Trong phần này, ta chứng minh rằng nếu M là một môđun giả rời rạc thỏa mãn điều kiện DCC trên hạng tử, thì M = Q⊕K với Q là một môđun tựa xạ ảnh và K là một DSF-môđun.
Bổ đề 2.4.1. Giả sử M và N là R-môđun. Nếu M là giả-N-xạ ảnh, thì
M là giả-N/K-xạ ảnh với K là môđun con của N.
Chứng minh. Xét biểu đồ sau đây:
với K ⊆ Y ⊆ N, π và η là các toàn cấu chính tắc, f là một toàn cấu và θ
là đẳng cấu được định nghĩa bởi θ(n+ Y /K) = n+ Y với n = n+ K và
n ∈ N. Ta cần nâng ánh xạ f trở thành R-đồng cấu từ M lên trên N/K. Nếu β : N → N/Y là một toàn cấu tự nhiên thì β = θηπ. Vì vậy, ta có biểu đồ sau:
Vì M là giả-N-xạ ảnh nên tồn tại một đồng cấu λ : M → N với βλ = θf. Vì vậy, f = θ−1βλ = θ−1θηπλ = η(πλ) và do đó πλ : M → N/K là nâng của f. Điều đó chứng tỏ rằng M là giả-N/K-xạ ảnh.
Bổ đề 2.4.2.. Nếu M là một môđun giả rời rạc và B ⊆⊕ M, thì M/B là giả-M/A-xạ ảnh với môđun con A của M và M = A+B.
Đầu tiên, ta giả thiết rằngA ⊆⊕ M với A+B = M. Để chứng minh rằng
M/B là giả-M/A-xạ ảnh, từ giả thiết chúng ta có thể viết M = A⊕A′ =
B ⊕B′, với A′, B′ ⊆M, và giả sử γ :M → A′ là một toàn cấu chính tắc. Khi đó, vì M = A+B, ánh xạ thu hẹp γ|B :B →A′ là một toàn cấu, và do đó B/Ker(γ|B) ∼= A′. Vì M = B ⊕B′ là giả rời rạc, B′ là giả-B-xạ ảnh theo Định lí 2.3.7. Vì vậy, theo Bổ đề 2.4.1, B′ là giả-B/Ker(λ|B) hay B′ là giả-A′-xạ ảnh. Vì M/B ∼= B′ và M/A∼= A′ nên M/B là giả-M/A-xạ ảnh.
Bây giờ ta giả thiết rằngAlà một môđun con tùy ý củaM với A+B = M. Vì M là môđun nâng nên theo [21, Tính chất 4.8] A chứa bù-cộng C của B
với C ⊆⊕ M. Vì M = C + B, B ⊆⊕ M và C ⊆⊕ M nên theo trường hợp trước ta có M/B là giả-M/C-xạ ảnh. Vì M/A là môđun thương của M/C
nên theo Bổ đề 2.4.1 thì M/B là giả-M/A-xạ ảnh.
Định nghĩa 2.4.3. Một môđun M được gọi là môđun hạng tử không chính phương nếu nó chứa đẳng cấu khác không của các hạng tử trực tiếp A
và B với A∩B = 0.
Định nghĩa 2.4.4.. Một môđunM được gọi là môđun đối hạng tử không chính phương (SDSF-môđun) nếuM không có hạng tử trực tiếp tầm thường
A và B mà M = A+B và M/A∼= M/B.
Mệnh đề 2.4.5.Một môđun M là SDSF khi và chỉ khi không có môđun tầm thường A và B của M mà A ⊆ B và M/B ∼= A ⊆⊕ M.
Chứng minh
(⇒) GọiAvàB là hai môđun con củaM vớiA ⊆ B vàM/B ∼= A ⊆⊕ M. Từ giả thiết chúng ta có thể viết M = A⊕A′, với A′ ⊆M.
Khi đó M = B + A′ với M/A′ ∼= A ∼= M/B. Vì mỗi môđun SDSF là một môđun D4 nên ta kết luận từ Định lí 2.2(6) rằng: B ⊆⊕ M. Vì vậy
B = M vì M là một môđun SDSF.
(⇐) Theo Định lí 2.2(3),M là một môđun D4. Giả sử rằng M 6= 0 và đặt
M = A+ B với A, B ⊆⊕ M và M/A ∼= M/B. Ta kết luận từ Định lí 2.2(4) rằngA∩B ⊆⊕ M.M = (A∩B)⊕T vớiT ⊆ M. Vì vậyB = (A∩B)⊕(B∩T). Khi đóM/B ∼= M/A ∼= B/(A∩B) ∼= (B∩T) ⊆⊕ M. Từ giả thiết, ta kết luận được rằng B = M kéo theo A = M. Do đó M là một môđun SDSF.
Bổ đề 2.4.6.Nếu M là một môđun nâng, thì M là một môđun SDSF khi và chỉ khi M là một môđun DSF.
Chứng minh
Giả thiết rằng M là một môđun SDSF và giả sử A và B là các môđun con của M với M = A + B và M/B ∼=θ M/A. Ta cần chứng minh rằng
M = A = B.
Theo [27, Mệnh đề 4.8], vì M = A+B là một môđun nâng, B chứa bù-
cộngX của Atrong M nên M = A+X vớiA∩X ≪X và X ⊆⊕ M. Tương
tự, A chứa bù-cộng X′ của X trong M nên M = X +X′ với X ∩X′ ≪ X′
và X′ ⊆⊕ M. Bây giờ, X là bù-cộng của A trong M và X′ là một bù-cộng của X trong M với X′ ⊆ A, A/X′ ≪M/X′ theo [20, Bổ đề 5.2.4c].
Mỗi môđun SDSF rõ ràng là một môđun D4, nên M là giả rời rạc. Vì
X ⊆⊕ M và M = X + X′, nên theo Bổ đề 5.2 ta có M/X là giả-M/X′-xạ ảnh. Xét biểu đồ sau đây:
với f và η là các toàn cấu chính tắc và α rõ ràng là một đẳng cấu. Vì
αθf là một toàn cấu và M/X là giả-M/X′-xạ ảnh, tồn tại một đồng cấu
λ : M/X → M/X′ với ηλ = αθf.
Khi đó A/X′ +Imλ = Kerη +Imλ = M/X′. Vì A/X′ ≪ M/X′ nên
Imλ = M/X′ (λ là một toàn cấu). Vì vậy, nếu Kerλ = Z/X với Z ⊆ M
thì M/Z ∼= M/X
Z/X ∼= Imλ= M/X
′.
Từ đó ta cóM/Z ∼= M/X′ vớiX′ ⊆⊕ M và M = X+X′ = Z+X′. Theo Định lí 2.2(6),Z ⊆⊕ M. Bây giờ ta cóM = Z+X′, M/Z ∼= M/X′, Z ⊆⊕ M
và X′ ⊆⊕ M. Nhân vì M là một môđun SDSF, ta kết luận rằng : M = Z =
Định lí 2.4.7. Nếu M là một môđun giả rời rạc thỏa điều kiện DCC
trên các hạng tử, thì M = Q⊕K với Q là môđun tựa xạ ảnh và K là môđun
DSF.
Chứng minh
Ta có thể giả sử rằng M không là một môđun SDSF. Vì vậy tồn tại các hạng tử thực sự khác 0 A1 và B1 củaM với A1+B1 = M và M/A1 ∼= M/B1. Theo Định lí 2.2(5), A1 ∼= B1 ⊆⊕ M.
Từ giả thiết chúng ta có thể viếtM = (A1∩B1)⊕T1 và M = A1+A′1 với
T1, A′1 ⊆ M. Ta có T1 ∼= M/(A1∩B1) ∼= A1/(A1∩B1)⊕A′
1 ∼= M/B1⊕A′
1 ∼=
M/A1 ⊕A′1 ∼= A′1 ⊕A′1. Vì các hạng tử của môđun giả rời rạc là giả rời rạc nên A′1 ⊕A′1 là môđun giả rời rạc.
Vì vậy theo Mệnh đề 4.12, cả A′
1 và A′
1 ⊕ A′
1 là các môđun tựa xạ ảnh nên T1 là tựa xạ ảnh. Rõ ràng ta có Y1 =: (A1 ∩B1) 6= M. Nếu Y1 = 0 thì
M = T1 là tựa xạ ảnh. Khi đó, ta giả thiết rằng 0⊂
6
= Y1 ⊂
6
= M. Một lần nữa, ta có điều phải chứng minh nếu Y1 là môđun SDSF. Vì vậy ta cần giả thiết thêm rằng Y1 không phải là môđun SDF SF. Vì thế tồn tại các hạng tử thực sự khác 0 A2 và B2 của Y1 với A2 +B2 = Y1 và Y1/A2 ∼= Y1/B2.
Bằng cách lập lại lý luận như trên, ta có A2 ∼= B2 ⊆⊕ Y1, và từ giả thiết chúng ta có thể viếtY −1 = (A2∩B2)⊕T2, Y1 = A2⊕A′2, M = A2⊕A′2⊕T1
T2 ∼= A′ 2⊕A′ 2 và T1⊕T2 ∼= (A′ 1⊕A′ 1)⊕(A′ 2⊕A′ 2) ∼= (A′ 1⊕A′ 2)⊕(A′ 1⊕A′ 2)
là tựa xạ ảnh. Tiếp tục, ta thu được chuỗi giảm các hạng tử thực sự khác không M ⊃ 6 = Y1 ⊃ 6 = Y2 ⊃ 6 = ... ⊃ 6 = Yi ⊃ 6 = ... mà M = T1 ⊕T2 ⊕T3⊕...⊕Ti ⊕Yi và T1 ⊕T2 ⊕T3 ⊕...⊕Ti là tựa xạ ảnh.
Nhưng theo điều kiện DCC trên các hạng tử trực tiếp đảm bảo rằng, với số nguyênn > 0,Yn là một môđun SDSF vàM = T1⊕T2⊕T3⊕...⊕Tn⊕Yn
với T1 ⊕T2 ⊕T3 ⊕...⊕Tn là môđun tựa xạ ảnh.
Định lí 2.4.8. Nếu M là một môđun D4 thỏa mãn điều kiện DCC trên các hạng tử, thì M = (Ln
i=1Ni)⊕K với mỗiNi là môđun D2 và K là môđun
SDSF.
