0
Tải bản đầy đủ (.pdf) (88 trang)

Vành tự đồng cấu các môđun D4

Một phần của tài liệu CÁC LỚP MÔĐUN D4. (Trang 66 -88 )

Mệnh đề 3.2.1.

(1). Một môđun M có tính chất SIP nếu và chỉ nếu giao hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù bất kì của M là một hạng tử trực tiếp.

(2). Một môđun M có tính chất SSP nếu và chỉ nếu tổng của hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù bất kì của M là một hạng tử trực tiếp.

Chứng minh

(⇒). Hiển nhiên.

(⇐). Đặt M = A ⊕B và f : A → B là một đồng cấu. Chúng ta cần chứng minh Kerf ⊆ A.

Xét môđun con T := {a+f(a)|a ∈ A} củaM, thì M = A⊕B = T ⊕B. DoAvàT là hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù nên theo giả thuyết

có A∩T ⊆ M. Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng A∩T = Kerf. Để thấy được điều này, đặta = a+f(a) ∈ A∩T thì a−a = f(a) ∈ A∩B = 0

nên a = a ∈ Kerf. Vì vậy Kerf A.

(2) (⇒). Hiển nhiên.

(⇐). Tương tự, đặt M = A⊕B và f : A → B là một đồng cấu. Chúng ta cần chứng minh rằng Imf ⊆ B.

ĐặtT là một môđun con như trên. Theo giả thiết thìM = (A+T)⊕D với mọiD. VìA+T = {a+f(a)|a, a ∈ A}nên chúng ta có được B = Imf⊕D

trong đó D = {b ∈ B|∃a ∈ A: a+b ∈ D}. Vì vậy M có tính SSP. Mệnh đề 3.2.2. Nếu M là một môđun D4 với SSP thì MSIP. Mệnh đề 3.2.3.. Giả sử M là một R-môđun phải với S = EndR(M) thì các mệnh đề sau là tương đương:

(1). M là một môđun D4.

(2). Với mỗi cặp lũy đẳng có cùng phần bù e, f ∈ S với eM +f M = M, tồn tại một lũy đẳng g của S mà gM = eM và (1−g)M ⊆f M.

Bổ đề 3.2.4.Giả sử M là một R-môđun phải và S = EndR(M). Với các lũy đẳng e, f S, eM f M M nếu và chỉ nếu Ker((1e)f) M.

Chứng minh

tại C ⊆ M mà M = (eM ∩f M) ⊕C. Mặt khác, theo luật modular ta co

f M = (eM∩f M)⊕(C∩f M) nênM = (eM∩f M)⊕(C∩f M)⊕(1−f)M. Vì Ker((12)f) = (eM f M)(1f)M, nên Ker((1e)f) M.

(⇐) Hiển nhiên vì Ker((1−e)f) = (eM ∩f M)⊕(1−f)M.

Mệnh đề 3.2.5. Một R-môđun phải M là một môđun D4 nếu và chỉ nếu với các cặp lũy đẳng e, f EndR(M), nếu M = eM+f MKere = Kerf thì Ker(1e)f M.

Chứng minh

(⇒) Hiển nhiên theo Bổ đề 3.2.3.

(⇐) Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M

với M = A+ B. Khi đó ta có thể tìm được các lũy đẳng e, f ∈ EndR(M)

mà A = eM, B = f M, M = eM ⊕ (1 − e)M = f M ⊕ (1 − f)M và

(1−e)M = (1−f)M. Từ giả thiết và Bổ đề 3.2.3, ta suy raeM∩f M ⊆ M. Định nghĩa 3.2.6. Mệnh đề sau là tương đương đối với môđun M: (1). Nếu A, B là các môđun con của M với B đơn và M/A = B ⊆ M

thì A M.

(2). M = A ⊕ B với B đơn và f : A B là một R-đồng cấu thì

Kerf ⊆ M.

(4).Nếu AB là các hạng tử trực tiếp tối đại của M, thì AB M. Định nghĩa 3.2.7. Môđun M được gọi là môđun xạ ảnh trực tiếp đơn nếu thỏa mãn một trong các mệnh đề trên. Định nghĩa 3.2.8. Một mô đun

M được gọi là hạng tử không chính phương nếu M chứa A và B là các hạng tử trực tiếp không tầm thường với M = A+B, M/A = M/B. Định nghĩa 3.2.9. Một mô đun M Mệnh đề 3.2.8. M là một xạ ảnh trực tiếp đơn nếu và chỉ nếu với các hạng tử trực có cùng phần bù A, B của M với B tối đại,

A∩ B ⊆ M.

Chứng minh

Điều kiện cần là hiển nhiên. Giả sử rằng với các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù A, B của M với B tối đại, A∩B ⊆ M.

Giả sử M = A1 ⊕A2 với A2 đơn và f : A1 → A2 là một R-đồng cấu. Ta cần Kerf là một hạng tử trực tiếp của A1. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng f 6= 0. Khi đó f là một R-toàn cấu. Đặt T = {a+f(a)|a ∈ A1} là môđun con của M.

Ta có M = T ⊕ A2. Vì A2 =M/T= M/A1, T và A1 là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M với A1 tối đại. Do vậy, T ∩A1 M. Rõ ràng, Kerf ⊆ T ∩A1. Vì Kerf là tối đại trong A1 và M = T +A1 nên ta có T ∩A1 = Kerf. Vì vậy Kerf là một hạng tử trực tiếp của M nên Kerf

đơn.

Mệnh đề 3.2.8. Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun M: (1). M vừa là môđun D4 vừa là môđun hạng tử không chính phương. (2). M vừa là môđun C4 vừa là môđun đối hạng tử không chính phương.

Chứng minh

(1) ⇒ (2) Rõ ràng, M là một môđun C4. Bây giờ ta cần chứng minh rằng M là môđun đối hạng tử không chính phương. Giả sử rằng M không là môđun đối hạng tử không chính phương, khi đó tồn tại hai hạng tử trực tiếp tầm thường khác không A1, B1 của M với A1+B1 = M và M/A1 = M/B1. Vì M là môđun D4 nên A1 ∩ B1 M. Ta viết lại M = (A1 ∩ B1) ⊕T1

với A1 = (A1 B1) (A1 T1)B1 = (A1 B1) (B1 T1). Vì vậy, ta có A1 ∩ T1= A1/(A1 B1)= M/B1= B1/(A1 B1)= B1 T1 với

(A1 ∩T1)∩(B1 ∩T1) = (A1 ∩B1)∩T1 = 0 và cả A1 ∩T1 và B1 ∩T1 là các hạng tử trực tiếp của M.

Vì M là hạng tử không chính phương nên A1∩T1 = B1∩T1 = 0. Vì vậy

A1 = (A1 ∩B1) = B1 và M = A1 + B1 = A1 = B1 (mâu thuẫn). Do đó M

là môđun đối hạng tử trực tiếp không chính phương.

(2) ⇒ (1) Rõ ràng M là một môđun D4. Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh rằng M là môđun hạng tử không chính phương. Giả sử rằng M không là môđun hạng tử không chính phương, và A1, B1 là các hạng tử trực tiếp

khác 0 của M với A1= B1 và A1 ∩ B1 = 0. Vì M là một môđun C4 nên A1 ⊕B1 M. Ta viết M = A1 ⊕B1 ⊕T1 với T16 = M. Khi đó M/(A1T1) = B1 = A1 = M/(B1T1) với M = A1B1T1 = (A1⊕T1)+(B1⊕T1) và cả A1⊕T1 vàB1⊕T1 là các hạng tử trực tiếp của M. VìM là môđun đối hạng tử không chính phương nênM = A1⊕T1 = B1⊕T1

và nên A1 = B1 = 0 (mâu thuẫn). Vì vậy M là môđun hạng tử không chính phương.

Hệ quả 3.2.9. Một vành RR-môđun hạng tử không chính phương nếu và chỉ nếu R là môđun C4 phải và đối hạng tử không chính phương là

R-môđun phải.

Định nghĩa 3.2.10. Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện hạn chế DCC trên các hạng tử trực tiếp nếu M không có chuỗi các hạng tử trực tiếp khác 0 giảm ngặt.

A1 > A2 > ... B1 > B2 > ...

với M/Ai= M/Bi và Ai +Bi M với mọi i > 1.

Mệnh đề 3.2.11. Nếu M là một môđun D4 thỏa mãn điều kiện hạn chế

DCC trên các hạng tử trực tiếp thì M = AB K với A = B, AB là các môđun D2, và K là môđun đối hạng tử không chính phương.

Nếu M là một môđun đối hạng tử không chính phương thì mệnh đề được chứng minh với A = B = 0 và K = M.

Giả sử rằng M không là môđun đối hạng tử không chính phương, khi đó tồn tại hai hạng tử thật sự khác không A1, B1 của M với A1 +B1 = M

và M/A1= M/B1. Vì M là môđun D4 nên A1 ∩ B1 M. Ta viết lại

M = (A1 ⊕B1)⊕T1 và M = A1 ⊕A1. VìT1= M/(A1B1) =A1/(A1B1)A

1= M/B1A

1= M/A1A

1=

A1⊕A1 vàT1 là một môđunD4, A1⊕A1 là một môđunD4và theo [7, Mệnh đề 2.11], A 1 là môđun D2. Do đó, T1 = K1 ⊕K 1 với K1 = A 1= K 1 là các môđun D2. Rõ ràng Y1 := A1∩B1 6= M. Nếu Y1 = 0 thì M = T1 = K1⊕K1

và ta có điều phải chứng minh. Bây giờ, giả sử rằngY1 6= 0, ta có:0< Y1 < M. Nếu Y1 là môđun đối hạng tử không chính phương, thì ta có điều phải chứng minh. Giả sử rằng Y1 không là môđun đối hạng tử không chính phương, khi đó tồn tại hai hạng tử trực tiếp thật sự khác 0A2, B2 củaY1 với A2+B2 = Y1

và Y1/A2 = Y1/B2.

Vì Y1 là môđun D4 nên Y2 := A2 ∩ B2 Y1. Chúng ta có thể viết lại

Y1 = (A2 ∩ B2) ⊕ T2, Y1 = A2 ⊕ A2 = B2 ⊕ B2, M = A2 ⊕ A2 ⊕ T1

M = (A2 ∩B2)⊕T2 ⊕T1. Khi đó Y1/A2= Y1/B2 kéo theo M/A2= M/B2. Như vậy T2= Y1/(A2B2) = (A2 +A

2)/(A2∩B2) = A2/(A2∩B2)⊕A2 =

Vì vậy, T1 ⊕ T2 = (A 1 ⊕ A 1) ⊕ (A 2 ⊕ A 2) = (A 1 ⊕ A 2) ⊕ (A 1 ⊕ A 2)

là một môđun D4. và theo [7, Mệnh đề 2.11], A1 ⊕ A2 là môđun D2 nên

T1 ⊕ T2 = K2 ⊕ K2 với K2= A

1 ⊕ A2 = K2 là các môđun D2. Rõ ràng

Y2 := A2 ∩B2 6= Y1.

Nếu Y2 = 0 thì M = T2 ⊕T1 = K2 ⊕K2 và ta có điều phải chứng minh. Giả sử Y2 6= 0. Nếu Y2 là môđun đối hạng tử không chính phương thì ta cũng có điều phải chứng minh. Giả sử rằng Y2 không là môđun đối hạng tử không chính phương, bằng lý luận tương tự nếu với mỗi Yi không là môđun đối hạng tử không chính phương, ta có chuỗi giảm thật sự:

A1 > A2 > ... B1 > B2 > ...

với M/Ai = M/Bi và Ai +Bi M với mọi i > 1, mâu thuẫn với giả thiết rằng M thỏa mãn thu hẹp DCC trên các hạng tử trực tiếp.

Vì vậy, tồn tại một môđun đối hạng tử không chính phương Yn mà M =

T1 ⊕T2 ⊕...⊕Tn ⊕Yn với T1 ⊕T2 ⊕...⊕Tn = Kn ⊕Kn với Kn= K

n là môđun D2 và Yn là môđun đối hạng tử không chính phương. Khi đó, ta có điều phải chứng minh khi đặt A := Kn, B := Kn và K := Yn.

Hệ quả 3.2.11. Nếu R là I-hữu hạn, thì RR = A⊕B⊕K với A = B và

K là một môđun đối hạng tử không chính phương. Hơn nữa, nếu R là vành phải C4 thì RR = A B K với A = B là các môđun C2K vừa là

môđun đối hạng tử không chính phương, vừa là môđun hạng tử không chính phương.

Bổ đề 3.2.12.Nếu M là môđun mà các hạng tử địa phương cũng là hạng tử thì M = A⊕ B ⊕ K với A = B và K là môđun hạng tử không chính phương.

Chứng minh

Ta có M = L

i∈IMi là tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được.

Viết lạiM = A⊕B⊕K như sau: Nếu Mi xảy ra hữu hạn số lẻ lần chúng ta đặt một bản sao trong K và chia ra phần còn lại số lượng bản sao vào trong A, B.

NếuMi xảy ra với số lần là chẵn hoặc vô hạn thì chúng ta chẻ ra đều giữa

A và B. Hiển nhiên A = B, theo định lý Krull-Schmidt thì K là một môđun hạng tử không chính phương. Khẳng định cuối cùng của định lý này (tức là

A, B là các môđun C2) được suy ra từ Mệnh đề 2.2.6.

Mệnh đề 3.2.13. Nếu M là một môđun tựa rời rạc thỏa điều kiện DCC trên các hạng tử trực tiếp, thì M = AB K với A = B là môđun tựa xạ ảnh và K vừa là môđun hạng tử không chính phương vừa là môđun đối hạng tử không chính phương.

Chứng minh

Theo Mệnh đề 3.2.11, M = X ⊕Y ⊕T với X = Y và T là một môđun đối hạng tử không chính phương. Vì T là tựa rời rạc nên mỗi hạng tử địa phương của T cũng là một hạng tử.

Theo Bổ đề 3.2.10, T = C ⊕D⊕K với C = D và K vừa là môđun hạng tử không chính phương vừa là môđun đối hạng tử không chính phương. Nếu ta đặt A := X ⊕C và B := Y ⊕D thì M = A⊕B ⊕K với A = B. Theo [23, Mệnh đề 4.12] vì M là tựa rời rạc nên cả A và B là tựa xạ ảnh.

KẾT LUẬN

Luận văn “Các lớp môđun D4” đã đạt được các kết quả sau:

1. Trình bày về một số định nghĩa, tính chất cơ bản của môđun D4(Mệnh đề 2.1.4, Định lí 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6), phủ D4 (Định lí 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Mệnh đề 2.2.5), môđun giả rời rạc (Định lí 2.3.2, Bổ đề 2.3.5, Định lí 2.3.7) và các định lí về sự phân tích (Định lí 2.4.6).

2. Trình bày được các tính chất môđun D4 trong điều kiện các phần tử cùng chung phần bù (Định lí 3.1.1, Định lí 3.1.3) và các vành tự đồng cấu các môđun D4 (Mệnh đề 3.2.1, Mệnh đề 3.2.3).

3. Chứng minh tường minh và làm rõ các kết quả đạt được ở trong một số công trình liên quan đến lớp môđun D4.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Trương Công Quỳnh và Lê Văn Thuyết, Giáo trình lý thuyết vành và môđun, NXB ĐH Huế, 2013.

[2] Lê Văn Thuyết, Trương Công Quỳnh, Giáo trình môđun và vành, NXB ĐH Huế, 2019.

Tiếng Anh

[3] Al-Ahmadi.A.,Jain.S.K.,Leroy.A., ADS modules, J.Algebra 352(2012), 215-222.

[4] Al-Ahmadi.A.,Er.N., Jain.S.K, Modules which are invariant under monomorphisms of their injective hulls, J. Aust, Math. Soc. 79(3) (2005). [5] Amin.I., Ibrahim.Y., Yousif.M.F. , D3-modules, Comm. Algebra 42

[6] Altun-Ozarslan.M., Ibrahim.Y.,CigdemOzcan.A.,Yousif.M.,C4- and D4- modules via perpective direct summands, Comu. Algebra 46(10) (2018), 4480-4497.

[7] Baba. Y., Oshiro. K., Classical Artinian Rings and Related Topics, (World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2009)

[8] Bass. H, Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary rings, Trans. Amer. Math. Soc. 95 (1960) 466-488.

[9] Camilo. V. P., Khurana. D, Lam. T. Y., Nicholson W. K., Zhou. Y. , Continuous modules are clean, J.Algebra 304 (2006) 94 - 111.

[10] Ding.N., Ibrahim.Y.,Yousif.M.,Zhou.Y., D4-modules,J. Algebra Appl. 16(5): 1750166, 25pp.

[11] Dung.N.V., Huynh.D.V.,Smith.P.F.,Wisbauer.R., Extending modules, Longman Scientific and Technical, 1994.

[12] Er. N, Singh. S., Srivastava. K. , Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J. Algebra 379 (2013) 223- 229.

[13] Facchini. A,Endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules, Module Theory (Basel 1998)

[14] Faith. C., Walker. E. A. ,Direct sum representations of injective modules, J. Algebra 5 (1967) 203-221.

[15] Fuchs. L, Infinite Abelian groups, Vol.1,Pure Appl. Math. Ser. Monogr. Text Vol. 36 (Academic Press, New York, San Francisco, London, 1970).

[16] Fuller. K. R., On direct representations of quasi-injectives and quasi- projectives, Arch. Math. 20 (1969) 495-502.

[17] Ganesan. L, Vanaja. N.,Strongly discrete modules, Comm. Alg. 35 (2007) 897-913.

[18] Golan. J. S., Characterization of rings using quasiprojective modules, Proc. AMS. 28 (1971) 337-343.

[19] Kaye. S. M. , Ring theoretic properties of matrix rings, Canad. math. bull. 10 (1967) 365-374.

[20] Lee.T.K., Zhou.Y.,Modules which are invarant under monomorphisms of their injective hulls J.Alg. Appl. 12(2) (2013), 1250159,9 pp.

[21] Mohamed.S.H., Muller.B.J.,Continous and Discrete modules, Cambridge Univ. Press, Cambrige, UK, 1990.

[22] Nicholson. W.K., Yousif. M.F.,Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Tracts in Math. Cambridge Univ. Press, Cambridge,UK (2003).

[23] Wisbauer. R, Clark. J, Lomp. C, Vanaja. N,Lifting modules, (Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2006).

[24] Wisbauer. R, Foundations of Module and Ring Theory, (Gordon and Breach, Philadelphia, 1991)

[25] Zimmermann-Huisgen. B, Zimmermann. W., Classes of modules with the exchange property, J. Algebra 88(1984) 416-434.

Một phần của tài liệu CÁC LỚP MÔĐUN D4. (Trang 66 -88 )

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×