Mệnh đề 2.5.1. Giả sử R là một vành Artin. Khi đó:
(1). Mỗi R-môđun không thể phân tích vừa là tổng tựa xạ ảnh vừa là tổng tựa nội xạ.
(2). Mỗi R-môđun nâng có tính chất biến đổi hữu hạn. (3). Mỗi R-môđun giả rời rạc là tựa xạ ảnh.
(4). Mỗi R-môđun giả liên tục là tựa nội xạ.
Chứng minh
5.7], M ∼= P/P I với P là một R-môđun xạ ảnh không thể phân tích và I là một iđêan chứa trong J(R). Theo [16, Định lí 3.3], M là tựa xạ ảnh. Vì M là một tựa xạ ảnh và có phủ xạ ảnh nên M là P-tựa xạ ảnh theo [14,Mệnh đề
3.1]. Vì R là hoàn chỉnh phải nên M là P-nâng theo [21, Định lí 4.41]. Nên
theo [7,29.7], M là một P
−CS-môđun. Vì vậy, theo [23,25.5], M là P-tựa
nội xạ.
(2). Giả sử N là một R-môđun nâng. Một môđun M có thể phân tích
M = ⊕i∈IMi với phần bù hạng tử trực tiếp với mỗi Mi xyclic và không thể phân tích được. Đặc biệt, mỗi môđun trên các chuỗi vành Artin chứa một hạng tử trực tiếp khác 0 không thể phân tích được. Vì N là nâng, ta kết luận từ [23, Hệ quả 26.5] rằng N có tính chất biến đổi hữu hạn.
(3). Giả sử N là một R-môđun giả rời rạc. Khi đó, theo (2) N có có tính chất biến đổi hữu hạn, nênN là tựa rời rạc. Dựa vào (2) ,N có một phân tích
N = ⊕i∈INi với các phần bù hạng tử trực tiếp với mỗi Mi xyclic và không thể phân tích được. Theo [21,Định lí 4.15] ta có thể giả thiết thêm rằng Ni
là một môđun rỗng (mỗi môđun con tầm thường là một môđun con đối cốt yếu). Vì thế, theo [21. Định lí 4.48], Ni là Nj-xạ ảnh với i 6= j. theo (1), Ni
là Ni-xạ ảnh với mỗi i ∈ I. Vì vậy, nếu mỗi Ni là xyclic thì Ni là ⊕i∈INi-xạ ảnh với tất cả i ∈ I theo [21, Mệnh đề 4.35]. Do đó, theo [21, Mệnh đề 4.32], ⊕i∈INi là ⊕i∈INi-xạ ảnh. Điều đó chứng tỏ rằng N là tựa xạ ảnh.
(4). Giả sử M là một R-môđun giả liên tục. Vì M là một môđun CS, nên nó là môđun nâng. Theo (2), M có tính chất biến đổi hữu hạn, và do đó
M là một tựa liên tục. Theo (2), M có một phân tích M = ⊕i∈IMi mà các phần bù hạng tử trực tiếp với mỗi Mi xyclic và không thể phân tích được. Do vậy, theo [21, Định lí 2.13], Mi là Mj- nội xạ khi i 6= j. Theo (1), Mi là tựa nội xạ với tất cả i ∈ I. Do vậy Mi là Mj-nội xạ với tất cả i, j ∈ I. Vì R
là Noether phải nên ta kết luận dựa vào [21, Mệnh đề 15] rằng M = ⊕i∈IMi
là tựa nội xạ.
Bổ đề 2.5.2. R là một vành chuỗi khi và chỉ khi mỗi R-môđun tựa nội xạ là tựa xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi R-môđun tựa xạ ảnh là tựa nội xạ.
Định lí 2.5.3. Mệnh đề sau là tương đương đối với vành R đã cho: (1). R là một vành chuỗi.
(2). Mỗi R-môđun giả liên tục là giả rời rạc. (3). Mỗi R-môđun giả xạ ảnh là giả rời rạc.
(4).Mỗi R-môđun giả rời rạc là giả liên tục và R là vành hoàn chỉnh phải. (5). Mỗi R-môđun tựa xạ ảnh là giả liên tục.
Chứng minh
(1)⇒ (2). Nếu M là một R-môđun giả liên tục, thì M là tựa nội xạ theo Mệnh đề 2.5.1. Do đó M là tựa xạ ảnh dựa vào Bổ đề 2.5.2. Mặt khác, R là
phải hoàn chỉnh, từ [27. Định lí 4.41] ta có M là rời rạc và do đó M là giả rời rạc.
(2)⇒(3) Hiển nhiên.
(3)⇒ (1). Giả sử M là một R-môđun tựa nội xạ. Vì vậy M ⊕M là tựa nội xạ, và do đó, theo giả thiết, nó là giả rời rạc. Khi đó, theo Mệnh đề 2.3.9,
M là tựa xạ ảnh nên theo Bổ đề 2.5.2, R là chuỗi.
(1)⇒(4). Giả sử M là mộtR-môđun giả rời rạc. Khi đó M là một tựa xạ
ảnh dựa vào Mệnh đề 2.5.1. Vì vậy, theo Bổ đề 2.5.2, M là một tựa nội xạ
và nên nó giả liên tục.
(4)⇒(5). Rõ ràng vì mỗi R-môđun tựa xạ ảnh trên vành hoàn chỉnh phải là rời rạc theo [27, định lí 4.41].
(5)⇒(1). Với M là R-môđun tựa xạ ảnh, M ⊕M là tựa xạ ảnh nên nó là giả liên tục theo (5). Vì vậy, theo [8, Hệ quả 4.10], M là tựa nội xạ. Khi đó, ta có (1) theo Bổ đề 2.5.2.
Định lí 2.5.4.Những mệnh đề sau là tương đương đối với vành R đã cho: (1). R là một vành tựa Frobenius.
(2). Mỗi R-môđun xạ ảnh là giả liên tục. (3). Mỗi R-môđun xạ ảnh là giả nội xạ. (4). Mỗi R-môđun nội xạ là giả rời rạc.
(5). Mỗi R-môđun nội xạ là giả xạ ảnh.
Chứng minh
(1)⇒ (2) + (4). Hiển nhiên.
(2) ⇒ (3). Giả sử P là một R-môđun xạ ảnh. Theo (2), môđun xạ ảnh
P ⊕P là giả liên tục nên theo [8, Hệ quả 4.10], P là tựa nội xạ và giả nội xạ.
(3) ⇒ (1). Giả sử P là một R-môđun xạ ảnh. Theo (3), môđun xạ ảnh
P ⊕R là giả nội xạ. Vì vậy, theo [24], P là R-nội xạ nên P là nội xạ theo tiêu chuẩn Baer. Vậy R là tựa Frobenius.
(4) ⇒ (5). Giả sử E là một R-môđun nội xạ. Theo (4), môđun nội xạ
E ⊕E là giả rời rạc. Vì vậy theo Định lí 2.3.7, E là giả E-xạ ảnh (E là giả xạ ảnh).
(5) ⇒(1). Giả sử E là R-môđun nội xạ. Dựa vào [23], để chứng minh E
là xạ ảnh, ta chỉ cần chứng minh rằng E là xạ ảnh tương hỗ đến mỗi môđun nội xạ E′. Tuy nhiên, theo (5), E⊕E′ là giả xạ ảnh. Vậy theo [12, Bổ đề 8],
CHƯƠNG 3
MÔĐUN D4 THÔNG QUA LỚP MÔĐUN ĐẲNG CẤU HẠNG TỬ TRỰC TIẾP
Chương này tôi xin trình bày về các tính chất của môđun D4 trong điều kiện các hạng tử cùng chung phần bù trực tiếp, các vành tự đồng các môđun
D4. Các kết quả được tổng hợp từ tài liệu [6].
