III. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
LỊCH SỬ NỔI BẬT
Leonhard Euler , người Thụy sĩ, được xem là một ngòi
bút phong phú đối với lịch sử Toán học. Ông xuất bản
hơn 850 cuốn sách và nghiên cứu, hầu hết mọi khía
cạnh của Toán học đều có định lý của ông. Sau khi bị
mù năm 60 tuổi, ông tiếp tục những công trình vĩ đại
của mình sau hơn 17 năm khi ra lệnh người thư kí viết
các công thức của mình lên 1 phiến đá lớn bằng phấn.
Năm 1907 kỉ niệm 200 năm ngày sinh của ông, 1 nhà
xuất b n Thả ụy Sĩ bắt đầu tái bản toàn bộ công trình nghiên cứu của ổng;
bộsưu tập này được hi vọng sẽkéo dài 75 cuốn v i m i cu n 60 trang. * ớ ỗ ố
* H.W.Eves, Vòng tròn Toán học (Boston: Prindle, Weber and Schmidt,
1996) pp.46–49.
51
Bài 1: Sử dụng công thức Euler cho bài tập đểxác định nh ng con s ữ ố còn thiếu cho mỗi khối đa giác. Với mỗi điều ki n cho s n, ệ ẵ
hãy tìm 1 khối đa giác từ số1 đến 21 trên
bảng có cùng số ạnh, góc và mặt đã cho. c 1. a. 7 mặt, 7 góc, ___ cạnh b.16 mặt, ___ góc, 24 cạnh c.___ mặt, 5 góc, 8 cạnh Trả lời: a. 12 cạnh; b. 10 góc; c. 5 mặt. 2. a. 6 mặt, ___ góc, 9 cạnh b. ___ mặt, 8 góc, 12 cạnh c.14 mặt, 24 góc, ___ cạnh Trả lời:a. 5 góc; b. 6 mặt; c. cạnh.
Bài 2: 5 hình đa giác cân và số mặt và hình dáng của các mặt được thể hiện ở bảng dưới.
Hãy xác định sốgóc và cạnh còn thiếu.
Khối đa diện Góc Mặt Cạnh
Khối Tứ diện 4 4 tam giác 6
Khối lập phương 8 6 hình vuông 12
Khối bát diện 6 8 tam giác 12
Khối thập nhị diện 26 12 lục giác 36
Khối nhị thập di n ệ 12 20 tam giác 30
52
PHẦN 9.4: TRỤC ĐỐI XỨNG TRONG M T PH NGẶ Ẳ
Nhiều năm trước khi nó trở nên phổ biến để dạy cho những ý tưởng hình học ở trường Tiểu học, cắt hình ảnh đối xứng chính là hoạt động phổ biến trong giờ học. Các bước để gấp một mảnh giấy và vẽ một hình mà chứa một phần hay tất cả các nếp gấp được thấy ở phần 9.59a ở trang kế bên. Khi các hình ảnh này được cắt ra và mở ra, đó chính là đối xứng (xem hình b). Phần nếp gấp chính là đường đối xứng mà ta còn gọi là trục đối xứng.
Trực giác chúng ta hiểu được đối xứng của nghĩa là hai nửa của một hình ảnh sẽ trùng nếu bị gấp vào nhau. Từ phản chiếu là một lẽ tự nhiên để sử dụng cho các thử nghiệm của gương đối xứng. Nếu cạnh của một tấm gương được đặt dọc theo trục đối xứng, một nửa hình ảnh và hình ảnh của chính nó từ gương sẽ hệt nhau. Bạn có thể xác thực các trục đối xứng cho bức ảnh nhà thờ bên dưới bằng cách đặt các cạnh của tấm gương dọc theo chiều thẳng đứng đường giữa bức ảnh. Với vị trí của tấm gương đó, một nửa nhà thờ và hình ảnh phản chiếu sẽ giống hệt như toàn bộ nhà thờ. Kể từ lúc cách duy nhất tấm gương có thể đặt để xảy ra hiện tượng này, hìnhảnh của nhà thờ chỉ có duy nhất một trục đối xứng.
53
Mira là một thiết bị thuận tiện trong việc định vị đường đối xứng của mặt phẳng. Nó được làm bằng Plexiglas để người dùng có thể nhìn xuyên qua nó và đồng thời trong quá trình phản xạ. Nếu hình ảnh đó có một trục đối xứng, cũng như các hình lục giác ở hình 9.61 ở trang kế, thiết bị Mira sẽ được đặt sao cho phản xạ của các hình ảnh trùng với một phần của hình ảnh nằm đằng sau thiết bị, sau đó các cạnh của thiết bị Mira sẽ nằm trên trục đối xứng
Một số hình có nhiều hơn 1 trục đối xứng. Để sản sinh ra hình ảnh với hai đường thẳng như vậy, ta sẽ gấp một tờ giấy làm đôi và sau đó gấp đôi lại lần nữa. Sau đó vẽ một hình ảnh mà các điểm cuối chạm vào nếp gấp như trong hình 9.62a. Nếu hình ảnh này được cắt ra và khi tờ giấy được mở ra, hai nếp gấp vuông góc sẽ đối xứng theo trục, như thể hiện ở hình 9.62b
Mỗi hình đa giác sau có một hoặc nhiều trục đối xứng. Hãy xác định các trục đối xứng của chúng
54
Cách giải:
1. Một tam giác đều có ba trục đối xứng: đó là đường thẳng đi qua mỗi đỉnh vuông góc với đường thẳng đối diện.
2. Một hình vuông có bốn trục đối xứng: một đường ngang và một đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đối diện và hai đường chéo.
3. Hình này có 2 trục đối xứng: một đường nằm ngang đi qua 2 đỉnh đối diện và một đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đối diện.
Ý tưởng về sự đối xứng có thể thực hiện chính xác hơn bằng cách áp dụng các hình ảnh được gợi ý bằng gương. Nếu một đường thẳng có thể rút ra thông qua một hình ảnh sao cho mỗi điểm ở một bên của đường thẳng sẽ phù hợp với một điểm ở phía bên kia vuông góc với nhau từ đường thẳng. Nó được gọi là trục đối xứng. Nếu hai điểm phù hợp đối diện qua cạnh, một điểm đó được gọi là hình ảnh của điểm kia. Một vài điểm và hình ảnh của nó được gắn ở hình 9.63 ở trang kế, trong đó A tương ứng với A9, B ứng với B9, C ứng với C9 và D ứng với Đ. Mỗi đường thẳng nối điểm và hình ảnh của nó vuông góc với trục đối xứng.
Đối với các hình ảnh sau đây cho thấy rằng các đường chéo (đường màu đỏ) không phải là trục đối xứng bằng con đường tìm các hình chiếu của A và C.
55
Cách giải: 1,2. Những hình ảnh phản chiếu của nửa dưới hình chữ nhật và hình bình hành có thể được hình thành bởi các nếp gấp theo hình chéo, được chỉ ra bởi đường kẻ mờ màu hồng. Kể từ những hình ảnh này (vùng màu hồng) không trùng với nửa trên của hình chữ nhật ban đầu và hình bình hành, các đường chéo đó không đối xứng. Ví dụ, hình chiếu A’ của A nằm bên ngoài nửa trên của hình chữ nhật và hình chiếu C’ của C nằm ngoài nửa trên của hình bình hành. Điều này cho thấy rằng mặc dù các đường chéo chia hình chữ nhật và hình bình hành thành hai bộ phận đồng dư những những đường chéo này không phải là trục đối xứng.
ĐỐI XỨNG THEO TRỤC XOAY TRONG MẶT PHẲNG
Hình 9.64 ở bên dưới đây là bản vẽ một loại cây, nhưng nó chính là bản vẽ của một loài sứa gọi là Aurelia. Nó dường như có hình thức và sự cận bằng của một hình đối xứng, nhưng nó lại không có hình ảnh phản chiếu. Tuy nhiên, nó lại có trục xoay đối xứng bởi vì nó có thể quay quanh trục trung tâm trùng với bản thân. Ví dụ, nếu nó xoay 90 độ theo chiều kim đồng hồ, cánh tay phía trên của nó sẽ di chuyển về hướng 3 giờ, cánh tay phía dưới sẽ theo hướng 9 giờ.
56
trung điểm X và A, B, C. Cắt nó ra và đặt nó trên trang giấy để chúng trùng với nhau. Nếu đó được giữ bằng bút chì tại điểm X, các điểm trên có thể xoay theo chiều kim đồng hồ để A đến B, B đến C, C đến A. Đây là ví dụ về tính đối xứng theo trục xoay và X được gọi là trung điểm của trục xoay. Từ hình ảnh xoay 120 độ (một phần ba vòng quay), nó sẽ quay 120 độ. Từ vị trí ban đầu của nó, hình ảnh này có thể được thực hiện đề trùng với các điểm của chính nó sau khi qua 240 độ cùng chiều kim đồng hồ với A tới C, B tới A và C tới B. Đó là đối xứng trục quay 240 độ. Từ chỗ này nếu quay trở lại theo chính nó thì ta sẽ quay được 360 độ, đó là đối xứng truc quay 360 độ. Lưu ý: Bất kì hình ảnh nào cũng xoay được 360 độ bằng cách dùng một điểm trung tâm. Do đó, chúng ta sẽ quan tâm đến trục đối xứng xoay 360 độ khi có một đối tượng khác có tính đối xứng xoay khác.
Một số hình ảnh có cả đối xứng trục và đối xứng tâm. Các đa giác thường có cả 2 loại. Các góc trung tâm của các đa giác xác định góc độ cho các đối xứng tâm
*Hãy tìm trục đối xứng và tâm đối xứng của hình lục giác Cách giải:
Mỗi hình lục giác sẽ có sáu đối xứng. Hình 1 cho thấy ba trục đối xứng và hình hai cho thấy có tâm đối xứng. Từ góc ở tâm trong hình ba đã cho ra các số đo 360 : 6 = 60 độ, con số này có tâm đối xứng lần lượt là 60, 120, 180, 240, 300, 360 độ.
57
Tinh thể tuyết có đối xứng trục và đối xứng tâm như hình lục giác, có thể thấy được ở hình 9.66. Chú ý sáu góc ở tâm ở hai tinh thể tuyết đầu tiên. Mặc dù có sự giống nhau ở chỗ có 6 trục đối xứng và 6 đối xứng tâm, nhưng cũng có vô số chi tiết khác nhau ở các tinh thể tuyết.
ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG KHÔNG GIAN
Một trong số cách đối xứng xảy ra xung quanh chúng ta được liệt kê trong quyển
Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics
Đối xứng trong không gian hai hay ba chiều cung cấp cơ hội phong phú cho học sinh xem hình học trong thế giới nghệ thuật, thiên nhiên, kiến trúc và hơn thế nữa. Những con bướm, khuôn mặt, hoa, sự sắp xếp của các cửa sổ, ảnh phản chiếu trong nước và một số thiết kế đồ gốm liên quan tới đối xứng. Chuyển động đối xứng được minh họa bằng bánh răng xe đạp. Mô hình đối xứng có thể được quan sát thấy trong các bảng cửu chương, các con số trong bảng xếp hạng hay trong tam giác Pascal.
Ý tưởng về đối xứng trục trong không gian ba chiều tương tự như trong mặt phẳng. Với mặt phẳng, chúng ta thấy dường như một nửa hình ảnh này là ảnh của hình ảnh kia. Với không gian, đó là đối xứng trục trong không gian như là các điểm của một mặt phẳng này là hình ảnh phản chiếu các điểm của mặt phẳng kia. Ví dụ, chiếc ghế cổ ở hình 9.67. Mặt phẳng chạy xuống trung tâm của lưng ghế và phía trước ghế chia thanh hai nửa trái phải, đó là hình ảnh phản chiếu của nhau. Mặt phẳng như thế gọi là mặt phẳng đối xứng. Chiếc ghế được cho là đối xứng trục.
58
Đối xứng trục trong không gian có thể được định nghĩa theo toán học bằng cách cho mỗi điểm ở phía bên trái của chiếc ghế, có một điểm tương ứng ở bên phải sao cho cả hai điểm vuông góc với cùng một khoảng cách từ mặt phẳng đối xứng. Đối với những chiếc ghế cổ, điểm A tương ứng với A’ và B tương ứng với B’. Các điểm này gọi là hình chiếu của nó và các đường thẳng AA’ và BB’ vuông góc với mặt phẳng đối xứng.
Hai mặt đối xứng, chẳng hạn như hình ảnh chiếc ghế hay hai con bướm ở hình 9.68, đôi khi được gọi là đối xứng dọc vì mặt phẳng đối xứng vuông góc với mặt đất. Nhìn xung quanh và bạn có thể ngạc nhiên khi thấy số lượng những thứ có tính đối xứng dọc.