quy tắc chung: “Muốn tìm số bị chia ta lấy thƣơng nhân với số chia”.
p dụng quy tắc vào trƣờng hợp cụ thể của bài toán trên:
𝑥 là số bị chia. 3 2 là số chia. 5 7 là thƣơng. Ta rút ra kết quả: 𝑥 = 5 3 72 𝑥= 15 14
Một số qui tắc suy luận khá nhƣ qui tắc kết luận, kết luận ngƣợ , giáo viên ƣớng dẫn học sinh sử dụng quy tắc một cách gián tiếp thông qua các ví dụ cụ thể trong dạy học chủ đề số học. Qui tắc kết luận: X Y X, Y Qui tắc kết luận ngƣợc : X Y Y, X Ví dụ 2.11.
a. Quy tắc kết luận: Nếu một số tự nhiên chia hết cho 3 thì có tổng các chữ số chia hết cho 3.Số 18 chia hết cho 3. nên số 18 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
b. Quy tắc kết luận ngƣợc:
Nếu một số tự nhiên chia hết cho 3 thì có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số 20 không chia hết cho 3. Nên số 20 có tổng các chữ số không chia hết cho 3.
2.3.3. Khêu g i, nêu vấn đề, tạo sự giao lưu và tranh luận giữa học sinh với học sinh, giữa học sinh với giáo viên làm n y sinh nhu cầu suy luận và chứng minh trong dạy học toán nói chung, dạy học chủ đề số học nói riêng
Suy luận chỉ xuất hiện và phát triển khi HS có nhu cầu, khi cần kiểm tra sự đúng đắn của các thao tác tƣ duy. Trong một số trƣờng hợp HS giải bài tập đi đến kết quả nhƣng không hể nói mình đã làm nhƣ thế nào hoặc tại sao lại làm nhƣ vậy…Do đó trong dạy học toán cho học sinh ngƣời giáo viên cần khéo léo khêu gợi, tạo sự giao lƣu giữa các học sinh, giữa học sinh với giáo viên thông qua hệ thống câu hỏi.
Khi suy luận, đối với HS tiểu học luận cứ lôgic còn gắn nhiều với thực tế, với quan sát, thực nghiệm, phép suy diễn còn " Hiện thực", kết luận với các em phải đúng với thực tế, học sinh khó chấp nhận giả thiết hoàn toàn có tính giả định hoặc các dữ kiện mà các em không tin là có thực. Tuy nhiên đối với học sinh tiểu học việc chứng minh đúng theo nghĩa toán học chỉ đề ra với một vài trƣờng hợp dễ và đơn giản nhƣng lập luận có căn cứ lại cần đƣợc chú ý khi dạy học toán. Do đó trong dạy học toán GV cần giảm thiểu lời nói của GV bằng cách trao quyền cho HS khi chúng bàn luận, tranh luận hay phản ứng với những ý kiến trái chiều.
Khi dạy một tắc hay hình thành một công thức hay hƣớng dẫn học sinh giải toán, tùy theo tình huống cụ thể của học sinh mà ta có thể đặt câu hỏi tại sao lại làm nhƣ vậy? Tại sao lại sai? Có cách nào khác hay không? Câu hỏi tại sao nhắc nhở ngƣời học tìm đến căn cứ, các cơ sở để giải thích. Đó là chỗ dựa để đƣa cách làm hoặc phân tích lựa chọn trong vốn tri thức đã học để trả lời. Các câu hỏi dặt ra có thể coi là luận đề của tiền chứng minh.
Ở đây tiền chứng minh nhƣ là một hình thức của suy luận có lý, nó bao gồm các luận chứng đƣợc tổ chức theo các qui tắc xác định và còn đơn giản. Ở giai đoạn tiền chứng minh có thể chấp nhận hình vẽ, sự hiển nhiên của trực giác ...nhƣ là những phƣơng tiện luận chứng.
Khi dạy học toán ở tiểu học nói chung, dạy chủ đề số học ở lớp 4 nói riêng, việc tập cho học sinh thói quen đặt câu hỏi nói trên và tìm cách trả lời,
giả thích là nhiệm vụ của giáo viên. Từ thói quen đó sẽ hình thành cách diễn đạt và trình bày cho học sinh. Để có thể thay đổi phƣơng pháp suy luận, nhìn một vấn đè dƣới góc độ khác nhau, trả lời câu hỏi có cach nào khác hay không, trong dạy học toán cũng yêu cầu học sinh tìm nhiều cách giải.
Ví dụ 2.12. Khi dạy bài tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số toán 4. Bắt đầu bằng bài Toán: Tổng hai số bằng 70, hiệu hai số bằng 10. Tìm hai số đó.
Từ việc yêu cầu học sinh đọc đè toán và dùng hai câu hỏi chính bài toán cho gì? Bài toán hỏi gì? Từ đó cho học sinh tóm tắt bài toán:
?
Số bé: 70
?
Số lớn:
10
Từ sơ đồ này học sinh tìm đƣợc hai lần số bé: 70 – 10 = 60
Số bé là: 60 : 2 = 30. Số lớn là: 30 + 10 = 40
Nhƣ vậy hình vẽ trên chính là những phƣơng tiện luận chứng (hai lần số bé, từ đó suy ra số bé),
Từ cách giải bài toán ta cũng có thể hỏi các học sinh khác tại sao bạn vẽ sơ đồ nhƣ vây? Tại sao lại có hai lần số bé bằng 70 - 10?
Ngoài ra ta cũng thấy SGK đã rút ra: Số bé = (Tổng – hiệu): 2. Chính là đã sử dụng qui nạp. Trong bài cũng đã sử dụng phép suy luận: Tiền đề là đề bài và lời giải bài toán, còn kết luận là công thức tìm số bé khi biết tổng và hiệu. Bên cạnh đó để học sinh nhìn vấn đè dƣới góc độ khác, thay đổi phƣơng pháp suy luận có thể gợi ý họ tìm cách giải khác: ta có thể đặt câu hỏi nếu