Định nghĩa 2.3.1. Một môđun được gọi là giả rời rạc nếu nó vừa là môđun nâng vừa là môđun D4.
Định lí 2.3.2. Một môđun M là tựa rời rạc khi và chỉ khi M là giả rời rạc và M có tính chất biến đổi hữu hạn.
Chứng minh Nếu M là một tựa rời rạc, thì M là một giả rời rạc và theo [23, 26.15], M có tính chất biến đổi hữu hạn. Điều ngược lại dựa theo Tính chất 2.1.13.
Một môđun M được gọi là có đầy đủ tính chất biến đổi hữu hạn nếu với mỗi tập hữu hạn I, mà M ⊕ N = ⊕i∈IAi với môđun N và Ai, ta có
M ⊕N = M ⊕(⊕i∈IBi) với các môđun Bi ⊆ Ai. Chú ý, tính chất biến đổi hữu hạn đầy đủ kéo theo tính chất biến đổi hữu hạn, nhưng điều ngược lại là sai. Một vành được gọi là vành cân đối nếu với mỗi phần tử của nó là
một tổng của một phần tử lũy đẳng và một đơn vị. Một môđun được gọi là môđun cân đối nếu vành tự đồng cấu là một vành cân đối.
Định lí 2.3.3. Một môđun giả rời rạc M là cân đối khi và chỉ nếu nó có tính chất biến đổi hữu hạn khi và chỉ khi nó có tính chất biến đổi đầy đủ.
Chứng minh
Ta biết rằng một môđun cân đối có tính chất biến đổi hữu hạn. Nếu M
là một giả rời rạc môđun với tính chất biến đổi hữu hạn, thì M là một tựa rời rạc theo Tính chất 2.1.13
Do đó, M không thể phân tích theo [21, Định lí 4.15], và do đó M là cân đối theo [9, Định lí 4.7]. Theo [25], tính chất biến đổi hữu hạn keo theo tính chất biến đổi đầy đủ với môđun không có sự phân tích, do đó ta kết luận rằng M có tính chất biến đổi đầy đủ.
Hệ quả 2.3.4. Những môđun rời rạc là cân đối và thỏa mãn tính chất biến đổi đầy đủ.
Bổ đề 2.3.5. Đặt X = N ⊕M là một môđun giả rời rạc. Nếu A là một môđun con của X với N là một môđun phụ của A trong X và X = A+M thì tồn tại những A′ ⊆ A mà X = A′ ⊕N.
Chứng minh
một bù cộng B của M trong X, (X = B +M với B ⊆ A và B ∩ M ≪ B). Một lần nữa, theo [21, tính chất 4.8], B là một hạng tử trực tiếp của X, do đó X = B ⊕B′ với B′ ⊆ X.
Theo luật Modular, A = B ⊕ (A ∩ B′). Vì N là một bù-cộng của A
trong X nên ta kết luận rằng X = A+ N với A ∩ N ≪ N. Do đó, X =
B⊕(A∩B′) +N = (A∩B′) + (B+N). Vì X là một môđun nâng, A∩B′
chứa một bù-cộng C của B + N; điều đó chứng tỏ X = C + (B + N) với
C ⊆ A∩B′ và C ∩(B +N) ≪ C.
Theo [21, Tính chất 4.8], C là một hạng tử trực tiếp của X, và vì vậy
C ⊆⊕ B′. Vậy nên, X = B⊕B′ = B⊕C ⊕C′ với môđun con C′ của X. Vì
X = (B ⊕C)⊕C′ = N ⊕M với X = (B ⊕C) + N = (B ⊕C) +M, theo Định lí 2.1.3 thì (B⊕C)∩N ⊆⊕ X. Vì (B⊕C)∩N ⊆ A∩N ≪ N, ta kết luận rằng (B ⊕C)∩N = 0.
Vì vậyX = C+(B+N) = (B⊕C)⊕N. Bây giờ, nếu ta đặtA′ = B⊕C, thì A′ ⊆ A và X = A′⊕N.
Bổ đề 2.3.6. Cho X là một môđun giả rời rạc với X = N ⊕ M. Nếu
π : N → N/B là một đồng cấu chính tắc và f : M → N/B là một toàn cấu với B ≪ N thì tồn tại một đồng cấu g :M →N mà πg = f.
Chứng minh
của X với X = N +A = M +A. Bởi vì A∩N ⊆B và B ≪N, ta kết luận rằng A∩N ≪ N. Do đó N là một bù cộng của A trong X. Do đó, theo Bổ đề 2.3.5, tồn tại một môđun con A′ của A với X = A′ ⊕N.
Ta định nghĩaα : A′⊕N →N bởi α(a′+n) =−n, vớia′ ∈ A′ vàn ∈ N, và tập hợp g =: α|M : M → N. Ta nhận thấy πg = f. Nếu m ∈ M, thì
m = a′−nvới a′ ∈ A′ và n ∈ N. Vì m+n= a′ ∈ A′ ⊆ A, nên f(m) = π(n). Vì vậy πg(m) =πα(a′ −n) =π(n) =f(m).
Định lí 2.3.7. Nếu X = N ⊕M là một môđun giả rời rạc thì N và M là các giả xạ ảnh tương hỗ.
Chứng minh
Ta cần chứng minh rằng N là một giả M-xạ ảnh. Giả sử A là một môđun con của M, f : N → M/A là một toàn cấu và π : M → M/A là một toàn cấu chính tắc. Bởi vì M là một môđun nâng, M = B ⊕C với B ⊆ A và
A∩C ≪ C. Bởi vì M = A+ C, ta cần định nghĩa g : M/A → C/(A∩C)
với g((a+c) +A) =c+A∩C, với a ∈ A và c ∈ C. Rõ ràng, g là một đẳng cấu được định nghĩa tốt. Đặt h = gπ :M → C/(A∩C)
Khi đó, h(a+c) = gπ(a +c) = g((a+c) +A) = c+ A∩C, với a ∈ A
và c ∈ C. Ánh xạ thu hẹp h′ = h|C : C → C/A ∩ C là toàn cấu chính tắc thường, và gf : N → C/(A∩C) là một toàn cấu.
là giả rời rạc, N ⊕C là một môđun giả rời rạc. Xét biểu đồ:
Áp dụng Bổ đề 2.3.6 vào biểu đồ trên, ta nhận thấy tồn tại một đồng cấu
λ : N → C với h′λ = gf. Nếu λ′ = iλ với i : C → M là một ánh xạ bao hàm, nên πλ′ = g−1hiλ= g−1h′λ = g−1gf = f.
Điều đó chứng tỏ rằng ánh xạ λ′ : N → M là một nâng của f. Vì vậy N
là một giả-M- xạ ảnh.
Hệ quả 2.3.8. Một môđun nâng M là giả rời rạc nếu và chỉ nếu với
M = A+ B là một tổng trực tiếp của các môđun con A và B là giả xạ ảnh tương hỗ.
Chứng minh
Điều tất nhiên là dựa vào Định lí 2.3.7. Ta chỉ cần chứng minh rằngM là một môđun D4. Ta giả thiết rằng M = A⊕B với một toàn cấu f : A →B. Theo Định lí 2.1.3, ta cần chứng minh rằng Kerf ⊆⊕ A. Từ giả thiết suy ra B là giả-A-xạ ảnh. Bởi vì A/Kerf ∼= B, ta kết luận rằng A/Kerf là giả-A-xạ ảnh.
Do đó ánh xạ đồng nhất id : A/Kerf → A/Kerf nâng đến một đồng cấu g : A/Kerf → A và nên Kerf ⊆⊕ A.
Mệnh đề 2.3.9. Nếu A ⊕ B là một môđun giả rời rạc với A ∼= B thì
A⊕B là tựa xạ ảnh. Đặc biệt, nếu A⊕ A là một giả rời rạc thì A là một tựa xạ ảnh.
Chứng minh
Theo Định lí 2.3.7, A là giả-B-xạ ảnh. Vì A ∼= B, A là giả-A-xạ ảnh (A là giả xạ ảnh). Vì A là một môđun nâng theo [17, Định lí 3.3] nên A là tựa xạ ảnh. Vì A ∼= B, ta kết luận rằng A⊕B là tựa xạ ảnh.
Hệ quả 2.3.10. Nếu M = A⊕B là một môđun giả rời rạc và B là một đơn cấu vào môđun thương của A thì B là tựa A-xạ ảnh.
Chứng minh
Giả sử f : A → B là một toàn cấu. Vì M = A⊕B là một môđun D4,
Kerf ⊆⊕ A. Từ giả thiết chúng ta có thể viết A = N ⊕Kerf với môđun con N ⊆ M. Do đó N ∼= A/Kerf ∼= B và B ⊕ B ∼= N ⊕ B ⊆⊕ M, nên
B ⊕B là một môđun giả rời rạc. Vì vậy theo Tính chất 2.3.10, B là tựa xạ ảnh.